概率论基础知识修改版四川大学理工概统课件

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1、1第一章第一章 概率论基础知识概率论基础知识主要主要内容内容四个概念（随机事件、概率、条件概四个概念（随机事件、概率、条件概率及率及事件的独立性）事件的独立性）四个公式（加法公式、乘法公式、四个公式（加法公式、乘法公式、全全概率公式和贝叶斯公式）概率公式和贝叶斯公式）三个概型（古典概型、几何概型、独三个概型（古典概型、几何概型、独立试验概型即伯努利概型）立试验概型即伯努利概型）21.1 样本空间与随机事件样本空间与随机事件31.1.1 随机试验随机试验1.1.可以在相同条件下可以在相同条件下重复重复进行；进行；2.2.试验结果试验结果不止一个不止一个，且可以预知，且可以预知一切一切 可能可能的

2、结果的取值范围；的结果的取值范围；3.3.试验前试验前不能不能确定会出现哪一个结果。确定会出现哪一个结果。随机试验的随机试验的三个特点三个特点:对随机现象进行的观察或试验称为对随机现象进行的观察或试验称为随随机试验机试验，简称为，简称为试验试验。4例如考虑试验：将一枚硬币抛掷两次例如考虑试验：将一枚硬币抛掷两次，第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):可能结果为（可能结果为（正面为正面为H，反面为，反面为T）:=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)可见，该随机试验可见，该随机试验的所有可能的结果，的所有可能的结果，构成一个集合：构成一个集合

3、：我们称该集合为这我们称该集合为这个随机试验的个随机试验的样本样本空间空间。51.1.2 样本空间样本空间在下图中，用在下图中，用表示一个试验的所有可能的表示一个试验的所有可能的集合，则集合，则称称 为为样本空间样本空间.而而这个随机试验这个随机试验的每个的每个基本结果基本结果称为称为样本点样本点，记作，记作.样本点样本点.6-样本空间的子集样本空间的子集例：掷一颗骰例：掷一颗骰(tou)子，观察出现的点数子，观察出现的点数.=1,2,3,4,5,6样本空间：样本空间：B=1,3,5B发生当且仅当发生当且仅当B中的样中的样本点本点1，3，5中的中的某一个某一个出现出现.事件事件B就是就是 的一

4、个子集的一个子集随机事件随机事件7从集合的角度看从集合的角度看事件是由某些样本点所构成的一个集合一个事件发事件是由某些样本点所构成的一个集合一个事件发生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现由此可生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现由此可见，样本空间见，样本空间作为一个事件是作为一个事件是必然事件必然事件，空集，空集 作作为一个事件是为一个事件是不可能事件不可能事件，仅含一个样本点的事件称，仅含一个样本点的事件称为为基本事件基本事件 AB 1.1.3 事件的关系及运算事件的关系及运算1.1.事件的包含与相等事件的包含与相等 “A“A发生必导致发生必导致B B发生发生”,”,记记作作 A A B

5、.B.A AB B A A B B且且B B A.A.9事件的和（并）事件的和（并）“事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”，记作记作A Bn个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作iniA110n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An3.事件的积（交）事件的积（交）:A A与与B B同时发生，记作同时发生，记作 A A B B或或ABAB11思考：何时思考：何时A-B=A-B=?何时何时A-B=AA-B=A？注：注：A-B=A-ABA-B=A-AB4.4.事件的差：事件的差：A AB B称为称为A A与与B B的差事件的差事

6、件,表示事件表示事件 发生而发生而B B不发生不发生125.5.互不相容（互斥）的事件：互不相容（互斥）的事件：如果事件如果事件A A与事件与事件B B不不能同时发生，即能同时发生，即ABAB，则称，则称A A与与B B为互为互斥事件。斥事件。注：注：(b)互斥事件可同时不发生。互斥事件可同时不发生。(a)基本事件组是互斥事件组，基本事件组是互斥事件组，136.6.对立（互逆）的对立（互逆）的事件事件：如果如果 A A B B ,且且ABAB,则称则称A A与与B B为互逆事件，记作为互逆事件，记作B=A，如果如果A A，B B是任意两事件，则有是任意两事件，则有,.AAAAABABAA AA

