高数原ch82二重积分计算

《高数原ch82二重积分计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数原ch82二重积分计算（62页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算Ch8-2 二重积分的计算 二、极坐标系下二重积分的计算二、极坐标系下二重积分的计算2一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算 xzyoD),(yxfz 1、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积-二二重积分的重积分的几何意义几何意义曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 DdyxfV),(由二重积分定义由二重积分定义这也是二重积分的几何意义。这也是二重积分的几何意义。32、用用几何观点几何观点讨论二重积分的计算法讨论二重积分的计算法 应用应用“定积分定积分”中求中求“平行截面面积为已知平行截面面积为已知的立体的体积的立体的体积”的

2、方法计算这个曲顶柱体的体积。的方法计算这个曲顶柱体的体积。bxaxyxD ),()(:21 (1)设设f(x,y)0，f(x,y)在在D上连续。上连续。X型型o a b xyD)(2xy )(1xy o a b xy)(2xy )(1xy D4)(0 xA)(2xy o a x0 b xyz),(yxfz )(1xy 在区间在区间a,b上任取一点上任取一点x0，作平行于作平行于yOz面面的平面的平面x=x0。)()(000201),()(xxdyyxfxA 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 1(x0),2(x0)为底、曲线为底、曲线z=f(x0,y)为曲

3、边的曲边为曲边的曲边梯形，其截面面积为：梯形，其截面面积为：先计算截面面积。先计算截面面积。5 一般地，过区间一般地，过区间a,b上任上任一点一点x且平行于且平行于yOz面的平面面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：截曲顶柱体所得截面面积为：。)()(21),()(xxdyyxfxA 于是于是，应用计算平行截面面积为已知的应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为得曲顶柱体体积为 badxxAV)(这个体积也就是所求二重积分的值这个体积也就是所求二重积分的值，从而从而有等式有等式)1(),(),()()(21 baxxDdxdyyxfdyxf baxxdxdyy

4、xf),()()(21 )(2xy o a x b xyz()A x),(yxfz )(1xy 6 上式右端的积分叫做先对上式右端的积分叫做先对y、后对后对x的二次积分。的二次积分。baxxdyyxfdx)()(21),(。即即)1(),(),()()(21 baxxDdyyxfdxdyxf 就是说，先把就是说，先把x看作常数，把看作常数，把f(x,y)只看作只看作y的函的函数，并对数，并对y计算从计算从 1(x)到到 2(x)的定积分；的定积分；再把计算所得的结果（是再把计算所得的结果（是x的函数）对的函数）对x计算在区计算在区间间a,b上的定积分。上的定积分。这个先对这个先对y、后对后对x

5、的二次积分也常记作的二次积分也常记作7(2)D如如果果积积分分区区域域 可可以以用用不不等等式式Y型型dycyxy ),()(21 来来表表示示Dyoxdc)(1yx yoxdc)(1yx )(2yx )(2yx D8 计算时先把计算时先把y看作常数，因此看作常数，因此f(x,y)是是x的的一元函数，一元函数，在区间在区间 1(y)x 2(y)上对上对x积分积分,得到一得到一个关于个关于y的函数的函数,再在区间再在区间c y d上对上对y积分积分,。这就是把二重积分化为先对这就是把二重积分化为先对x、后对、后对 y的二次积分的公式。的二次积分的公式。Ddyxf),(21()()(,)(2)dy

6、cydyf x y dx dcyydydxyxf)()(21),(921()()(,)(,)(1)bxaxDf x y ddxf x y dy 应用公式应用公式(1)时，积分区域必须是时，积分区域必须是X型区域。型区域。21()()(,)(,)(2)dycyDf x y ddyf x y dx 应用公式应用公式(2)时，积分区域必须是时，积分区域必须是Y型区域。型区域。X型区域型区域D的特点是：穿过的特点是：穿过D内部且平行于内部且平行于y轴轴的直线与的直线与D的边界相交不多于两点。的边界相交不多于两点。Y型区域型区域D的特点是：穿过的特点是：穿过D内部且平行于内部且平行于x轴的直线与轴的直线

7、与D的边界相交不多于两点。的边界相交不多于两点。10 若积分区域若积分区域D既不是既不是X型区型区域也不是域也不是Y型区域，型区域，D，此时要，此时要将积分区域将积分区域D分成分成几部分几部分，使，使得每一部分是得每一部分是X型区域或型区域或Y型区型区域，再利用积分关于区域的可域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。加性可得整个区域上的积分。yox2D3D1D 若积分区域若积分区域D既是既是X型区域也是型区域也是Y型区域，则。型区域，则。2211()()()()(,)(,)bxdyaxcydxf x y dydyf x y dx 这表明二次积分可以交换积分次序。这表明二次积分可以交

