gs2向量代数与空间几何

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1、1 1向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念一、向量的基本概念1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.ABa以A为起点,B为终点的向量,记为AB,a.a向量AB的大小叫做向量的模.记为|AB|或 .|a(一一)向量的概念向量的概念ab自由向量自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.,ba与当向量大小相等且方向相同,记作相等与称 .baba特别特别:模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零

2、向量.它的方向可以看作是任意的.1、向量加法、向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作ba、ba与.baba、baab(2)三角形法则baab将之一平行移动,使的起点与的终点重合,则由 的起点到的终点所引的向量为ba、aba.bab(二二)向量的加减法向量的加减法2.向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1)交换律:abbabaabccbcba(2)结合律:)()(cbacba例如例如:4321aaaass1a2a3a4aabababba3.向量减法向量减法.(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量.记作a

3、a.aaa(2)向量减法.规定:)(baba平行四边形法则平行四边形法则.将之一平移,使起点重合,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,为 ba、ba和.ba三角形法则三角形法则.将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为ba、.baabbaabbaabbba1.定义定义 实数与向量的为一个向量.aa乘积其中:|aa当 0时,;同向与 aa当 0时,;反向与 aa当=0时,.,它的方向可以是任意的oa2.数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:auauau)()()(2)分配律:auaau)(baba)(a(0)(三三)数与向量的乘法数与向量的乘法结论结论:设

4、表示与非零向量同向的单位向量.aa则aaa|或|1aaaaa定理定理1:两个非零向量平行ba与.ba存在唯一实数，使得(方向相同或相反)例例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=ab试用表示向量MA,MB,MC和MD.ba和其中,M是平行四边形对角线的交点.解:ba由=AC=2MC有MC=)(21ba又 =BD=2MDab)(21ab有MD=MB=MD)(21)(21baab)(21baMA=MC abDABCM1.点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.AAu(四四)向量在轴上的投影向量在轴上的投影2.向量在轴上的投

5、影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B.定义定义BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，xeBA则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作ABjuPr即xABjuPr则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue显然；ABjuPrBA|ABjuPr当 与u轴同向时，BA当 与u轴反向时，BA BA|3.两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量ba,(起点同).b),(baa规定：正向间位于0到之间的那个夹角为的夹角,记为或),(ba),(abba,ba,(1)若同向，则ba,0),(ba

6、(2)若反向，则ba,),(ba(3)若不平行，则ba,),0(),(ba4.向量的投影性质向量的投影性质.定理定理 2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则 PrjuAB=|AB|cos BBAAuB1定理定理3:两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。推论推论:nuuunuajajajaaajPrPrPr)(Pr2121BBAAuCC1a2a21aa2121PrPr)(Prajajaajuuu即ajajuuPr)(Pr即定理定理4:实数与向量的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量在该轴上的投影。aa二二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1

7、.空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o(一一)空间直角坐标系空间直角坐标系2.坐标面坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫x y面.y z面、z x面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz(二二)空间向量的表示空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则 x=0;在zx

8、面上,则 y=0;在xy面上,则 z=0.(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0在 y 轴上,则 x=z=0在 z 轴上,则 x=y=0特别特别:(1)起点在原点的向量OM设点 M(x,y,z)以 i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx,y,z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：22|NMONOM222zyx从而：222|OCOBOA222zyxOM(1)(2).起点不在

9、原点O的任一向量 a=M1M2设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2 OM1=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k)=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k即 a=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)为向量a的坐标表示式记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)22221zyxaaaMM两点间距离公式：由此得212212212)()()(zzyyxx(2)21221221221)(

10、)()(zzyyxxMM(3)(3).运算性质设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数a b=(ax bx,ay by,az bz)a=(ax,ay,az)证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)(4)两向量平行的充要条件.设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零

11、相应的分子也为零.a/bzzyyxxbababa(*)a/b a=b则(为常数)例如：(4,0,6)/(2,0,3)1.方向角方向角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向余弦方向余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos 称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cosayzx0设a=(ax,ay,az,)(三三)向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式又：222|zyxaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaa

12、aaaaaa(4)(5)由(5)式可得cos2+cos2+cos2=1(6)设ao是与a同向的单位向量ao|a|a222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa=(cos,cos,cos)(7)例例2.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.2 解:M1 M2=(1,1,)2|M1 M2|=;24)2(1)1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例例3:在z轴上求与两点 A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:设该点为M(0,0,z)由题设|MA|=|MB|.即:222222)2()05

13、()03()7()01()04(zz解得:914z所求点为 M(0,0,)914例例4 证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:14)12()31()47(|22221MM6)23()12()75(|22232MM6)13()32()45(|22213MM由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.一、一、向量的数量积向量的数量积例如例如:设力F 作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.解解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是W=|F|cos|S|=|F|S|cossF

14、且20当时，做正功；2当时，做负功；2当时，不做功。设有两个向量 a、b,它们的夹角为,即:a b=|a|b|cos1.定义定义1:将数值|a|b|cos 称为a与b的数量积(或 点积),记作 a b.内积注注1:当 a 0时,|b|cos =Prjab当 b 0时,|a|cos =Prjba于是于是a b=|a|Prjab=|b|Prjba注注2:a a=|a|2例如例如:i i=j j=k k =1a b=|a|b|cos(1)交换律 a b=b a (2)分配律 (a+b)c=a c+b c(3)数量积满足如下结合律:(a)b=a (b)=(a b),为实数2.数量积的性质数量积的性质(

