2017-2018版高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用课件 苏教版选修2-2

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1、1.4导数在实际生活中的应用第1章导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点生活中的优化问题1.生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为 .2.利用导数解决优化问题的实质是.3.解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题求函数最值数学建模题型探究例例1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.解答类型一平面几何中的最值问题解解设点B的坐标为(x,0)，且0 x0)

2、.要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_.答案解析解析解析设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0 xd.令f(x)k(d23x2)0，例例2某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.类型二立体几何中的最值问题解答(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；两端两个半球的表面积之和为4r2.

3、432432(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.令y0，得0r2.解答432引申探究引申探究在本例中，若r(0,1，求最小建造费用.解解由例2(2)可知，解答当r1时，ymin136.最小建造费用为136 千元.(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ cm3.答案解

4、析解析解析设矩形的长为x cm，则宽为(10 x)cm(0 x10).由题意可知圆柱体积为Vx2(10 x)10 x2x3.V20 x3x2，命题角度命题角度1利润最大问题利润最大问题例例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)类型三实际生活中的最值问题(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解答解解当0 x10时，(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解答所以当0 x9时，W单调递增，当9

5、x10时，W单调递减，所以当x9时，Wmax38.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系(1)利润收入成本.(2)利润每件产品的利润销售件数.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；解答所以a2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x

6、的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).列表如下.x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值f(4)由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x4时，函数f(x)取得最大值为42.答答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.命题角度命题角度2费用费用(用材用材)最省最省问题问题例例4已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y1kv2，当v12

7、时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y，由题意得令y0，得v0(舍去)或v16，当v016，即v16 km/h时，全程燃料费最省，ymin32 000(元)；当v016，即v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数，综上，当v016时，即v16 km/h时全程燃料费最省，为32 000元；(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以

8、知道在这个点取得最大(小)值.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解答解解设隔热层厚度为x cm，而建造费用为C1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值

9、.解答当0 x5时，f(x)0；当5x0，答答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.当堂训练1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为_.答案23451解析解析设底面边长为x，高为h，解析4令S(x)0，解得x8，判断知当x8时，S(x)取得最小值.2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台.答案23451解析6解析解析构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上惟一的极大值点，也是最

10、大值点.3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.23451答案解析23451解析解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100 x.设正方形与圆形的面积之和为S，234514.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.23451答案解析160当x2时，ymin160.5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0 x21

11、)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；23451解答解解设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2).由已知条件，得24k22，于是k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？23451解答解解根据(1)得，f(x)18x2252x43218(x2)(x12).列表如下.x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)极小值f(2)极大值f(12

12、)故当x12时，f(x)取得极大值.因为f(0)9 072，f(12)11 664.所以定价为301218(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.规律与方法1.利用导数解决生活中实际问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x).(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域.(2)与实际问题相联系.(3)必要时注意分类讨论思想的应用.本课结束