8、换积分次序。123(,)(,)(,)(,)DDDDf x y df x y df x y df x y d 113、二重积分计算的一般方法、二重积分计算的一般方法 要依被积函数及积分区域两方面的情况选要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。定积分顺序。-化为两次单积分化为两次单积分 (1)作图，确定作图，确定D的类型。的类型。(2)选定积分顺序。选定积分顺序。(3)定出积分上下限。定出积分上下限。(4)计算定积分。计算定积分。确定积分顺序之后，积分的上下限是依确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的的特点而定的。特点而定的。要使两次积分都能要使两次积分都能“积得出积得出”，“易积出易积出

9、”。12221,111Dyxy dDyx xy 计计算算其其中中 是是直直线线和和所所围围成成例例的的闭闭区区域域。11 xo 1 xy=xy,yx先先对对再再对对 求求积积分分31221211 2(1)|2 3xxydx 113)1|(|31dxx 103)1(32dxx Ddyxy 221dxdyyxyx 111221。21 解解 画出积分区域画出积分区域D如图所示如图所示。既是既是X型，又是型，又是Y型的。型的。13,xy若若先先对对 再再对对 求求积积分分 则则 Ddyxy 221 111221dydxyxyy。11 o 1 xy=xyy142,:2,2DxydDyx yx 计计算算二

10、二重重积积分分由由例例所所围围区区域域。解解 首先画出积分区域首先画出积分区域D的图形。的图形。O 1 x-221 y(1，1)(4,-2),21DDD(1)如先积如先积y后积后积x，则有，则有 ,10:1xxyxD 。412:2xxyxD1D2D15O 1 x(4,-2)-221 y(1，1)1D2D Dxyd dxxydxxx 241210210 xxxydydx10 xxxydydx241 4123)45(21dxxxx。845 21DDxydxyd 16O 1 x(4,-2)-221 y(1，1)D(2)如先积如先积x后积后积y，则有，则有 yyxydxdyI2122 12532442

11、1dyyyyy1263326434221 yyyy。845 dyyyy4212)2(2 评注评注 本例说明，在化二重积分为二次积分时，本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函的形状，又要考虑函数数f(x,y)的特性。的特性。174、交换积分顺序、交换积分顺序由所给的积分顺序及积分限写出由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式的不等式表示并画出积分区域的草图表示并画出积分区域的草图由积分区域按新的积分顺序确定积分限。由积分区域按新的积分顺序确定积分限。例例3 交换

12、以下积分的积分顺序交换以下积分的积分顺序212220010(,)(,)xxxIdxf x y dydxf x y dy 12(,)(,)DDIf x y dxdyf x y dxdy 解解 ,10,20:21xxxyD 2120:2xxyD18 ,10,20:21xxxyD 2120:2xxyDy1y 2 xO 1 2 x221DDD 10211:2yyxyD 102112),(yydxyxfdy xxxdyyxfdxdyyxfdxI20212010),(),(2D1D219课内练习一课内练习一 改变以下二次积分的积分次序改变以下二次积分的积分次序 yydxyxfdyI),()1(101 22

13、1111112),()2(xxdyyxfdxI yyadxyxfdyI),()3(0320110(1)(,)yyIdyf x y dx 解解 xxdyyxfdx2),(10 221111112),()2(xxdyyxfdxIyyx222 1o2xy 222220),(yyyydxyxfdy1yxxy xy 21 yyadxyxfdyI),()3(03 axaaxadyyxfdxdyyxfdx2),(),(00 xy xy yaOx22例例4.计算计算,d122 DyxyI其中其中D 是由直线是由直线.11所围成的闭区域所围成的闭区域和和、yxxyxyO1 xy 11解解:D11 xy x1 I

14、 11dx 122d1xyyxy 122111dxyxx21)1(d22yx 232211)1(d31yxxx123 232211)1(d31yxxIx1 113d)1(31xx21 1 xyO1 xy 11 :D11 y x1 y 11dyI yxyxy122d1 yxyxyy12211d1d不易积分不易积分24例例5.计算计算 DyyI,dsin 其中其中D 是直线是直线,xy 所围成的闭区域所围成的闭区域.xy 2抛物线抛物线yxxy 2xy 1)1,1(1O解解:D10 xy xx 10dxI xxyyydsin积积不不出出 :D10 yx 2yy 10dyI yyxyy2dsin y

15、yxyyy2ddsin1025 yyxyyyI2ddsin10 102d)(sinyyyyy 1010dsindsinyyyyy1sin1 说明说明:根据被积函数的特点根据被积函数的特点,选择适当的积分次序选择适当的积分次序,1)定积分能积、易积定积分能积、易积2)被积函数如是一元函数被积函数如是一元函数,可考虑可考虑先对没有的那个变量积分先对没有的那个变量积分.ln1,cos,sin,sin2222等等应应将将其其放放在在后后面面积积分分出出现现dxxdxedxedxedxxdxxdxxxxyxx 26例例6.证明：证明：ttatfxxfyayad)()(d)(d000 证：证：:Day 0

