开集与闭集PPT课件

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1、第二节 开集、闭集与完备集第二章 n 点集若E=E,则称E为开集（E中每个点都为内点)若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得)(,00),(0pEOp有EEEEEEEEE等价于故的孤立点全体由于说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证)(显然因为EEEE)(显然因为或EEEEEEEE(1)开集、闭集例1：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证 )(显然因为EEEEabx),(),(baOx 证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|,则 ,从而x是（a,

2、b）的内点，故(a,b)是开集。证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|,则 ,例2：闭区间a,b为闭集说明：要证E是闭集，只要证()()()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然a b xcxbaO,),(从而x不是a,b的接触点，从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集 即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn,使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn,使得0limppnn0limppnn若 （或 ）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）EE EE),(

3、xO E为开集为开集，即从而EEE)(EOOxy),(),(则),(yOEEOx),()(ExE)(EE),(xOy),(yxdEOx),(,0使得Ex E为闭集)(,0),(xEOx有),(xO(,)(,)(,)0,()(min(,),(,)xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）),(xOE(,)()xxOExxE取，由)(EE)(Ex E为闭集E(,)(,)(,)0,()(min(,),(,)xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE)()()(),(xO),(xOE)(),(xEOx)(EE(2)开集与闭集的对偶性lP0为 E

4、的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：lP0为 E的外点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得)(,00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00,0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.开集的余集是闭集 lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得 从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而 ，即Ec为闭集。ccEE EOExx),(,0,使得证明：设E为开集，即(,)cxOE 从而闭集的余集是开集EE 证明：设E为闭集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec

5、的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内，这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得开集的性质 a.空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A Bb.任意一族开集的并是开集证明.)(是开集是一族开集，下证设GGIGI.,),(,000110为开集的任意性知的内点，由是的领域

6、为开集，故存在已知，使则非空，任取设GxGxGGxGGxIGxGc.有限多个开集的交仍是开集证明.),2,1(,1iiiniGxGxniGGG则任取为开集设.),(),(,min,max,),(11iiiiniiniiiiiGxGxG则取的领域为开集，故存在因.),(1的内点是因此所以GxGGxini闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n(5)Heine-Borel有限覆盖定理 设F为有界闭集，若开集簇 覆盖F（即 ），则 中存在有限个开集N1，N2，,Nn，它同样覆盖F.),(,),

7、(,0.10iNxOFxO都有使先证明:IiNiiIiNF:IiNi证明.)n1,(,n1,的开领域中不包含在任何属于使因而必有都有若不然，对nnxOFxn.00出现无限多次素，则至少有一点只有有限多个不同的元若，则有聚点有无限多个不同的元素若有界有界，则由于xxxxFxFnnn.,00FxFxxxxiinnn是闭集，故又使的一个子序列因此总有).,(),(,0),(.0000yNxNyNNNxNF使则有设，因此有覆盖而.),(),()1,(,21,2),(,0000的定义矛盾这与于是充分大，使取由iiiininininxyNxNnxOnxxnxx.2小于块中任意两点的距离都有限多个小块，使每

8、一分成面的超平面将有界，用平行于坐标平因为FF.),(),(,21iiiiiimNxNNxNxFFFF使则有作中任取一点，在每一，设这些小块是.,1121imiimimNFFNNN显然的有限多个开领域于是得出属于例3：设F为R1中的有界闭集，G为开集且则存在0，使得当|x|时，有证明：对任意的yF，由于yG，FGGFyxyxF:GOyyy),(,0使得故存在),(121iyiyniOF使得:),(21FyOyy由 组成F的一个开覆盖及有限子覆盖定理，知存在y1,y2,yn F,min2121nyyy取iiiyyyiiyyyzzy2121|且y与Gc中的任一点z之间的距离为GxF 则当|x|时有

9、 y+xG，即于是对每个yF至少属于某个 ),(21iyiyO(6)完备集 定义定义1 1（i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集自密集；（ii）若 ，则称 是完备集合完备集合。(自密的闭集或没有孤立点的闭集)EEEEEEE定义2 (i)设A、B 是直线上任意两个集，若B的任意一点x 的任意领域 中总含有A的点，则称A在B中稠密.当 时，称A是直线上的稠密集.(ii)若直线上任何开区间 中总有子区间 使得 不含有A的点，则称A是疏朗集(无处稠密集).),(1RB),(),(),(),(问题：能否在直线上找到既完备有是疏朗的问题：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？集合？Ca

10、ntor集的构造:将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间 .如此继续下去，最终剩下的点集记作E，称之为CantorCantor集集，则E是一个完备集。32,311,32,31,098,97,92,91Cantor集对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor 集合E是一完备集合1)E是一闭集.设A是所有被删去的点作成的集合，则A是可数多个开集的和，所以A是开集.,1,0 1,0是闭集故而EAAEc2)E是一自密集.312nnnCantor个闭区间的

11、长度是的次删去以后，所余下来集的构成，在进根据.31,0,min),(,00nnxxxEx充分大时有故当则的任意一开区间，令是包含设.),(),(,000ExExIInxExinin，这说明的点属于中至少有一异于所以则次后所余的某一闭区间也应属于删去故又Cantor 集合E是一疏朗集合.),(),(的点，则显然成立不含若任取开区间E.31,0,min),(00nnxxxE充分大时，便有故当则，令的点中有若.),(),(),(),(,),(,0000000是疏朗集所以，且，则中间的开区间，设为三等分时，所挖去的再将则设该闭区间为中，次后所余的某一闭区间也应属于删去故是永远删不去的点既然EEnxx

12、Cantor 集合E是直线上的一个无处稠密的完备集Cantor集的性质ininIG)(,1.分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1-G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间11231323111nnn2.P的“长度”为0，去掉的区间长度和3.P没有内点()x-x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间()130,nniIO（x,）当时，有但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。O（x,）证明：对任意x P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n

13、的互不相交的某个闭区间中()niI4.P中的点全为聚点,从而没有孤立点)(),(xPOx从而从而x为P的聚点，当然不为孤立点。)(,0),(xPOx有 证明：对任意x P，只要证：第n次等分留下的区间()x-x x+nniI31|)()1(,)3,nnxiniOI及某个，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，5.Cantor 集合的基数是连续基数，即Cantor 集合中点的“个数”是和0,1区间中点的“个数”一样多.6.Cantor 集合中不是只有那些分点的，因为全部分点显然构成一可数集合.1集是一则称是可数多个开集的交，如果点集GEE.2集是一则称是可数多个闭集的并，如果点集FEE.)(-)(-g.3集中的称为中的元素域集类，而中的称为域的的子集所产生的，中全体开集，则由表示如果用BorelRgFBorelRgFRgRnnnn几个概念