高二数学备课课件2.2.2椭圆方程及性质的应用新人教a版选修21

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1、第2课时椭圆方程及性质的应用类型类型 一一 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 【典型例题】【典型例题】1.1.假设直线假设直线y=kx+1y=kx+1与焦点在与焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆 总有公共点总有公共点,那么那么m m的取值范围为的取值范围为.2.k2.k为何值时为何值时,直线直线y=kx+2y=kx+2和曲线和曲线2x2+3y2=62x2+3y2=6有两个公共点有两个公共点?有一有一个公共点个公共点?没有公共点没有公共点?22xy15m【解题探究解题探究】1.1.直线过定点的问题一般如何处理直线过定点的问题一般如何处理?当点在什么当点在什么位置时位置时,经过该点的直线总与

2、椭圆有公共点经过该点的直线总与椭圆有公共点?2.2.判断直线与椭圆有几个公共点时判断直线与椭圆有几个公共点时,常用什么方法常用什么方法?探究提示探究提示:1.(1)1.(1)把含参数的直线整理为两局部把含参数的直线整理为两局部,一是含参数的局部一是含参数的局部,一是一是不含参数的局部不含参数的局部,让两局部同时为零让两局部同时为零,即可求得直线的定点即可求得直线的定点.(2)(2)当点在椭圆内部和在椭圆上时当点在椭圆内部和在椭圆上时,经过该点的直线与椭圆总经过该点的直线与椭圆总有公共点有公共点.2.2.判断直线与椭圆的交点个数判断直线与椭圆的交点个数,往往利用判别式的符号进行判往往利用判别式的

3、符号进行判断断.【解析解析】1.1.方法一方法一:由由 消去消去y,y,整理得整理得(m+5k(m+5k2 2)x)x2 2+10kx+5(1-m)=0,+10kx+5(1-m)=0,=100k=100k2 2-20(m+5k-20(m+5k2 2)(1-m)=20m(5k)(1-m)=20m(5k2 2+m-1).+m-1).直线与椭圆总有公共点直线与椭圆总有公共点,00对任意对任意kRkR都成立都成立.m0,5km0,5k2 21-m1-m恒成立恒成立,1-m0,1-m0,即即m1.m1.又又椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上轴上,0m5,0m5,1m5.1m5.22ykx1xy15m，方

4、法二方法二:直线直线y=kx+1y=kx+1过定点过定点M(0,1),M(0,1),要使直线与该椭圆总有公共点要使直线与该椭圆总有公共点,那么点那么点M(0,1)M(0,1)必在椭圆内或必在椭圆内或椭圆上椭圆上,由此得由此得 解得解得1m5.1m0,-480,即即k k 或或k-k-时时,直线和曲线有两个公共点直线和曲线有两个公共点;当当=72k=72k2 2-48=0,-48=0,即即k=k=或或k=-k=-时时,直线和曲线有一个公共点直线和曲线有一个公共点;当当=72k=72k2 2-480,-480,即即-k -kb0)(ab0)的离心率的离心率为为 ,椭圆与直线椭圆与直线x+2y+8=

5、0 x+2y+8=0相交于点相交于点P,Q,P,Q,且且|PQ|=,|PQ|=,求椭圆的方程求椭圆的方程.22xy142222xy1ab3210【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中的直线中的直线l已经具备了哪些条件已经具备了哪些条件?2.2.直线与椭圆相交的弦长问题直线与椭圆相交的弦长问题,一般应如何处理一般应如何处理?探究提示探究提示:1.1.直线直线l已经具备了两个条件已经具备了两个条件,一是此直线的斜率为一是此直线的斜率为1,1,二是此二是此直线上的一个点即焦点直线上的一个点即焦点(,0).(,0).2.2.对于直线与椭圆相交的弦长问题对于直线与椭圆相交的弦长问题,一般应把直线与椭圆

6、的一般应把直线与椭圆的方程联立方程组方程联立方程组,应用根与系数的关系表示出应用根与系数的关系表示出x x1 1+x+x2 2(或或y y1 1+y+y2 2)与与x x1 1x x2 2(或或y y1 1y y2 2),),然后再根据条件求解其他问题然后再根据条件求解其他问题.3【解析解析】1.1.设设A,BA,B两点的坐标分别为两点的坐标分别为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由椭圆方程得由椭圆方程得a a2 2=4,b=4,b2 2=1,c=1,c2 2=3,=3,所以所以F(,0),F(,0),直线直线l的方程为的方程为y=x-.y=x-.