16、yx 0 xyOxy aa :Dax 0ayx 左左yxxfDdd)(axayxfxd)(d0 axxaxf0d)(右右 法二：法二：左左 yayxxf00dd)(ayxxfy00d)(yaxxfy00d)(dyyfd)(27822 yx2D22yxO221D221xy 21DDD 将将视为视为Y型区域型区域,则则yx2 穿到穿到28yx :D20 y282yxy yxyxfIDdd),(20dy 282d),(yyxyxf28例例7.计算计算 yxyxeyI212141dd yyxyxeydd121解解:不能用初等函数表示不能用初等函数表示 xexyd先改变积分次序先改变积分次序积分域由两部

17、分组成积分域由两部分组成:1D2141 yyx 21 :2D121 yyxy 2xy xy 2D1D :D121 xxyx 229 121d)(xeexxee2183 xxxyyex221dd1 DxyyxeIdd说明说明:1)由所给积分限及积分次序写出由所给积分限及积分次序写出 D 的不等式组的不等式组改变积分次序的方法：改变积分次序的方法：2)确定边界曲线确定边界曲线,画出画出 D 的草图的草图;3)将将 D 用另一顺序的不等式组表示用另一顺序的不等式组表示.表示表示;30例例8.计算计算 DyxI,dsin2 1:2222 byaxDyxO :Daxa 222211axbyaxb 222

18、2112dsindaxbaxbaayyxxI0 yxO对称对称即即轴轴关于关于)0(yxD :Dbxa )()(xyx 31 :Dbxa )()(xyx :)0(对对称称即即轴轴关关于于 yxD Dyxyxfdd),()()(d),(dxxbayyxfx 是是奇奇函函数数关关于于 yyxf),(),(),(yxfyxf 0是是偶偶函函数数关关于于 yyxf),(),(),(yxfyxf )(0d),(d2xbayyxfx 1dd),(2Dyxyxf的的部部分分中中是是01 yDDyxO1D32结论结论:d),(DyxfI满足满足xyOD1D对对称称关关于于0)1 yD),(),()2yxfyx

19、f 0 I满足满足对对称称关关于于0)1 yD),(),()2yxfyxf ,d),(21 DyxfID1 为为 D 中位于中位于 x 轴上方的部分轴上方的部分)0(y当区域关于当区域关于 x=0(y 轴轴)对称对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,有类似结果有类似结果.33例例9 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。的直交圆柱面所围成的立体体积。解解 设这两个圆柱面的方程分别为设这两个圆柱面的方程分别为 利用立体关于坐标平面利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第的对称性，只要算出它在第一卦限部分一卦限部分(如右图如右图)的体积的体

20、积V1，然后再乘以，然后再乘以8就行了。就行了。x2+y2=R2 及及 x2+z2=R2yoxD22xRy xyRRzo34 所求立体在第一卦限部分所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，可以看成是一个曲顶柱体，它的底为它的底为,0,0),(22RxxRyyxD ,22xRz 如图所示，它的顶是柱面如图所示，它的顶是柱面。DdxRV 221yoxD22xRy xyRRzo于是，于是，35yoxD22xRy 利用公式利用公式(1)，得，得 DdxRV 221dxdyxRRxR 002222 RxRdxyxR002222从从而而所所求求立立体体体体积积为为 RdxxR022)(332R。31

21、3168RVV xyRRzo36 RD 020:RxyO222:RyxD 2222:xRyxRRxRD二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域有些二重积分，积分区域D的边界用极的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量极坐标变量r、表达比较简单。这时，可表达比较简单。这时，可以利用极坐标计算二重积分。以利用极坐标计算二重积分。37xyOi ii i i 在极坐标系下在极坐标系下,用用同心圆同心圆常数常数 及射线及射线 =常数常数,划分划分 D 为为),2,1(nii 则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小

22、区域外,小区域的面积小区域的面积 d d d d d d dd sincosyx d),(Dyxf dd)sin,cos(Df38 DO)(1 )(2 )(1 )(2 O设设,)()(:21 D则则 dd)sin,cos(Df d)()(21d)sin,cos(f39特别特别,对对 )(020:D Df dd)sin,cos()(OD 20d)(0d)sin,cos(f40若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积 d)(21202 D d dd D思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,答答:;0)1(试问试问 的变化范围是什么的变化范围是

23、什么?)(DOyx(1)(Doyx(2)22)2(41例例1 将下图所示区域用极坐标表出将下图所示区域用极坐标表出:2222)1(byxa axyx2)2(22 bxyOaxyOa2xyO21yyxy42)3(22 xyO2142)4(22 yxy42xyO2xyO2所所围围xyxyx2,2)5(所围所围2,0,2)6(xyyx 432222)1(byxa bxyOa :D 20 2 abaxyx2)2(22 xyOa2 :D22 0 axyx222a22 cos cos2a cos2a 44xyO21yyxy42)3(22 :D;0 sincosyxyyxy4222 代入代入 sin4sin

