湖北黄冈中学高三数学专题十一空间向量及其应用

《湖北黄冈中学高三数学专题十一空间向量及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北黄冈中学高三数学专题十一空间向量及其应用（73页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、空间空间 向量及应用向量及应用2010年湖北黄冈中学年湖北黄冈中学第一课时：第一课时：空间向量及其运算空间向量及其运算 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：空间向量及其运算空间向量及其运算第一课时：第一课时：空间向量及其运算空间向量及其运算 课前导引课前导引 1.平行四面体平行四面体ABCD-A1B1C1D1中中,M为为AC和和BD的交点的交点,若若 AAbDAaBA11111,)(,1相等的是相等的是则下列式子中与则下列式子中与MBc cba 2121 A.cba 2121 B.cba 2121 C.cba 2121 D.解析解析 如图如图,BMBBMB 11.21212121)(2111

2、1111cacDABAAABCBABB ABB1MCDC1A1D1解析解析 如图如图,答案：答案：ABMBBMB 11.21212121)(21111111cacDABAAABCBABB ABB1MCDC1A1D1 2.P是二面角是二面角-AB-棱上的一点棱上的一点,分分别在别在、平面上引射线平面上引射线PM、PN,如果如果MPN=60,那么二面角那么二面角-AB-的大小为的大小为()A.30 B.60 C.90 D.120 ABFENPM 2.P是二面角是二面角-AB-棱上的一点棱上的一点,分分别在别在、平面上引射线平面上引射线PM、PN,如果如果MPN=60,那么二面角那么二面角-AB-的

3、大小为的大小为()A.30 B.60 C.90 D.120 解析解析 如图如图,设设PM=a,PN=b,作作MEAB,EPM=EPN=45,ABFENPM ,22,22bPFaPE 故故ABFENPM .90.0222245cos2245cos2260cos)()(即二面角为即二面角为于是于是NFEMbabbaabPFPEPNPEPFPMPNPMPFPNPEPMFNEMABFENPM .90.0222245cos2245cos2260cos)()(即二面角为即二面角为于是于是NFEMbabbaabPFPEPNPEPFPMPNPMPFPNPEPMFNEM答案：答案：C 考点搜索考点搜索 考点搜索

4、考点搜索 1.空间向量的概念，表示及其运算空间向量的概念，表示及其运算.2.空间向量的基本定理，以及空间向空间向量的基本定理，以及空间向量的数量积的定义和性质量的数量积的定义和性质.3.利用向量解决有关平行、垂直问题利用向量解决有关平行、垂直问题.4.利用向量求空间角利用向量求空间角.5.利用向量求空间距离利用向量求空间距离.链接高链接高考考 链接高链接高考考)(,1 1111111所成的角为所成的角为与与那么直线那么直线的中点的中点和和分别为分别为、中中的正方体的正方体在棱长为在棱长为CNAMBBBANMDCBAABCD 例例1152arccos D.53arccos C.1010arcco

5、s B.23arccos A.A1B1C1D1ABDCNM.25411)()(.21)()(,2121111111111 MAAAMAAAMAAAAMBNAABNCBMAAACNAMBNCBCNMAAAAM而而 解析解析 A1B1C1D1ABDCNM.524521 cos,25 CNAMCNAMCN 则则同理同理A1B1C1D1ABDCNM.,111111GBDOACCGBDACODCBAABCD平面平面求证：求证：的中点的中点为为的交点的交点与与为为中中在正方体在正方体 例例22A1B1C1D1ABDCGO.,111111GBDOACCGBDACODCBAABCD平面平面求证：求证：的中点的

6、中点为为的交点的交点与与为为中中在正方体在正方体 例例22A1B1C1D1ABDCGO)(21.0,0,0.,11111111ADABAAAOAAOAcacbbacAAbDAaBA 而而则则设设 证明证明 A1B1C1D1ABDCGO,21)(2121)(21,),(211cbaCCADABCGOCOGabABADBDbac A1B1C1D1ABDCGO.0)(21)(21)(21)()()2121(22221 ababacbcabbaabcabbacBDOA.021)(4121)(4121)(41)(41)212121()2121(222222221 cbacbacbacbacbabacOG