15、4)a a 0，a=0且a a=0 a b=|a|b|cos a b=|a|Prjab=|b|Prjba证证:必要性:设a b,.2则02cos|baba充分性:设a b=|a|b|cos=0;由a 0,b 0,得:cos=0 ,2即a b例如例如:i、j、k 互相垂直,所以i j=j k=i k =0(5)两个非零向量a,b 垂直a b=0如图,利用数量积证明三角形的余弦定理|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos证证:|c|2=|a b|2=(a b)(a b)=a a+b b 2 a b=|a|2+|b|2 2|a|b|cos|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos故故:

16、abc例例1.由于c=a b,于是=a (a b)b (a b)3.数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j (bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx i i+ax by i j+ax bz i k +ay bx j i+ay by j j+ay bz j k+az bx k i+az by k j+azbz k k=ax bx+ay by+az bz得公式:a b=a

17、x bx+ay by+az bz(1)推论推论:两个非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)垂直ax bx+ay by+az bz=04.数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),(1)求 a 在 b 上的投影.Prjba=|a|)cos(a,b由|a|b|=a b,得)cos(a,b222jPrzyxzzyyxxbbbbababa|b|baab(2)已知已知:(2)求两向量 a,b 的夹角由|a|b|cos=a b,知|a|b|bacos(3)222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa已知三点 M(1,

18、1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.AMB即为向量MA与MB的夹角.由MA=(1,1,0),MB=(1,0,1)得得:cosAMB=|MBMAMBMA21101011100111222222所以所以3AMB例例2解解:由力学规定:力F 对支点O的力矩是一个向量M.其中其中:FOQPL(1)|M|=|OQ|F|=|OP|sin|F|=|OP|F|sin(2)M的方向:垂直于OP与F 所在的平面,指向满足右手规则.即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳,大拇指的指向就是M 的方向.设O为一根杠杆L的支点,有一个力F 作用于这杠杆上P点处,F 与OP的夹角为,考虑 F 对支点

19、 O 的力矩.例如例如:二、两向量的向量积二、两向量的向量积 abc=a b(1)|c|=|a|b|sin(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记作:a b.即:c=a b注注:向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形,其面积等于|a|b|sin,所以a b的模,等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.1.定义定义1:设有两个向量 a、b,夹角为,作一个向量c,使得向量积的性质(1)a a=0(2)反交换律 a b=b a(3)分配律 a(b+c)=a b+a c(4)向量积与数乘满

20、足结合律:(b+c)a=b a+c a(a)b=a (b)=(a b),为实数|c|=|a|b|sin必要性:设a、b 平行,则 =0或 =.于是|a b|=|a|b|sin=0所以所以 a b=0 充分性:设 a b=0 则则|a b|=|a|b|sin=0由|a|0,|b|0,得=0或 =.所以 a 与 b 平行证证:(5)两个非零向量 a、b 平行 a b=0 例如例如:i i=j j=k k=0 i j=k j i=k k j=i i k=jkjixyzk i=jj k=i2、向量积的坐标表示式、向量积的坐标表示式设 a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz)则a b=(ax i

21、+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j(bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx(i i)+ax by(i j)+ax bz(i k)+ay bx(j i)+ay by(j j)+ay bz(j k)+az bx(k i)+az by(k j)+azbz(k k)=ax by k+ax bz(j)+ay bx(k)+ay bz i+az bx j+az by(i)=(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay bx)k得公式:a b=(aybz

22、azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)kzyxzyxbbbaaakji求垂直于向量 a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的向量c.a b 同时垂直于a、b354122kjiba=6i+4j+10k 8k 6j 5i=i 2j+2k取 c=a b=(1,2,2).显然,对于任意 0R,c=(,2,2)也与a、b垂直.例例3:解解:而已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.xyzABCo由向量积的定义.|21ACABSABC而AB=(2,2,2)AC=(1,2,4)所以421222kjiACAB=4i 6j+2k于是|

23、21ACABSABC142)6(421222例例4:解解:三、两向量的混和积三、两向量的混和积 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量,()即的混合积，记作 设有三个向量,则有设向量=(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaaijk,)(zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaacxcycz,zyxzyxbbbaaaijk)(.zyxzyxzyxcccbbbaaa混合积性质：(1)=事实上，若,在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于 ,即()=0(2),共面 =0 混合积()的绝对值等于以 ,为

24、棱的平行六面体的体积 V 的数值。h平行六面体所以，=|()|3、混合积、混合积()的几何意义的几何意义|ijphV=S h=|ijp|S底面积高 h 为 在 上的投影的绝对值a b=|a|Prjab例例5:已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体 ABCD 的体积。解：解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB,AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，.|61ADACABV AB=(x2 x1,y2 y1,z2 z1),AC=(x3 x1,y3 y1,z3 z1),AD=(x4 x1,y4 y1,z4 z1),即所以，V=,61141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。