3.12回归分析的基本思想及其初步应用

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1、13.1 回归分析的基本思想 及其初步应用(二二)选修2-3之第三章统计案例2 aYbX121()()()niiiniixXyYbXXniiniiixnxyxnyx12211、求回归直线方程求回归直线方程 (最小二乘法最小二乘法)：ybxa(,)X Y为为样本点样本点的中心的中心32、我们通常用相关系数、我们通常用相关系数r来描述两个变量之间来描述两个变量之间线性相关关系的强弱。线性相关关系的强弱。2 2n n1 1i i2 2i i2 2n n1 1i i2 2i in n1 1i ii ii in nn nn nyyxxyxyxr其中：(1)|r|1；(2)|r|越接近于1，相关程度越强，

2、|r|越接近于0，相关程度越弱；(3)b 与 r 同号。43 3、线性回归模型：、线性回归模型：其中：e是随机误差，均值E(e)=0，方差D(e)=202()0,()ybxaeE eD e 当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型。即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式。4、相关系数r与随机误差e一般有什么关系？5eyy随机误差eyy e的估计量样本点：1122(,),(,),.,(,)nnxyxyxy相应的随机误差为：,1,2,.,iiiiieyyybxa in相应的随机误差估计值为：,1,2,.,iiiiieyyybxa inie称为相应于点 的残差残差(,)iixy221

3、11(,)(2)22niieQ a b nnn 的估计量2 为(,)Q a b称为残差平方和残差平方和。实际上即为具体到某点的随机误差估计值。6残差分析在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee70.382-2.8836.6271.137-4.6182.4192.627-6.373残差5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号下表为女大

4、学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据：e以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图）来分析残差特性.8由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因.9问：如何刻画模型拟合的精度？问：如何刻画模型拟合的精度？相关指数：22121()1()niiiniiyyRyy (1)在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方.(2)R2取值越大（越接近1），则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.(实际上就是：|r|越大

5、，则|e|越小)(3)在例1中我们可以求出R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64是由身高引起的”。其中：10建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误

6、，或模型是否合适等.是否存在线性关系是否存在线性关系11例2、一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表，试建立y与x之间的回归方程.325115662421117产卵数y/个35322927252321温度x/0C解：收集数据作散点图：12在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 的周围，其中c1和c2是待定参数.21c xyc e 令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周围.利用线

7、性回归模型建立y和x之间的非线性回归方程.当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为非线性回非线性回归方程归方程.135.7844.7454.1903.1783.0452.3981.946z35322927252321X所得线性回归方程为：0.2723.849zx21c xyc e a=lnc1，b=c2所以红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为：(1)0.2723.849xye 14若看成样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近.作变换t=x2，建立y与t之间的线性回归方程：y=c3t+c4.还可以拟合成什么函数模型？15325115662421117y122510248417296

8、25529441t(2)0.367202.543yt y关于x的二次回归方程为：(2)20.367202.543yx16(2)20.367202.543yx(1)0.2723.849xye 利用残差计算公式：0.2723.849(1)(1),1,2,7ixiiiieyyyei (2)(2)20.367202.543,1,2,7iiiiieyyyxi 77.968-58.265-40.104-41.000-5.83219.40047.69634.675-13.3819.230-8.9501.875-0.1010.557325115662421117Y35322927252321X(1)ie(2)

9、ie由残差平方和：21niiQe (1)(2)1550.538,15448.431.QQ 故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.或由条件R2分别为0.98和0.80，同样可得它们的效果.17给定样本点：1122(,),(,),.,(,)nnxyxyxy两个含有未知参数（a、b为未知参数）的模型：如何比较它们的拟合效果：（1）分别建立对应于两个模型的回归方程(1)(,)yf x a(2)(,)yg x b,a b分别是参数a和b的估计值.（2）分别计算两个回归方程的残差平方和(1)(1)2(2)(2)211()()nniiiiiiQyyQyy （3）若 ，则 的拟合效果好；(1)(2)QQ(1)(,)yf x a 反之，的拟合效果好.(2)(,)yg x b(1)(,)yf x a(2)(,)yg x b 18习题习题3.1 A组组 1、3