7、OAA1B1C1D1ABDCGOA1B1C1D1ABDCGO.,.,111BDGOAOOGBDOGOABDOA平面平面又又 A1B1C1D1ABDCGO.,.,111BDGOAOOGBDOGOABDOA平面平面又又 评注评注 .0,0 否否为为再再考考虑虑它它们们的的数数量量积积是是一一向向量量这这往往往往用用一一组组基基底底先先表表示示一一对对向向量量垂垂直直时时在在证证明明线线垂垂直直据据此此可可以以证证明明直直线线与与直直的的充充要要条条件件是是垂垂直直于于向向量量向向量量 baba 例例33.)2(,)1(.,60,所成角的大小所成角的大小和和求异面直线求异面直线的长；的长；并求出并求

8、出量量为基向量表示出向为基向量表示出向、以以的中点的中点是是的夹角都等于的夹角都等于、和和且且为为的长的长侧棱侧棱的正方形的正方形是边长为是边长为底面底面中中在四棱锥在四棱锥如图如图ACBNCMCMAMADABCMNADABAMbAMaABCDABCDM ABMCDNADABADAMABAMADABAMADABAMCMADABAMADABAMBCABAMACAMCM 222 )(,)()()1(22222 解析解析 ABMCDN.22,2290cos260cos2 60cos222222222babaCMbabaababaaab ABMCDN.221)2(41)22(41),(21)(21)2

9、(22222222baBNbaADAMABAMADABAMBNADABAMADABAMBCCNBCBN ABMCDNabaabACBNabADABADABAMBNACaACADABAC222121,cos ,21)()(21.2,22 又又ABMCDN.2424arccos.2424242222222222bababACBNbababbab 为为所成的角所成的角和和所以异面直线所以异面直线ABMCDN的平面角的余弦值；的平面角的余弦值；求二面角求二面角为为面面为为记面记面假定假定；证明：证明：且且是菱形是菱形的底面的底面已知：平行六面体已知：平行六面体如图如图 BDCBDBDCCCCDBDCC

10、BCDCDCCBCABCDDCBAABCD,23,2)2()1(.60,111111111 例例44ABDCOC1B1D1A1.,)3(111？请给出证明？请给出证明平面平面能使能使的值为多少时的值为多少时当当BDCCACCCD ABDCOC1B1D1A1.060cos60cos)(,.,)1(11 cacbcacbcabCCBDabCBCDBDbacCCbCDaCB则则设设.,)3(111？请给出证明？请给出证明平面平面能使能使的值为多少时的值为多少时当当BDCCACCCD 解析解析 ABDCOC1B1D1A1.1BDCC ,)(21 ),(21 )(21.,)2(1111cbaCCCOOC

11、baCDCBCOBDOCCOCOBDACBDAC 的的平平面面角角为为二二面面角角则则连连设设、连连 ABDCOC1B1D1A1ABDCOC1B1D1A1.2360cos23221 60cos32221 )460cos2224(412121)2(41)(21)(21221 cbcabbaacbabaOCCOABDCOC1B1D1A1.33 cos,2331111 OCCOOCCOOCCOCCO，又又),(,.0.,.2,2,)3(1111111111caDCcbaCAcDCbADaAADCCAxCABDCCAABDxCCCDxCCCD 设设满满足足只只须须求求平平面面则则设设ABDCOC1B1

12、D1A1.,1),(32,1.023,0426.624)()(1112222211BDCCACCCDxxxxxxxxccbbaacacbaDCCA平平面面时时当当舍舍去去解解得得即即令令 ABDCOC1B1D1A1 评注评注 本题蕴涵着转化思想，即把空本题蕴涵着转化思想，即把空间垂直关系的判定、二面角的求解以间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求全部转化为平面向量及待定值的探求全部转化为平面向量的基本运算，给人耳目一新、思路清的基本运算，给人耳目一新、思路清晰之感，确实为解决立体几何问题开晰之感，确实为解决立体几何问题开拓了一条全新的思路拓了一条全新的思路.第二课时：第二课时：空间向量

