（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本不等式及不等式的应用课件 理

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1、7.3 基本不等式及不等式的应用高考理数高考理数(课标专用)自主命题自主命题省省(区、市区、市)卷题组卷题组考点一基本不等式考点一基本不等式1.(2019天津,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则的最小值为.(1)(21)xyxy五年高考答案答案43解析解析本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.x+2y=5,x0,y0,=2+2=4,当且仅当即或时,原式取得最小值4.(1)(21)xyxy221xyxyxy26xyxyxy6xy62 xyxy325,62,xyxyxy3,1xy2,32xy32.(2018

2、天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.18b答案答案14解析解析本题主要考查运用基本不等式求最值.由已知,得2a+=2a+2-3b2=2=2=,当且仅当2a=2-3b时等号成立,由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1,故当a=-3,b=1时,2a+取得最小值.易错警示易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.18b322

3、ab32ab621418b143.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案答案30解析解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=6+4x=4240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.易错警示易错警示1.a+b2(a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.600 x900 xx900 xab2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.4.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,则的最小值为.4441abab答案答案4解析解析本题考查基

4、本不等式的应用.a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.规律方法规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立,则a的取值范围是()A.B.C.-2,2D.23,1,2,1.xxxxxx2x

5、a47,21647 39,16 163392 3,16答案答案A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最大值-;由y=x2-x+3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最小值,则-a.当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-+ax+在R上恒成立,即有-a+在R上恒成立,由于x1,所以-2=-2,当且仅当x=时取得最大值-2;因为x1,所以x+2=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2a

6、2.由可得-a2,故选A.思路分析思路分析讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+x-3ax2-x+3,2xa2x123212141141447163234314343916471639162xa2xx2x2x322xx2x2x322xx322xx3233122x122xx347161232再由二次函数的最值求法,得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得-a+,再利用基本不等式可得最值,从而得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.322xx2x2x2.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、6

7、5元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案答案13015解析解析本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生活与学习的密切联系.x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10

8、=130元.设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况.根据题意得(m-x)80%m70%,所以x,而m120,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x,而=15,x15.所以x的最大值为15.解题关键解题关键正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.8mmin8mmin8m教师专用题组教师专用题组考点一基本不等式考点一基本不等式(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.答案答案8解析解析sinA=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcos

9、C+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,tanA=tan-(B+C)=-tan(B+C)=-=,又ABC为锐角三角形,tanA=0,tanB+tanC0,tanBtanC1,tanAtanBtanC=tanBtanC=,令tanBtanC-1=t,则t0,tanAtanBtanC=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tanBtanC=2时,取“=”.tanAtanBtanC的最小值为8.tantan1tantanBCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBC22(tantan)tant

10、an1BCBC 22(1)tt12tt1t考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用(2013课标,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,022,0,ln(1),0.xx xxx答案答案D由题意作出y=|f(x)|的图象:由图象易知,当a0时,y=ax与y=ln(x+1)的图象在x0时必有交点,所以a0.当x0时,|f(x)|ax显然成立;当x0时,要使|f(x)|=x2-2xax恒成立,则ax-2恒成立,又x-2-2,a-2.综上,-2a0,故选D.思路分析思路分析根据解析式作出y=|f(x)|的图象,由图象得出

11、a0,此时分析出当x0时,|f(x)|ax恒成立,当x0,a恒成立,则a的取值范围是()A.aB.aC.a0,a恒成立,所以对x(0,+),a,而对x(0,+),=,当且仅当x=时等号成立,a.231xxx2max31xxx231xxx113xx1123xx151x152.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,则实数a的最大值为()A.B.2C.4D.2292答案答案B对任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即a=+恒成立,+2=2,当且仅当=时取等号,a2,故a的最大值为2,故选B.222mnmnmn2nmmn2nm2mnnm

12、2mn2nm223.(2019广东江门一模,9)实数x、y满足|x+y|+|x-y|=2,若z=4ax+by(a0,b0)的最大值为1,则+有()A.最大值9B.最大值18C.最小值9D.最小值181a1b答案答案C根据|x+y|+|x-y|=2,可得点(x,y)满足的图形是以A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1)为顶点的正方形,可知x=1,y=1时,z=4ax+by取得最大值,故4a+b=1,所以+=(4a+b)=5+9,当且仅当=,即a=,b=时取“=”.故+有最小值9.故选C.1a1b11ab4abba4abba16131a1b4.(2019河南信阳一模,8)已知

13、正项等比数列an满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得=32,则+的最小值为()A.B.C.D.mna a1m4n349103295答案答案A由等比数列的性质得=a2a8=16a5.因为a50,所以a5=16,又因为a3+a5=20,所以a3=4,所以a1=1,公比q=2,因为=32,所以=32=25,所以m+n=12,则+=(m+n)=当且仅当=,即m=4时,取等号,则+的最小值为,故选A.25amna a2m nq 1m4n11214mn11245mnnm344mnnm1m4n34考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用1.(2018湖北孝感模拟,12)

14、设f(x)满足f(-x)=-f(x),且在-1,1上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)t2-2at+1对所有的x-1,1,当a-1,1时都成立,则t的取值范围是()A.-tB.t2或t=0或t-2C.t2或t-或t=0D.-2t2121212答案答案B由已知易得f(x)在-1,1上的最大值是1,故由题意可知t2-2at+11对a-1,1恒成立,即2at-t20对a-1,1恒成立.设g(a)=2at-t2(-1a1),欲满足题意,则t2或t=0或t-2.(1)0,(1)0gg2.(2019广东惠州三调,10)在ABC中,点D是AC上一点,且=4,P为BD上一点,向量=+(0,0),则+