7、将其代入将其代入x x2 2+4y+4y2 2=4,=4,化简整理化简整理,得得5x5x2 2-8 x+8=0,-8 x+8=0,所以所以x x1 1+x+x2 2=,x=,x1 1x x2 2=.=.所以所以|AB|=|x|AB|=|x1 1-x-x2 2|=答案答案:3338 358521k2212121kxx4x x28 34 5 882.55 852.2.设点设点P,QP,Q的坐标分别为的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).(x1,y1),(x2,y2).由由e=e=得得c=a.c=a.由由c2=a2-b2,c2=a2-b2,得得a2=4b2.a2=4b2.由由 消去消去x,x,

8、得得2y2+8y+16-b2=0.2y2+8y+16-b2=0.由根与系数的关系由根与系数的关系,得得y1+y2=-4,y1y2=y1+y2=-4,y1y2=|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2=5(y1+y2)2-4y1y2=10,=5(y1+y2)2-4y1y2=10,即即516-2(16-b2)=10,516-2(16-b2)=10,解得解得b2=9,b2=9,那么那么a2=36.a2=36.所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为c3a2，322222xy1,4bbx2y80,216b.222xy1

9、.369【互动探究】题【互动探究】题1 1中假设直线过中假设直线过x x轴上点轴上点(m,0),(m,0),那么当那么当m m为何值为何值时时,弦长弦长|AB|AB|最长最长?【解题指南】列出直线方程【解题指南】列出直线方程,与椭圆方程构建方程组与椭圆方程构建方程组.利用弦利用弦长公式建立弦长的函数长公式建立弦长的函数,再由二次函数求最值再由二次函数求最值.【解析】由条件可知【解析】由条件可知,直线直线l l的方程可设为的方程可设为y=x-m.y=x-m.再由再由 得得5x2-8mx+4m2-4=0.5x2-8mx+4m2-4=0.设设A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(

10、x2,y2),22yxm,xy14那么那么x1+x2=,x1x2=x1+x2=,x1x2=由由00即即64m2-20(4m2-4)064m2-20(4m2-4)0得得-m-mb0).:(ab0).2222xy1ab提醒提醒:有时为了方便有时为了方便,也可联立方程组消去也可联立方程组消去x,x,利用公式利用公式|AB|=|y|AB|=|y2 2-y-y1 1|=求解求解.211k21212211yy4y yk()2.“2.“设而不求的思想在求弦长时的应用设而不求的思想在求弦长时的应用设出两个交点设出两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),目的不是求出点的坐

11、标目的不是求出点的坐标,而是通过方程联立得到一元二次方程而是通过方程联立得到一元二次方程,借用根与系数的关系借用根与系数的关系,得到得到x1+x2,x1x2x1+x2,x1x2或或y1+y2,y1y2.y1+y2,y1y2.再转化求出再转化求出,如如|AB|=|x2-x1|=|AB|=|x2-x1|=21k2212121kxx4x x.【变式训练】椭圆【变式训练】椭圆C C中心在原点中心在原点O,O,焦点在焦点在x x轴上轴上,其长轴长其长轴长为焦距的为焦距的2 2倍倍,且过点且过点M(1,),FM(1,),F为其左焦点为其左焦点.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程的标准方程.(2)(2

12、)过左焦点过左焦点F F的直线的直线l l与椭圆交于与椭圆交于A,BA,B两点两点,当当|AB|=|AB|=时时,求直线求直线l l的方程的方程.【解题指南】【解题指南】(1)(1)采用待定系数法求解采用待定系数法求解.(2)(2)分分l l斜率存在和不存在讨论斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时当斜率存在时,利用弦长公式建立利用弦长公式建立方程方程,解方程求出斜率解方程求出斜率,进而求出直线进而求出直线l l的方程的方程.32185【解析解析】(1)(1)由条件知由条件知:a=2c,b:a=2c,b2 2=a=a2 2-c-c2 2=3c=3c2 2,设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为又过点