13、的坐标运算及应用空间向量的坐标运算及应用 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间向量的坐标运算及应用空间向量的坐标运算及应用 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间向量的坐标运算及应用空间向量的坐标运算及应用 (长郡原创长郡原创)1.如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，EF是异面直线是异面直线A1D与与AC的的公垂线段公垂线段.则则AF=()ACACACAC32 D.21 C.31 B.41 A.CA1B1C1D1ABDEMF 解析解析 如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系,设设正方形边长为正方形边长为1,则则A(1,0,0),C(0,1,0),A1(1,

14、0,1),D(0,0,0).CA1B1C1D1ABDEMxyzF).,1(),0,1(),0,().0,1()0,1,1()0,0,1(),0,(,1 EFFEAFDADFDEDADE即即则则,ACAF 设设CA1B1C1D1ABDEMxyzF.31,3131010100,),1,0,1(),0,1,1(111ACAFEFDAEFACDAACEFDAAC 的公垂线的公垂线、是是且且又又CA1B1C1D1ABDEMxyzF.31,3131010100,),1,0,1(),0,1,1(111ACAFEFDAEFACDAACEFDAAC 的公垂线的公垂线、是是且且又又答案：答案：B 2.已知两点已知

15、两点A(1,2,3),B(2,1,1),则则AB连线与平面连线与平面xOz的交点坐标是的交点坐标是_.解析解析 设设AB与平面与平面xOz的交点的交点为为C(x,0,z),则则,ABAC 2.已知两点已知两点A(1,2,3),B(2,1,1),则则AB连线与平面连线与平面xOz的交点坐标是的交点坐标是_.).4,3,1()3,2,1(zx即即).31,0,35(,31353243321的交点为的交点为与平面与平面xOzABzxzx 考点搜索考点搜索 考点搜索考点搜索 1.理解空间向量坐标的概念，掌握理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算.2.掌握用直角坐标计算空间向量

16、数掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式，掌握空间两点间的距离公式量积公式，掌握空间两点间的距离公式.3.掌握用空间向量坐标证明有关垂掌握用空间向量坐标证明有关垂线和平行问题线和平行问题.4.利用空间向量坐标计算空间角和利用空间向量坐标计算空间角和距离距离.链接高链接高考考 链接高链接高考考 例例11.)3(cos)2()1(.,2,90,1,11111111111MCBACBBABNAABANMAABCACBCAABCCBAABC 求证求证的值；的值；求求的长；的长；求求的中点的中点、分别是分别是、棱棱中中底面底面直三棱柱直三棱柱如图如图A1B1C1BCAMN.3)01()10()01(),1

17、,0,1(),0,1,0()1(.222 BNNBxyzOC所以所以依题意得依题意得空间直角坐标系空间直角坐标系为原点建立为原点建立以以 解析解析 A1B1C1BCAMN.30101cos.5,6,3),2,1,0(),2,1,1(),2,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),2,0,1()2(11111111111111 CBBACBBACBBACBBACBBACBBABCBA所以所以依题意有依题意有A1B1C1BCAMN.0 02121),0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(),2,0,0()3(1111111MCBAMCBAMCBAMC ，依题意得依题意得A1B1C

18、1BCAMNP.,111111DMNPACDBCCCDCBAABCDPNM平面平面求证：求证：中点中点的的、中的棱中的棱分别是正方体分别是正方体、如图所示如图所示 例例22CA1B1C1D1ABDMNP.,111111DMNPACDBCCCDCBAABCDPNM平面平面求证：求证：中点中点的的、中的棱中的棱分别是正方体分别是正方体、如图所示如图所示 例例22CA1B1C1D1ABDMxyzN).0,2,1(),1,2,0(),0,1,0(),2,0,2(),0,0,0(2,1NMPAD则则设正方体棱长为设正方体棱长为的空间直角坐标系的空间直角坐标系建立如图所示建立如图所示 解析解析.01)2(

