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1、选修选修4545不等式选讲不等式选讲-2-知识梳理考点自测1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|,当且仅当时,等号成立.|a|+|b|ab0|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)0-3-知识梳理考点自测2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利
2、用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c-4-知识梳理考点自测2ab-5-知识梳理考点自测4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、等.-6-知识梳理考点自测234151.判断下列结论
3、是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)对|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)-7-知识梳理考点自测234152.(2017江苏南通模拟)若|a-c|b|,则下列不等式正确的是()A.ac-bC.|a|b|-|c|D.|a|b|+|c|答案解析解析关闭|a|-|c|a-c|b|,
4、即|a|b|+|c|,故选D.答案解析关闭D-8-知识梳理考点自测234153.若不等式 对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是()A.2a3B.1a2C.1a3D.1aa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.-17-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.答案 答案关闭-19-考点
5、1考点2考点3考点4解题心得解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.-20-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:答案 答案关闭-21-考点1考点2考点3考点4考向1利用基本不等式求最值(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.答案 答案关闭-22-考点1考点2考点3考点4解题心得解题心得如果题设条件有(或
6、者经过化简题设条件得到)两个正数和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值.-23-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(2017辽宁大连一模)已知a0,b0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.(1)求证:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求实数t的最大值.-24-考点1考点2考点3考点4-25-考点1考点2考点3考点4考向2利用柯西不等式求最值例5(2017四川成都二诊)已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.答案 答案关闭-26-考点1考点2考点3考点4解题心得解题心得利用柯西不等式求最值时,一定要满足柯西不等式的形
7、式,有时需要变形才能利用柯西不等式.-27-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练5(2017河南洛阳一模)已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集为R.(1)求m的最大值;(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a,b,c的值.答案 答案关闭-28-考点1考点2考点3考点4(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范围.答案 答案关闭-29-考点1考点2考点3考点4解题心得解题心得绝对值三角不等式、基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,无论运用绝对值三角不等式还是运用基本不等式时应注意等号成立的条件.-30
8、-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练6(2017湖南长沙一模)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范围.答案 答案关闭(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2,f(x)的最小值为2,当且仅当1x3时取得最小值.(2)xR时,恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,又不等式f(x)3的解集非空,|3-a|3,0a6.-31-考点1考点2考点3考点41.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(
9、x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图象,则通过图象的位置关系可直观解决问题.2.含绝对值不等式的证明,可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符号,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.不等式求解和证明中应注意的事项(1)作差比较法适用的主要是多项式、分式、对数式、三角式,作商比较法适用的主要是高次幂乘积结构.(2)利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号成立的条件.-32-考点1考点2考点3考点41.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.2.在利用算术-几何平均不等式或柯西不等式求最值时,要注意检验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.
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