13、又过点M(1,),M(1,),cc2 2=1,a=1,a2 2=4,b=4,b2 2=3,=3,椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为2222xy1,4c3c322223()121,4c3c22xy1.43(2)(2)当直线当直线l斜率不存在时斜率不存在时,|AB|=3,|AB|=3,不合题意不合题意.当直线当直线l斜率存在时斜率存在时,设直线设直线l:y=k(x+1),:y=k(x+1),由由得得(3+4k(3+4k2 2)x)x2 2+8k+8k2 2x+4kx+4k2 2-12=0,-12=0,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),xx1 1+x+

14、x2 2=x=x1 1x x2 2=22yk x1,xy1,43 228k,34k224k12,34k|AB|=|x|AB|=|x1 1-x-x2 2|=kk2 2=,=,即即k=k=,直线直线l的方程为的方程为x-y+1=0 x-y+1=0或或x+y+1=0.x+y+1=0.21k2212121 kxx4x x2222228k4k121k()434k34k2212k1218.4k35122222 中点弦问题中点弦问题【典型例题】【典型例题】1.(20211.(2021安阳高二检测安阳高二检测)如果椭圆如果椭圆 的弦被点的弦被点(4,2)(4,2)平分平分,那么这条弦所在的直线方程是那么这条弦

15、所在的直线方程是()A.x-2y=0A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 D.x+2y-8=02.2.焦点分别为焦点分别为(0,5 )(0,5 )和和(0,-5 )(0,-5 )的椭圆截直线的椭圆截直线y=3x-2y=3x-2所得所得椭圆的弦的中点的横坐标为椭圆的弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程求此椭圆的方程.22xy13692212【解题探究解题探究】1.1.把中点弦的两端点把中点弦的两端点(x(x1 1,y,y1 1)和和(x(x2 2,y,y2 2)代入椭圆方代入椭圆方程作差程作差,能得到什

16、么结论能得到什么结论?2.2.在解决直线与椭圆的关系问题时在解决直线与椭圆的关系问题时,的值必须验证吗的值必须验证吗?探究提示探究提示:1.x1.x1 1+x+x2 2=2x=2x0 0,y,y1 1+y+y2 2=2y=2y0 0,其中其中(x(x0 0,y,y0 0)为中点坐标为中点坐标,所以把所以把 与与 作差后能直接求得直线的斜率作差后能直接求得直线的斜率k.k.2.2.一般情况下一般情况下,的符号都要验证的符号都要验证,其目的是防止增根其目的是防止增根.221122xy1ab222222xy1ab【解析】【解析】1.1.选选D.D.设弦的两端点分别为设弦的两端点分别为(x1,y1),

17、(x2,y2),(x1,y1),(x2,y2),那么那么x1+x2=8,y1+y2=4.x1+x2=8,y1+y2=4.又由又由得得k=k=所以弦所在的直线方程为所以弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),y-2=-(x-4),即即x+2y-8=0.x+2y-8=0.22112222xy1,369xy1,36912121212xxxxyyyy0.3692121yy1.xx2 122.2.设椭圆方程为设椭圆方程为 (ab0),(ab0),且且a a2 2-b-b2 2=(5 )=(5 )2 2=50,=50,由由得得(a(a2 2+9b+9b2 2)x)x2 2-12b-12b2 2x+4bx+

18、4b2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,a a2 2=3b=3b2 2,由得由得:a:a2 2=75,b=75,b2 2=25,=25,此时此时0,0,椭圆方程为椭圆方程为2222xy1ba22222xy1,bay3x2，12xx1,222226b1,a9b222xy1.2575【拓展提升拓展提升】解决椭圆中点弦问题的两种方法解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)(1)根与系数的关系法根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决坐标公

19、式解决.(2)(2)点差法点差法:利用端点在曲线上利用端点在曲线上,坐标满足方程坐标满足方程,将端点坐标分将端点坐标分别代入椭圆方程别代入椭圆方程,然后作差然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下具体如下:A(x1,y1),B(x2,y2):A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆是椭圆 (ab0)(ab0)上的两个不同的点上的两个不同的点,M(x0,y0),M(x0,y0)是线段是线段ABAB的中点的中点,那么那么 由由-,得得变形得变形得 即即2222xy1ab221122222222xy1 abxy1 ab222212122211xxyy0,ab22012