7、3)()ABABA 注意对立事件与互斥的区别注意对立事件与互斥的区别.147.7.完备事件组完备事件组1nii A若事件若事件A A1 1,A,A2 2,A,An n为两两互不相容的事件，为两两互不相容的事件，并且并且 ,称事件组称事件组A A1 1,A,A2 2,A,An n构成构成一个完备事件组。一个完备事件组。注注:A(a)A与与 构成一个完备事件组；构成一个完备事件组；(b)基本事件组构成一个完备事件组。基本事件组构成一个完备事件组。事件事件的关系与运算与的关系与运算与集合集合的关系及运的关系及运算是一致的，具有相同的运算律。算是一致的，具有相同的运算律。说明：说明：15 事件间的事件

8、间的运算律：运算律：(课本第四页课本第四页)1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶律，又称德、对偶律，又称德摩根摩根(De Morgan)律律：.,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广16(1)只有乙没有击中；只有乙没有击中；(2)甲、乙至少有一人击中，而丙甲、乙至少有一人击中，而丙未击中；未击中；(3)至少两人击中目标；至少两人击中目标；(4)靶上仅中一弹；靶上仅中一弹；(5)三人都没有击中；三人都没有击中；(6)三人中至少有一人击中目标

9、；三人中至少有一人击中目标；例例1 1：甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，以甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：CBACBA)(ACBCABCBACBACBACBACBA思考：思考：(7)三人中最多有一人击中目标；三人中最多有一人击中目标；(8)靶上恰中两弹。靶上恰中两弹。17例例2：一工人生产了一工人生产了n个零件，设个零件，设Ai表示表示“第第i个零件是个零件是正品正品”（i=1,2,.n).试用文字叙述下列事件：试用文字叙述下列事件：(1

10、),(2),(3)1niiA1niiA1()niknkkiAA解：解：（1）n个零件全为正品；个零件全为正品；（2）至少有一个零件不是正品，或）至少有一个零件不是正品，或 ；（3）有且仅有一个零件不是正品。）有且仅有一个零件不是正品。1niiAi=1n18 我们关心某个随机事件我们关心某个随机事件A发生的可能性大小：发生的可能性大小：想法：想法：用用P(A)来度量，来度量，P(.)的取值跟的取值跟A有有 关，即：用一个与关，即：用一个与A有关函数来定义。有关函数来定义。因此：因此：P(.)是个集函数。是个集函数。下面考虑该集函数的应具有的性质。下面考虑该集函数的应具有的性质。1.2 事件发生的

11、概率事件发生的概率19 在不变条件下在不变条件下,重复进行重复进行 n n 次试验次试验,事件事件A A发生发生的频率的频率稳定地在某一常数稳定地在某一常数 p p 附近摆动附近摆动,且一般地说且一般地说,当次数当次数 n n 越大越大时时,摆动幅度越小摆动幅度越小,则称常数则称常数 p p为事为事件件 A A 发生的概率发生的概率,记作记作P P(A A)。频率频率f fn n(A)(A)虽然具有虽然具有波动性，但有刻画事件波动性，但有刻画事件A A 发生可能性客观的一面，故发生可能性客观的一面，故被称为被称为A A的的统计概率统计概率。定义定义1.1 在在 次重复试验中，若事件次重复试验中

12、，若事件A发生发生了了 次，则称次，则称 为事件为事件A发生的频数，称发生的频数，称为事件为事件A发生的发生的频率频率，记为，记为 。nkknk/)(Afn201.1.非负性：非负性：对于每一个事件对于每一个事件A A，00P P(A)1;)1;2.2.规范性：规范性：P(P()=1;)=1;3.3.可列可加性：可列可加性：对于两两互斥的事件对于两两互斥的事件 A A1 1,A,A2 2,有有.)(11iiiiPPAA 1.2.21.2.2概率的公理化定义概率的公理化定义设设E是随机试验，是随机试验，是它的样本空间。是它的样本空间。对于每一个事件对于每一个事件A赋予一个实数赋予一个实数P(A)

13、,称为称为事件事件A的概率，如果它满足：的概率，如果它满足：21概率的性质概率的性质0)P(1 一般地，一般地，）互互斥斥（即即 ABB A,2)()()(BPAPBAP ),2,1,(jinjiAAji niiniiAPA11)()(P 22AA)AP(-1P(A)3)AB(P)A(P)BA(P4 则则特别：若特别：若,AB )B(P)A(P)BA(P BA-B A B)A(P)B(P,AB 则则小结论小结论:概率的性质概率的性质1)(5 AP236（加法公式加法公式）)(BAP)(ABP 推广：推广：)(CBAP)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP )(ABCP)()(