15、的最小值为()A.16B.8C.4D.2ACADAPABAC41答案答案A由题意可知,=+4,又B,P,D共线,由三点共线的充分必要条件可得+4=1,又因为0,0,所以+=(+4)=8+8+2=16,当且仅当=,=时等号成立,故+的最小值为16.故选A.APABAD414116161218413.(2019河南安阳模拟,12)已知,若满足不等式sin3-cos3ln,则的取值范围是()A.B.C.D.0,2cossin,4 2 0,4,4 3,4 2 答案答案Asin3-cos3ln,sin3-cos3ln=lncos-lnsin,即sin3+lnsincos3+lncos,则sin0且cos

16、0,0且,.设f(x)=x3+lnx,x0,则不等式sin3+lnsincos3+lncos等价于f(sin)f(cos)恒成立.f(x)=3x2+,则当x0时,f(x)0恒成立,故f(x)在定义域上为增函数,则f(sin)f(cos)等价于sincos恒成立.,1,即tan1,0,y0,且+=,则x+y的最小值为()A.3B.5C.7D.911x 1y12答案答案Cx0,y0,且+=,x+1+y=2(x+1+y)=22=8,当且仅当=,即x=3,y=4时取等号,x+y7,故x+y的最小值为7,故选C.11x 1y12111xy11 11yxxy 1221yxxy1yx 1xy2.(2019河

17、南信阳模拟,9)已知角,的顶点都为坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,的终边上分别有点A(1,a),B(2,b),且=2,则+b的最小值为()A.1B.C.D.21a23答案答案C由已知可得tan=a,tan=,=2,tan=tan2,a=,即a=,由a0,b0得0,则0b0,b0求取等号的条件.2b22212bb244bb244bb1a244bb1b34b1 34bb31b34b2 33244bb1a1b34b1a3.(2019广东汕尾3月联考,6)若直线ax-by+2=0(a0,b0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值为()A.4B.C.D.61

18、a2b9252答案答案B圆的一般方程化成标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4,依据圆心(-1,2)在直线ax-by+2=0上,得a+2b=2(a0,b0),+=(a+2b)=(5+2)=当且仅当a=b=时取等号.故选B.方法总结方法总结1.常数代换法求解最值的基本步骤:根据已知条件或其变形确定定值(常数);把确定的定值(常数)变形为1;把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;利用基本不等式求解最值.1a2b1212ab122214baab12492232.当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by)(a,b,m,n为正

19、常数,x0,y0)的形式,利用(ax+by)=am+bn+am+bn+2得到结果.mnxymnxybmyxanxyabmnbmyanxxy当且仅当时等号成立二、填空题二、填空题(每题每题5分分,共共5分分)4.(2019湖南长沙模拟,15)如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且+8恒成立,则正实数a的最小值为.1,2x y1xay解析解析PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,VP

20、-ABC=321=1=+x+y.x+y=,则2x+2y=1.a0,+=(2x+2y)=2+2a+2+2a+48,解得a1,正实数a的最小值为1.131212121xay1axy2yx2axya22,yaxyaxxy当且仅当即时 取等号答案答案1C C组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟应用创新题组应用创新题组1.(2019湖南郴州二模,11)已知A=(x,y)|x-2|+|y-2|2,0 x2(x,y)|(x-2)2+(y-2)24,x2,若P(x,y)A,且使z=x2+y2-2x-2y-2-a的最大值为b(a0,b0),则+的最小值为()A.4B.2C.D.2211a

21、1b4323答案答案CA=(x,y)|x-2|+|y-2|2,0 x2(x,y)|(x-2)2+(y-2)24,x2,其几何意义为如图所示的封闭区域,设右半部分半圆的圆心为M,则M(2,2),z=x2+y2-2x-2y-2-a=(x-)2+(y-)2-6-a,设t=,其几何意义为区域中任意一点到点(,)的距离,则z=t2-6-a,设点N(,),则t的最大值为|MN|+2=2,故z的最大值为(2)2-6-a=2-a,则有2-a=b,即a+b=2,变形可得(a+1)+b=3,则+=(a+1)+b=,当且仅当b=a+1,即a=,b=时,取等号,故+的最小值为,故选C.222222(2)(2)xy22

22、222211a 1b13111ab13121baab131221baab43123211a 1b43解题关键解题关键本题考查简单线性规划的应用,涉及基本不等式的性质以及应用,关键是求出集合A以及分析z的几何意义.2.(2019河南洛阳二模,15)已知x0,y0,且+=1,则xy+x+y的最小值为.1x2y答案答案7+43解析解析+=1,xy=2x+y,xy+x+y=2x+y+x+y=3x+2y=(3x+2y)=3+4+7+2=7+4,当且仅当=,即y=x时取等号,故xy+x+y的最小值为7+4.1x2y12xy2yx6xy26yxxy32yx6xy333.(2019湖南湖北八市十二校第二次调研联考,15)已知菱形ABCD,E为AD的中点,且BE=3,则菱形ABCD面积的最大值为.答案答案12解析解析设AE=x(x0),则AB=AD=2x,三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即x(1,3).设BAE=,在ABE中,由余弦定理可知9=(2x)2+x2-22xxcos,即cos=,S菱形ABCD=2x2xsin=4x2=,令t=x2,则t(1,9),则S菱形ABCD=,当t=5,即x=时,S菱形ABCD取最大值12,故答案为12.,ABAEBEABAEBE23,23xxxx1,3,xx22594xx2225914xx429(109)xx29(5)16t5