20、122212120 xyybxxb,xxayyay 20AB20b xk.a y【变式训练】【变式训练】(2021(2021大理高二检测大理高二检测)椭圆的中心在原点椭圆的中心在原点,焦点为焦点为F1(0,-2 ),F2(0,2 ),F1(0,-2 ),F2(0,2 ),且离心率且离心率(1)(1)求椭圆的方程求椭圆的方程.(2)(2)直线直线l(l(与坐标轴不平行与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点与椭圆交于不同的两点A,B,A,B,且线段且线段ABAB中点的横坐标为中点的横坐标为-,-,求直线求直线l l的斜率的取值范围的斜率的取值范围.222 2e.312【解析】【解析】(1)(1)设椭

21、圆方程为设椭圆方程为 (ab0),(ab0),由由c=2 ,c=2 ,又又 解得解得a=3,a=3,所以所以b=1,b=1,故所求方程为故所求方程为(2)(2)设直线设直线l l的方程为的方程为y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)代入椭圆方程整理得代入椭圆方程整理得(k2+9)x2+2kbx+b2-9=0.(k2+9)x2+2kbx+b2-9=0.由题意得由题意得解得解得k k 或或k-,k k 或或k-.k0,y0,只能只能x=,x=,于是于是y=y=故点故点P P的坐标是的坐标是().().AP FP222xy1,3620 x6x4y0.323253.23 532 2,(2)(2)直线

22、直线APAP的方程是的方程是x-y+6=0.x-y+6=0.设点设点M M的坐标是的坐标是(m,0),(m,0),那么那么M M到直线到直线APAP的距离是的距离是于是于是 =|m-6|,=|m-6|,又又-6m6,-6m6,解得解得m=2.m=2.设椭圆上的点设椭圆上的点(x,y)(x,y)到点到点M M的距离为的距离为d,d,有有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15,=(x-)2+15,由于由于-6x6,-6x6,故当故当x=x=时时,d,d取最小值取最小值3m6,2m625949929215.【拓展提升

23、】【拓展提升】1.1.椭圆上的点到直线的最大距离、最小距离问题的最正确解法椭圆上的点到直线的最大距离、最小距离问题的最正确解法2.2.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)(1)定义法定义法:利用定义转化为几何问题处理利用定义转化为几何问题处理.(2)(2)数形结合法数形结合法:利用数与形的结合利用数与形的结合,挖掘几何特征挖掘几何特征,进而求解进而求解.(3)(3)函数法函数法:探求函数模型探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理转化为函数的最值问题来处理.【标准解答】平面向量在椭圆求解中的应用【标准解答】平面向量在椭圆求解中的应用【典例典例】【条件分析条

24、件分析】【标准解答】【标准解答】(1)(1)由可设椭圆由可设椭圆C2C2的方程为的方程为 ,其离心率为其离心率为 ,故故 ,那么那么a=4,a=4,故椭圆故椭圆C2C2的方程为的方程为 4 4分分(2)(2)方法一方法一:A,B:A,B两点的坐标分别记为两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),(xA,yA),(xB,yB),由由 及及(1)(1)知知,O,A,B,O,A,B三点共线且点三点共线且点A,BA,B不在不在y y轴上轴上,因此因此可设直线可设直线ABAB的方程为的方程为y=kxy=kx,6,6分分222yx1(a2)a4322a43a222yx1.164OB2OA 将将y=

25、kxy=kx代入椭圆方程代入椭圆方程 +y+y2 2=1=1得得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2=4,=4,所以所以 8 8分分将将y=kxy=kx代入代入 中中,得得(4+k(4+k2 2)x)x2 2=16,=16,所以所以 9 9分分又由又由 得得x xB B2 2=4x=4xA A2 2,即即 解得解得k=k=1,1,1111分分故直线故直线ABAB的方程为的方程为y=xy=x或或y=-x.y=-x.1212分分2x42A24x,14k22yx11642B216x,4kOB2OA 2216164k1 4k，方法二方法二:A,B:A,B两点的坐标分别记为两点的坐标分别记为(x(x

