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1、7 7.2 2基本不等式及其应用基本不等式及其应用-2-知识梳理考点自测a=b 2.利用基本不等式求最值已知x0,y0,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是 (简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时,xy有最值是(简记:和定积最大).x=y 小 x=y 大-3-知识梳理考点自测-4-知识梳理考点自测23415 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)-5-知识梳理考点自测23415A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案解析解析关闭 答案解析关闭-6-知识梳理考点自测23415A.(-,0)B.(-,-2C.
2、2,+)D.(-,+)答案解析解析关闭 答案解析关闭-7-知识梳理考点自测23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-知识梳理考点自测234155.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案解析解析关闭 答案解析关闭-9-考点1考点2考点3-10-考点1考点2考点3-11-考点1考点2考点3思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?解题心得解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法
3、对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.-12-考点1考点2考点3-13-考点1考点2考点3-14-考点1考点2考点3考向1求不含等式条件的函数最值例2(1)(2017天津,理12)若a,bR,ab0,则 的最小值为.(2)若函数f(x)=(x2)在x=a处取最小值,则a=.思考依据题目特征,如何求不含等式条件的函数最值?答案:(1)4(2)3-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3考向2求含有等式条件的函数最值(2)(2017江西南昌
4、模拟)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.思考如何应用基本不等式求含有已知等式的函数最值?答案:(1)B(2)6-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3(方法二)x0,y0,x+3y+xy=9,当且仅当x=3y时等号成立.设x+3y=t0,则t2+12t-1080,即(t-6)(t+18)0,又t0,t6.当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.-19-考点1考点2考点3考向3已知不等式恒成立求参数的取值范围例4当xR时,32x-(k+1)3x+20恒成立,则k的取值范围是()答案解析解析关闭 答案解析关闭-20-考点1考点2考点3思考已知不等式恒成立求参
5、数取值范围的一般方法是什么?解题心得解题心得1.若条件中不含等式,在利用基本不等式求最值时,则先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基本不等式.2.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数法,且有af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立a1,y1,且lg x,lg y成等比数列,则xy有()A.最小值10 B.最小值C.最大值10 D.最大值A
6、.4B.6C.8D.12(4)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.(5)已知函数f(x)=(p为常数,且p0),若f(x)在(1,+)内的最小值为4,则实数p的值为.-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3-26-考点1考点2考点3例5某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足 (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的
7、销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?解题心得解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.-29-考点1考点2考点3对点训练对点训练
8、5某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200 x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?-30-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点31.应用基本不等式求最值的常用方法有:(1)若直接满足基本
9、不等式的条件,则直接应用基本不等式.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.-32-考点1考点2考点31.利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”,忽视哪一个都可能致误.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
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