19、210)2()1,2,0()2,1,2().0,2,1(),1,2,0()0,0,0()1,2,0(),2,1,2()2,0,2()0,1,0(11 DMPADNDMPA向量向量PCA1B1C1D1ABDMxyzN.,.00)2(211)2()0,2,1()2,1,2(111111DMNPADDNDMDNPADMPADNPADMPADNPA平面平面又又即直线即直线 PCA1B1C1D1ABDMxyzN 评注评注 证明线面垂直，本质上就是证明线面垂直，本质上就是证明线线垂直，而利用空间向量的坐证明线线垂直，而利用空间向量的坐标运算证明线线垂直，只要证明两直标运算证明线线垂直，只要证明两直线上的向

20、量的数量积为线上的向量的数量积为0即可即可.所成的角；所成的角；与与求直线求直线的中点的中点为为点点的中的中为为角形角形为直角的等腰直角三为直角的等腰直角三底面是以底面是以中中直三棱柱直三棱柱如图如图CABECBECADaBBaACABCCBAABC11111111)1(.,3,2,例例33A1EB1C1BCADF.,;,)2(11说明理由说明理由若不存在若不存在求出求出若存在若存在平面平面使使上是否存在点上是否存在点在线段在线段AFDFBCFFAA A1EB1C1BCADF,2,90,2.,)1(aBCABABCaACB 直角坐标系直角坐标系建立如图所示的空间建立如图所示的空间为原点为原点以

21、以 解析解析.,;,)2(11说明理由说明理由若不存在若不存在求出求出若存在若存在平面平面使使上是否存在点上是否存在点在线段在线段AFDFBCFFAA A1EB1C1BCADFzyx,211,13,211),3,2,2).23,22,0(),3,22,22(),3,0,0(),3,2,0(),3,0,2(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(11111aBEaCAaBEaaaCAaaEaaaDaBaaCaaAaAaCB A1EB1C1BCADFzyx.1431437arccos.1431437 cos,272901112221所成的角为所成的角为与与故故CABEBECABECAaaa

22、BECA A1EB1C1BCADFzyx),0,22,22(),3,0,2(),2,2().,0,2(,.,)2(11111aaDBabaFBbaaCFbaFbAFDBCFFBCFDFBCFF 则则不妨设不妨设且且只要只要平面平面要使要使假设存在点假设存在点A1EB1C1BCADFzyx.,2,20)3(2.,012111221DFBCFaaAFabababbaCFFBDBCFDBCFaaDBCF平面平面时时或或故当故当或或而而恒成立恒成立 A1EB1C1BCADFzyx.,)2(;,cos)1(.,2,/,/,BEDVCBEDDCVBCVDEBEhaVCEABOyBCOxxyzOOABCDV

23、 求求的平面角的平面角面角面角是二是二若若为为面面为为记面记面求求高为高为四棱锥底面边长为四棱锥底面边长为正正中点中点为为其中其中角坐标系角坐标系为坐标原点建立空间直为坐标原点建立空间直心心底面中底面中以正四棱锥以正四棱锥如图如图 例例44CBVADEOzyx,423 2223)2(2)23().2,23,2(),2,2,23(),2,2,2(),0,(),0,(),0,(,(1)22hahhaaaaDEBEhaaDEhaaBEhaaEaaDaaCaaB 依题意依题意 解析解析 CBVADEOzyx有有由由向向量量的的数数量量积积公公式式,1021 )2()2()23(1021 )2()2()

24、23(2222222222hahaaDEhahaaBE CBVADEOzyx.10610211021423cos2222222222hahahahahaDEBEDEBEDEBE CBVADEOzyx,0 2223),2,2,23(),(),0,0(),0,(.0,)2(222 haaCVBEhaaBEhaaCVhVaaCCVBECVBEVCBED且且得得又又由由即即有有的的平平面面角角是是二二面面角角 CBVADEOzyx.31arccos)31arccos(,31)2(10)2(6106,cos.222222222 DEBEBEDaaaahahaDEBEah此此时时有有即即CBVADEOzyx 评注评注 本题除考查概念是否清楚、本题除考查概念是否清楚、公式记忆是否准确、运算是否熟练公式记忆是否准确、运算是否熟练外，突出的是考查同学们运用向量外，突出的是考查同学们运用向量研究空间图形的数学思想方法是否研究空间图形的数学思想方法是否明确明确.