《新课标》高三数学(人教)第一轮复习单元讲座第33讲圆锥曲线方程及性质

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1、普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座33）圆锥曲线方程及性质一课标要求：1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。二命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有 23 道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，

2、且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。对于本讲内容来讲，预测07 年：（1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。三要点精讲1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21|F F）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21|2MFMFa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x 轴上）或12222bxa

3、y（0ab）（焦点在y 轴上）。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222cab；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程22221xyab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)x y在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替

4、x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0 x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21A A、21B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴

5、端点到焦点的距离为a；在22Rt OB F中，2|OBb，2|OFc，22|B Fa，且2222222|OFB FOB，即222cac；离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2双曲线（1）双曲线的概念平 面 上 与 两 点 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数 的 动 点 轨 迹 是 双 曲 线（12|2PFPFa）。注意：（*）式中是差的绝对值，在1202

6、|aF F条件下；12|2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支）；21|2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；当122|aF F时，12|2PFPFa表示两条射线；当122|aF F时，12|2PFPFa不表示任何图形；两定点12,FF叫做双曲线的焦点，12|F F叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义1212|2(2|)PFPFaaF F1212|2(2|)PFPFaaF F方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程1222

7、2byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对 称 轴 是,x y轴，所 以 令0y得ax，因 此 双 曲 线 和x轴 有 两 个 交 点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0 x，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个

8、，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推

9、知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。注意191622yx与221916yx的区别：三个量,a b c中,a b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的

10、性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0 x0 x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，

11、一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。四典例解析题型 1：椭圆的概念及标准方程例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点3 5(,)2 2；（3）焦点在x轴上，:2:1a b，cb；（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)；（5）焦距为b，1ab；（6）椭圆经过两点3 5(,)2 2，(3,5)。解析：（1）椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为22221xyab（0ab），210a

12、，4c，2229bac，oFxyloxyFlxyoFl所以，椭圆的标准方程为221259xy。（2）椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yxab（0ab），由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a，10a，又2c，2221046bac，所以，椭圆的标准方程为221106yx。（3）6c，2226abc，又由:2:1a b代入得2246bb，22b，28a，又焦点在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22182xy。（4）设椭圆方程为22221yxab，221b，22b，又225ab，23a，所以，椭圆的标准方程为22132yx（5）焦距为6

13、，3c，2229abc，又1ab，5a，4b，所以，椭圆的标准方程为2212516xy或2212516yx（6）设椭圆方程为221xymn（,0m n），由2235()()221351mnmn得6,10mn，所以，椭圆方程为221106yx点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。例 2（1）（06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是。（2）（06 天津理，8）椭圆的中心为点(1 0)E，它的一个焦点为(3 0)F，相应于焦点F的准线方程为72x，则这个椭圆的方程是（）222(1)2121

14、3xy222(1)21213xy22(1)15xy22(1)15xy解析：（1）已知222222242,2 3161164(2 3,0)bab cyxaabcF为所求；（2）椭圆的中心为点(1,0),E它的一个焦点为(3,0),F半焦距2c，相应于焦点F 的准线方程为7.2x252ac，225,1ab，则这个椭圆的方程是22(1)15xy，选 D。点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型 2：椭圆的性质例 3（1）（06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）(A)2(B)22(C)21(D)42（2）（

15、1999 全国，15）设椭圆2222byax=1（ab 0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是。解析：（1）不妨设椭圆方程为22221xyab（a b 0），则有22221bacac且，据此求出e22，选 B。（2）21；解析：由题意知过F1且垂直于x 轴的弦长为ab22，ccaab222，ca12，21ac，即 e=21。点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。例 4（1）（2000 京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2 倍，则椭圆中心到其准线距离是（）A.43B.554C.358D.334（2）（1998 全国理，2

16、）椭圆31222yx=1 的焦点为F1和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1的中点在y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A.7 倍B.5 倍C.4 倍D.3 倍解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=3，准线方程为x=ca2，椭圆中心到准线距离为334（2）A；不妨设 F1（3，0），F2（3，0）由条件得P（3，23），即|PF2|=23，|PF1|=2147，因此|PF1|=7|PF2|，故选 A。点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。题型 3：双曲线的方程例 5（1）已知焦点12(5,0),(5,0)FF，双曲线上的一点P到12,