26、A A,y,yA A),(x),(xB B,y,yB B),),由由及及(1)(1)知知,O,A,B,O,A,B三点共线且点三点共线且点A,BA,B不在不在y y轴上轴上,因此可设直线因此可设直线ABAB的方程为的方程为y=kxy=kx,6 6分分将将y=kxy=kx代入椭圆方程代入椭圆方程 得得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2=4,=4,所以所以x xA A2 2=,=,故故 7 7分分由由 得得 ,9 9分分将将x xB B2 2,y,yB B2 2代入椭圆代入椭圆C C2 2的方程的方程 中中,整理得整理得即即4+k4+k2 2=1+4k=1+4k2 2,解得解得k=k=1,1,

27、1111分分故直线故直线ABAB的方程为的方程为y=xy=x或或y=-x.y=-x.1212分分OB2OA 22xy142414k22A24ky14kOB2OA 222BB221616kx,y14k14k22yx1164224k114k,【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.合理设出方程合理设出方程在解题时在解题时,根据题目条件合理设出方程是解题的关键根据题目条件合理设出方程是解题的关键,往往对往往对解题起到很大的简化作用解题起到很大的简化作用,如本例中如本例中,由题意可设出由题意可设出C C2 2的方程的方程为为 (a2).(a2).2.2.向量式的应用关键向量式的应用关键在解析几

28、何中在解析几何中,向量相等向量相等,往往是通过对应坐标相等来实现的往往是通过对应坐标相等来实现的,这是使用向量式的关键这是使用向量式的关键,要在平时解题中落实要在平时解题中落实.222yx1a4【类题试解】【类题试解】(2021(2021天津高考天津高考)设椭圆设椭圆 (ab0)(ab0)的左的左焦点为焦点为F,F,离心率为离心率为 过点过点F F且与且与x x轴垂直的直线被椭圆截得的轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为线段长为(1)(1)求椭圆的方程求椭圆的方程.(2)(2)设设A,BA,B分别为椭圆的左、右顶点分别为椭圆的左、右顶点,过点过点F F且斜率为且斜率为k k的直线与的直线与椭圆交于

29、椭圆交于C,DC,D两点两点.假设假设 =8,=8,求求k k的值的值.2222xy1ab3,34 3.3AC DBAD CB 【解题指南解题指南】(1)(1)由离心率及过点由离心率及过点F F且与且与x x轴垂直的直线被椭圆轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出截得的线段长求出a a，b b，c c的值，写出椭圆方程的值，写出椭圆方程.(2)(2)写出过点写出过点F F且斜率为且斜率为k k的直线方程，与椭圆方程联立，利用的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示根与系数的关系表示 求解求解.AC DBAD CB 【解析解析】(1)(1)设设F(F(c,0),c,0),由由 过点过点F

30、F且与且与x x轴轴垂直的直线为垂直的直线为x=x=c,c,代入椭圆方程有代入椭圆方程有 解得解得 解得解得 又又a a2 2-c-c2 2=b=b2 2，从而，从而a=c=1a=c=1，所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为 c3,a3c.a3知2222cy1,ab6b2 6b4 3y,333 于是b2.3,22xy1.32(2)(2)设点设点C(xC(x1 1,y,y1 1),D(x),D(x2 2,y,y2 2)，由，由F(F(1,0)1,0)得直线得直线CDCD的方程为的方程为y=k(x+1),y=k(x+1),由方程组由方程组 消去消去y y，整理得，整理得(2+3k(2+3k2 2)x)

31、x2 2+6k+6k2 2x+3kx+3k2 26=0.6=0.所以所以x x1 1+x+x2 2=22yk x1,xy1,322212226k3k6,x x.23k23k因为因为A(,0),B(,0),A(,0),B(,0),所以所以=(x1+,y1)(=(x1+,y1)(x2,x2,y2)+(x2+,y2)(y2)+(x2+,y2)(x1,x1,y1)y1)=6=62x1x22x1x22y1y2=62y1y2=62x1x22x1x22k2(x1+1)(x2+1)=62k2(x1+1)(x2+1)=6(2+2k2)x1x2(2+2k2)x1x22k2(x1+x2)2k2(x1+x2)2k2=

