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1、习题课函数的应用习题课函数的应用学习目标1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点)1函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3解析令f(x)ex3x0，即ex3x，在同一坐标系中作出函数yex和y3x的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f(x)有1个零点答案B3函数f(x)ax2x1至少存在一个零点，则a的取值范围是_4生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是yx275x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利
2、润时生产的机器为_台解析设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)25xyx2100 x(x50)22 500，故当x50时，获得利润最大答案50【例11】函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)答案B考查方向类型一函数的零点类型一函数的零点 方向1判断函数零点所在的区间方向2判断函数零点的个数【例13】已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_解析设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|.在同一平面直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象，如图方向3根据函数
3、零点求参数的取值范围所以(3a)24a0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，0a9.答案(0,1)(9，)规律方法函数零点问题的解法(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理，结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(3)根据函数的零点求参数的取值范围：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【训练1】(1)函数f(x
4、)xlg x3的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3，)(2)若方程4x2x13a0有零点，则实数a的取值范围是_解析(1)易知函数f(x)xlg x3在定义域上是增函数，f(1)1030，f(2)2lg 230.故函数f(x)xlg x3的零点所在的区间为(2,3)，选C(2)由4x2x13a0得a4x2x13，又4x2x13(2x)222x3(2x1)22，因为2x0，所以(2x1)223.故要使原方程有零点，则a3.答案(1)C(2)(3，)【例2】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与
5、投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？类型二函数模型及其应用规律方法建立函数模型的方法(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型【训练2】今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响经研究，发现工业废气等污染物排放是
6、雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为PP0ekt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t0时的污染物数量若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.21.61，ln 0.31.20，ln 0.40.92，ln 0.50.69，ln 0.90.11.)1对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围2函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题3函数建模的基本过程如图
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