17、F F的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；（2）求与椭圆221255xy共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程；（3）已 知 双 曲 线 的 焦 点 在y轴 上，并 且 双 曲 线 上 两 点12,P P坐 标 分 别 为9(3,42),(,5)4，求双曲线的标准方程。解 析：（1）因 为 双 曲 线 的 焦 点 在x轴 上，所 以 设 它 的 标 准 方 程 为22221xyab(0,0)ab，26,210ac，3,5ac，2225316b。所以所求双曲线的方程为221916xy；（2）椭圆221255xy的焦点为(25,0),(2 5,0)，可以设双曲线的方程为22221xyab，

18、则2220ab。又过点(3 2,2)，221821ab。综上得，22202 10,2 10ab，所以221202 102 10 xy。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量,a b c之间的关系。（3）因 为 双 曲 线 的 焦 点 在y轴 上，所 以 设 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为22221(0,0)yxabab；点12,P P在双曲线上，点12,P P的坐标适合方程。将9(3,4 2),(,5)4分别代入方程中，得方程组：2222222(4 2)319()2541abab将21a和21b看着整体，解得221116119ab，22169ab即双曲线的标准方程为2211

19、69yx。点评：本题只要解得22,ab即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例 6(06 上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是_.解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且 a=3，焦距与 虚轴 长之 比为5:4，即:5:4c b，解 得5,4cb，则双 曲线 的标 准方 程是221916xy；点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。题型 4：双曲线的性质例 7（

20、1）（06 福建卷）已知双曲线12222byax(a0,b2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.263D.233解析：（1）双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，ba3，离心率e2=22222cabaa 4，e2，选 C。（2）过双曲线1:222byxM的左顶点A(1，0)作斜率为 1 的直线l：y=x 1,若l与双曲线M的两条渐近线2220yxb分别相交于点1122(,),(,)B xyC xy,联立方程组代入消元得22(1)210b

21、xx，1221222111xxbx xb，x1+x2=2x1x2，又|BCAB,则 B 为 AC 中点，2x1=1+x2，代入解得121412xx，b2=9，双曲线M的离心率e=10ca，选 A。（3）双曲线22212xya(a2)的两条渐近线的夹角为3，则23tan63a，a2=6，双曲线的离心率为233，选 D。点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现cba,三元素之间的关系。例 8（1）（06 江西卷）P是双曲线22xy1916的右支上一点，M、N 分别是圆（x5）2y24 和（x5）2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9（2）（06 全国

22、卷 I）双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2 倍，则mA14B4C4D14（3）（06 天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1F、)0,3(2F，一条渐近线方程为xy2，那么它的两条准线间的距离是（）A36B4C2D1解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（5，0）与 F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与 M、F1三点共线以及P 与 N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019 故选 B。（2）双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2 倍，m0 得66 a且3a时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若 A、B在双

23、曲线的同一支，须32221axx0，所以3a或3a。故当36 a或63 a时，A、B 两点在同一支上；当33 a时，A、B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。例 5（1）求直线1yx被双曲线2214yx截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214yx截得的弦中点轨迹方程。解析：由22141yxyx得224(1)40 xx得23250 xx（*）设方程（*）的解为12,x x，则有121225,33xxx x得，212121242082|2()422933dxxxxx x

24、（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1ykx，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为(,)P x y，由22114ykxyx得22(4)250kxkx（*）设方程（*）的解为12,x x，则22420(4)0kk，21680,|5kk，且12122225,44kxxx xkk，121212221114(),()()124224kxxxyyyxxkk，22444kxkyk得2240(4xyyy或0)y。方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x yB xy，弦中点为(,)P x y，则221122224444xyxy得：121212124()()()(

25、)xxxxyyyy，121212124()yyxxxxyy，即41yxxy，即2240 xyy（图象的一部分）点评：（1）弦长公式2121221|1|1|ABkxxyyk；（2）有关中点弦问题的两种处理方法。例 7过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。解析：设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，(,0)F c，渐近线byxa，则过F的直线方程为()ayxcb，则2222220()b xa ya bayxcb，代入得44244 22 4()20ba xa cx a ca b，1200 x x即得44ba，ba，即得到2e。点评：直线与圆锥