32、2k2=由得由得33AC DBAD CB 3333222k12623k222k1268k2.23k，解得1.1.直线直线y=x+1y=x+1被椭圆被椭圆 所截得的弦的中点坐标是所截得的弦的中点坐标是()A.(A.(,)B.(B.(,)C.(-C.(-,)D.(-D.(-,-,-)22xy142235343732313172132【解析】选【解析】选C.C.由由 得得3x2+4x-2=0,3x2+4x-2=0,x1+x2=-,x1+x2=-,弦中点的横坐标弦中点的横坐标纵坐标纵坐标应选应选C.C.22yx1,xy1,4243120 xx2x,23 120yy21y1.233 2.2.过椭圆过椭圆

33、 的一个焦点的一个焦点F F作垂直于长轴的椭圆的弦作垂直于长轴的椭圆的弦,那么此弦长为那么此弦长为()A.A.B.3 B.3 C.2 C.2 D.D.【解析】选【解析】选B.c2=a2-b2=4-3=1,B.c2=a2-b2=4-3=1,椭圆的焦点坐标为椭圆的焦点坐标为(1,0).1,0).把把x=1x=1或或x=-1x=-1代入代入 得得y=y=.所以此弦长为所以此弦长为 -(-)=3.-(-)=3.22xy1433438 3322xy14321y1,433232323.3.过椭圆过椭圆 的左焦点且斜率为的左焦点且斜率为1 1的弦的弦ABAB的长是的长是.【解析解析】椭圆的左焦点为椭圆的左焦

34、点为(-4,0),(-4,0),由由 得得34x34x2 2+200 x+175=0,x+200 x+175=0,x1 1+x+x2 2=-,x=-,x1 1x x2 2=.=.|AB|=|AB|=答案答案:22xy125922yx4,xy1259,2003417534212122xx4x x2200175902()4.343417 90174.4.以以F1(-2,0),F2(2,0)F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线为焦点的椭圆与直线x+y+4=0 x+y+4=0有且仅有一个交点有且仅有一个交点,那么椭圆的长轴长为那么椭圆的长轴长为.【解析】设椭圆方程为【解析】设椭圆方程为

35、(ab0).(ab0).由由得得(a2+3b2)y2+8 b2y+16b2-a2b2=0,(a2+3b2)y2+8 b2y+16b2-a2b2=0,由由=0=0及及c=2,c=2,可得可得a2=7,2a=2a2=7,2a=2答案答案:2:232222xy1ab222222b xa ya b0,x3y40,37.75.5.椭圆椭圆 过点过点P(2,1)P(2,1)作一弦作一弦,使弦在这点被平分使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程求此弦所在直线的方程.【解析】方法一【解析】方法一:由题意可知所作的弦所在直线的斜率存在由题意可知所作的弦所在直线的斜率存在,设所求直线的方程为设所求直线的方程为y-1

36、=k(x-2).y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理代入椭圆方程并整理,得得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,22xy1,164又设直线与椭圆的交点为又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),那么那么x1,x2x1,x2是上是上面方程的两个根面方程的两个根,那么那么x1+x2=x1+x2=由由P P为弦为弦ABAB的中点的中点,知知2=2=解得解得k=-,k=-,故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+2y-4=0.x+2y-4=0.22

37、8 2kk.4k121224 2kkxx,24k112方法二方法二:设直线与椭圆的交点为设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),由由P P为弦为弦ABAB的中点的中点,知知x1+x2=4,y1+y2=2,x1+x2=4,y1+y2=2,由由A,BA,B在椭圆上在椭圆上,知知x12+4y12=16,x22+4y22=16,x12+4y12=16,x22+4y22=16,两式相减两式相减,得得(x12-x22)+4(y12-y22)=0,(x12-x22)+4(y12-y22)=0,即即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,那么那么 即即kAB=-.kAB=-.故所求直线方程为故所求直线方程为y-1=-(x-2),y-1=-(x-2),即即x+2y-4=0.x+2y-4=0.12121212xxyy1,xx4 yy2 1212