2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷12922

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1、 梦想不会辜负每一个努力的人 1 绝密启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷 一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A=|，B

2、=|22，则=【A】.-2,-1 .-1,2）.-1,1 .1,2）2.=【D】.3.设函数，的定义域都为 R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是【B】.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数 x2230 xxxxABABCD32(1)(1)iiA1 iB1 iC1 i D1 i()f x()g x()f x()g xA()f x()g xB()f x()g xC()f x()g xD()f x()g x高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 2 4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为【A】.3 .5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六

3、、周日都有同学参加公益活动的概率【D】.6.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为【B】7.执行下图的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的=【D】.FC223(0)xmym mFCA3BC3mD3mA18B38C58D78xOAOPPOAMMOPx()f xy()f x,a b kMA203B165C72D158高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 3 8.设，且，则【B】.9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：，：,：，：.其中真命题是【C】.，.

4、，.，.，10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是 上一点，是直线与的一个焦点，若，则=【C】.3 .2 11.已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为【C】.（2，+）.（-，-2）.（1，+）.（-，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C】.6 .4 第卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。(0,)2(0,)21 sintancosA32B22C32D22124xyxyD1p(,),22x yD xy 2p(,),22x yD xy3P(,),2

5、3x yD xy4p(,),21x yD xy A2p3PB1p4pC1p2pD1p3PC28yxFlPlQPFC4FPFQ|QFA72B52CD()f x3231axx()f x0 x0 xaABCDA6 2B4 2CD 梦想不会辜负每一个努力的人 4 第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.的展开式中的系数为 -20 .(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 A .

6、15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若，则与的夹角为 90 .1 6.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12 分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.解：（I）由题设，两式相减得 由于，所以 （II）由题设，可得 由（I）知，令，解得 8()()xy xy22x y1()2AOABACABAC,a b cABC,A B Ca(2)(sinsin)()sinbABcbCABC3nannS1a0na 11nnna aS2nnaana1121

7、1,1.nnnnnna aSaaS121().nnnaaaa10na2.nnaa11a 1211a aS21.a31.a2132aaa4.梦想不会辜负每一个努力的人 5 故，由此可得 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，；是首项为 3，公差为 4 的等差数列，.所以，.因此存在，使得数列为等差数列.18.(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为

8、样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：12.2.若，则=0.6826，=0.9544.24nnaa21na2143nan 2na241nan21nan12nnaa4 nax2sZ2(,)N x22s(187.8212.2)PZXEX150Z2(,)N()PZ(22)PZ高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 6 解：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 =200 （II）（i）由（I）知，从而 （ii）由（

9、i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为 0.682 6，依题意知 X-B(100，0.682 6)，所以 19.(本小题满分 12 分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.()证明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.解：()连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点，又 ABB1C，所以 B1C平面 ABO，由于 AO平面 ABO，故 B1CAO.(线面垂直线线垂直)又 B1OCO，故 ACAB1.()因为 ACAB1，且 O 为 B1C 的中点，所以 AOCO，又因为

10、ABBC，所以BOABOC，x2s170 0.02180 0.09190 0.22200 0.33x 210 0.24220 0.08230 0.022222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s 2220 0.33 100.24200.08300.02150.(200,150)ZN(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.PZPZ）100 0.682668.26.EX 111ABCABC11BBC C1ABBC1ACAB1ACABo160CBB111AABC 梦想不会辜负每一个努力的人 7 故 OAOB，从而 OA，OB，OB1两两互相垂直 以 O 为

11、坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又 ABBC，则 A(0，0，33)，B(1，0，0)，B1(0，33，0)，C(0，33，0)，(0，33，33)，(1，0，33)，(1，33，0)，设 n(x，y，z)是平面 AA1B1的一个法向量，则，即33y33z0 x33z0，所以取 n(1，3，3)设 m 是平面 A1B1C1的一个法向量，则.同理可取 m(1，3，3)则 cosn，mnm|n|m|17，所以二面角 AA1B1C1的余弦值为17.20.(本小题满分 12 分)已知点（0，-2），椭圆：

12、的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线 与相交于两点，当的面积最大时，求 的方程.解：()设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3，又ca32，所以 a2，b2a2c21，故 E 的方程为x24y21.()当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24y21，得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21，AE22221(0)xyabab32FAF2 33OEAlE,P QOPQl高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 8 从

13、而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设4k23t，则 t0，SOPQ4tt244t4t.因为 t4t4.当且仅当 t2，即 k72时等号成立，且满足 0.所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y72x2 或 y72x2.21.(本小题满分 12 分)设函数，曲线在点（1，处的切线为.()求；（）证明：.解：()函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexlnxaxexbx2ex1bxex1.由题意可得 f(1)2，f(1)e.故 a1，b2.()由()知，

14、f(x)exlnx2xex1，从而 f(x)1 等价于 xlnxxex2e.设函数 g(x)xlnx，则 g(x)1lnx.所以当 x(0，1e)时，g(x)0.故 g(x)在(0，1e)单调递减，在(1e，)单调递增，从而 g(x)在(0，)的最小值为 g(1e)1e.设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x)所以当 x(0，1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后1(0l

15、nxxbef xaexx()yf x(1)f(1)2ye x,a b()1f x 梦想不会辜负每一个努力的人 9 的 方框涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE.()证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.解：()由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE.由 CBCE 得CBEE，故DE.()设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 BMMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上 又 AD 不

16、是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由()知，DE，所以ADE 为等边三角形 23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为 参数）.()写出曲线的参数方程，直线 的普通方程；（）过曲线上任一点作与 夹角为的直线，交 于点，求的最大值与最小值.解：()曲线 C 的参数方程为x2cosy3sin(为参数)，直线 l 的普通方程为 2xy60.()曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为 d55|4cos3sin6|.则|PA|dsin302 55|5sin()6|

17、，其中 为锐角，且 tan43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55；当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.C22149xyl222xtyttClCPlo30lA|PA 梦想不会辜负每一个努力的人 10 24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 若，且.()求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.解：()由 ab1a1b2ab，得 ab2，且当 ab 2时等号成立 故 a3b32 a3b34 2，且当 ab 2时等号成立 所以 a3b3的最小值为 4 2.()由()知，2a3b2 6 ab4 3.由于 4 36，从而不存在 a，b，使得 2a3b6.0,0ab11abab33ab,a b236ab