26、曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。题型 3：直线与抛物线的位置关系例 8已知抛物线方程为)0)(1(22pxpy，直线myxl:过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为3，求 p 的值。解析：设l与抛物线交于1122(,),(,),|3.A xyB xyAB则由距离公式|AB|=221221)()(yyxx=21212122191|2|,().2yyyyyyk则有由.02,).1(2,21222ppyyxxpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp从而.294)2(,4)()(2221221221ppyyyyyy即

27、由于 p0，解得.43p点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。例 92003 上海春，4）直线 y=x1 被抛物线y2=4x 截得线段的中点坐标是_.答案：（3，2）解法一：设直线y=x1 与抛物线y2=4x 交于 A(x1，y1),B（x2，y2）,其中点为P（x0，y0）。由题意得xyxy412，（x1）2=4x，x26x+1=0。x0=221xx=3.y0=x01=2.P（3，2）。解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22y12=4x2 4x1，121212)(xxyyyy=4.y1+y2=4，即 y0=2，x0=y0+1=3。故中

28、点为P（3，2）。点评：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法。例 10（1997 上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p0），直线 x+y=m 与 x 轴的交点在抛物线的准线的右边.（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQOR，求 p 关于 m 的函数 f（m）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F 到直线x+y=m 的距离为22，求此直线的方程；（理）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线 QR 的距离不大于22，求 p 的值的范围.解：（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程

29、是x=14p，直线 x+y=m 与 x 轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得m 14p，即 4m+p+40.由myxxpy)1(2得 x2（2m+p）x+（m2p）=0.而判别式=（2m+p）24（m2p）=p（4m+p+4）.又 p0 及 4m+p+40，可知0.因此，直线与抛物线总有两个交点；（2）设 Q、R 两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程 x2（2m+p）x+m2p=0 的两根，x1+x2=2m+p，x1x2=m2p.由 OQOR，得 kOQkOR=1，即有 x1x2+y1y2=0.又 Q、R 为直线 x+y=m 上的点，因而 y1

30、=x1+m，y2=x2+m.于是 x1x2+y1y2=2x1x2m（x1+x2）+m2=2（m2p）m（2m+p）+m2=0，p=f（m）=22mm，由0440pmp得 m 2，m 0；（3）（文）由于抛物线y2=p（x+1）的焦点F 坐标为（1+4p，0），于是有222|041|mp，即|p4m4|=4.又 p=22mm|281232mmm|=4.解得 m1=0，m2=38，m3=4，m4=34.但 m0 且 m 2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直线方程为3x+3y+4=0.（理）解法一：由于原点O 到直线 x+y=m 的距离不大于22，于是222|00|m，|m|1.由（2），知 m

31、2 且 m0，故 m 1，0）（0，1.由（2），知 f（m）=22mm=（m+2）+24m4，当 m 1，0）时，任取m1、m2，0m1m2 1，则f（m1）f（m2）=（m1m2）+（242421mm）=（m1m2）1)2)(2(421mm.由 0m1m2 1，知 0（m1+2）（m2+2）4，1)2)(2(421mm0.又由 m1m20 知 f（m1）f（m2）因而 f（m）为减函数.可见，当m 1，0）时，p（0，1.同样可证，当m（0，1时，f（m）为增函数，从而p（0，31.解法二：由解法一知，m 1，0）（0，1.由（2）知p=f（m）=222112mmmm.设 t=m1，g（t

32、）=t+2t2，则 t（，1 1，+），又g（t）=2t2+t=2（t+41）281.当 t（，1时，g（t）为减函数，g（t）1，+）.当 t 1，+）时，g（t）为增函数，g（t）3，+）.因此，当m 1，0时，t（，1，p=)(1tg（0，1；当 m（0，1时，t 1，+），p（0，31.点评：本题考查抛物线的性质与方程，抛物线与直线的位置关系，点到直线的距离，函数与不等式的知识，以及解决综合问题的能力。例11（06 山东卷）已知抛物线y2=4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是。解析：显然12,x x0，又2212y

33、y 4（12xx）812x x，当且仅当124xx时取等号，所以所求的值为32。点评：该题考查直线与抛物线位置关系下的部分求值问题，结合基本不等式求得最终结果。五思维总结1加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查；2关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法。有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；3直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；4当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；