24、22 sin4sin2 sin2 sin445xyO2142)4(22 yxy1D2D sincosyx222yxy 代代入入,sin2 422 yx2 :1D 02sin2 :2D 2 20 21DDD 46xyO2所所围围xyxyx2,2)5(2x2cos cos2 xy xy24 cos2sin 2tan 2arctan :D2arctan4 0 cos247xyO2所围所围2,0,2)6(xyyx 24tan 2 2arctan 2xy 2xy,cossin22 2cossin 2x cos2 :D2arctan0 2cossin cos248例例2 将下列积分化为极坐标形式将下列积分

25、化为极坐标形式,并计算积分值：并计算积分值：xyxDyxyxD2:,dd)1(2222 ,ddarctan)2(yxxyD ,4,1:2222 yxyxD部部分分所所围围的的位位于于第第一一象象限限的的0,yxy1,1:,dd)3(2222 yxyxDyxyxyxD49xyxDyxyxD2:,dd)1(2222 DI dd dd2 DxyO2 :D22 0 cos2 22d I cos202d 223dcos38 38 2 32 932 50,ddarctan)2(yxxyD ,4,1:2222 yxyxD部部分分所所围围的的位位于于第第一一象象限限的的0,yxyxyO122 yx1 422

26、yx2 xy 4 :D40 12 yxxyDddarctan)cossin(arctan D dd 51 :D40 12 yxxyDddarctan dd)cossin(arctan D dd)n(arctan(ta D 40d 21d)arctan(tan 40d 21d 2643 521,1:,dd)3(2222 yxyxDyxyxyxD11Oyx122 yx1 1 yx1)sin(cos sincos1 :D20 sincos1 1 yxyxyxDdd22 ddsincos2 D53 :D20 1 sincos1 yxyxyxDdd22 ddsincos2 D dd)sin(cos D

27、20d 1sincos1d)sin(cos 20d)1sin(cos 22 54说明说明:例如例如 D 是圆域、圆域的一部分；是圆域、圆域的一部分；可考虑利用极坐标计算二重积分可考虑利用极坐标计算二重积分 或或 (2)被积函数被积函数 ),(yxf)(22yx ),(yxf)(xy)(2 )(tan (1)积分区域积分区域 D 的边界用极坐标表示的边界用极坐标表示 比较简单，比较简单，如果如果55小结：小结：利用极坐标计算利用极坐标计算yxyxfDdd),(2)画出画出 D 的草图的草图,确定边界曲线确定边界曲线 ,写出其在极坐标系下的方程写出其在极坐标系下的方程,求交点求交点;d),(1Dy

28、xf）dd)sin,cos(Df563)写出写出 D 的不等式组表示的不等式组表示,过原点过原点 O 作射线作射线 l,:的范围的范围上上 D ,l为为极极角角作作射射线线内内任任一一以以 穿到穿到由曲线由曲线)(1 l,)(2 曲线曲线内内部部分分为为射射线线在在 D)()(,:21 D DO)(1 )(2 )()(21 574)将二重积分化为二次积分将二重积分化为二次积分,计算两个定积分计算两个定积分.)()(21d)sin,cos(f dd)sin,cos(Df d)()(,:21 D58例例3.计算计算,dd22 Dyxyxe其中其中.:222ayxD 解解:在极坐标系下在极坐标系下,

29、020:aD 原式原式 D d02 aeae02212 )1(2ae 2xe 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算故本题无法用直角坐标计算.2 e dd 20d由于由于故故59例例4.求球体求球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面xayx222 )0(a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.解解:xyza2OOa2yx由对称性可知由对称性可知yxyxaVDdd44222 轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域及及 xxaxyD22:xayx222 D为为顶顶以以2224yxaz 为为底底以以 D60yxyxaVDdd44222 dd4422

30、 Da cos2020:aD 20d4 cos2022d4aa d)sin1(3322033 a)322(3323 aOa2yx xayx222 cos2a 61例例5 计算计算yyxDyxyxD2:,dd)()1(22 ,dd1)2(22yxyxD 2:22 yxDD)1(由对称性可知由对称性可知0dd yxxDyxyDdd21 原式原式xyO1 ddsin21 D 20d2 sin20dsin 203dsin3)sin2(2 316 43 21 2 262,dd1)2(22yxyxD 2:22 yxDxyO1D2D 221yx0122 yx,122yx 1D2D,122 yx0122 yx12,1:221 yxD21:222 yxD 1dd)1(22Dyxyx原式原式yxyxDdd)1(222 d)1(102 20d d)1(212 20d