14、BPAP ABAB概率的性质概率的性质24 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2从而从而 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1。例例3:3:已知已知 P(A)=0.7，P(B)=0.3，P(A-B)=0.5，求求P(B-A)。解：解：25例例4:某市有某市有A,B,C三种报纸三种报纸,调查表明居民家调查表明居民家庭订购庭订购C报的占报的占30%,同时订同时订A,B两种报纸占两种报纸占10%,同时订同时订A,C及及B,C两种报纸各占两种报纸各占8%与与5%，三种都订的占三种都订的占3%.求从该市任选一户求从该市任选一户,问该

15、户问该户(1)只订只订A、B两报的概率；两报的概率；(2)只订只订C报的概报的概率。率。解解:设设A,B,CA,B,C分别表示该户订分别表示该户订A,B,CA,B,C报这三个报这三个事件事件,则则)()()1(ABCABPCABP )()(ABCPABP )(ABABC P(C)=0.3,P(AB)=0.1,P(AC)=0.08,P(BC)=0.05,P(ABC)=0.03.于是，于是，=0.10.03=0.07；26)BA(C(P)CBA(P)2()BA(CC(P )ABC(P)BC(P)AC(P)C(P 2.0)03.005.008.0(3.0 27等可能概型等可能概型等可能概型是指在一次

16、试验中，样本空间的每个等可能概型是指在一次试验中，样本空间的每个样本点被取到的可能性相等的随机试验类型，这样本点被取到的可能性相等的随机试验类型，这是一种最简单的概率类型。是一种最简单的概率类型。古典概型古典概型几何概型几何概型等可能概型等可能概型281.3.1 古典概型古典概型古典概型古典概型具有如下特点：具有如下特点：（1）样本空间样本空间 中的样本点的数量是有中的样本点的数量是有限的，即试验的基本事件总数为限的，即试验的基本事件总数为有限个有限个：=1,2,n；（2）每次试验中，每个样本点出现的）每次试验中，每个样本点出现的可可能性相同能性相同：P(P(1 1)=P()=P(2 2)=P

17、()=P(n n).).（3）在任何一次试验中，）在任何一次试验中，1,2,n中中有且仅有一个发生有且仅有一个发生29古典概型的计算公式古典概型的计算公式在古典概型中，若在古典概型中，若 中有中有n个样本点，个样本点，事件事件A中有中有k个样本点，则个样本点，则()knP A A中的样本点数。中的样本点数A所包含的基本事件数试验的基本事件总数这就是古典概型概率的计算公式。这就是古典概型概率的计算公式。30一般古典概型的概率计算步骤为：一般古典概型的概率计算步骤为：（1 1）判断试验为古典试验，即判断试验为古典试验，即基本事件总数为基本事件总数为有限个，且有限个，且各基本事件出现的可能性相同。各

18、基本事件出现的可能性相同。（2 2）计算样本空间中样本点的个数计算样本空间中样本点的个数n；（3 3）计算事件计算事件A包含样本点的个数包含样本点的个数k；（4 4）由由 计算事件计算事件A A的概率。的概率。()knP A 31 一个袋子中装有一个袋子中装有10个大个大小、形状完全相同的球小、形状完全相同的球.将球将球编号为编号为110。把球搅匀，蒙。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全因为抽取时这些球是完全平等的，故没有理由认为平等的，故没有理由认为10个球中的某一个会比另一个个球中的某一个会比另一个更容易取得更容易取得.也就是说，也就是说，10个球

19、中的任一个被取出的机个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为会是相等的，均为1/10.1325 67 8 9 10410个球中的任一个被个球中的任一个被取出的机会都是取出的机会都是1/10 所以，所以，称称这类概率模型为这类概率模型为古典概型古典概型.2 3479108615示例：示例：32在此示例中在此示例中,若若 记记 A=摸到摸到2号球号球 若记若记 B=摸到红球摸到红球2234791086151324 56 P(A)=1/10显然：显然：则则 P(B)=?P(B)=6/10 显然：显然：P(A)=?则则这里实际上是从这里实际上是从“比例比例”转化转化为为“概率概率”静态动态动态当要求当

20、要求“摸到红球摸到红球”的概率时，的概率时，实际上只要找出它在静态时相实际上只要找出它在静态时相应的比例应的比例.33加法原理：加法原理：设完成一件事可以分为设完成一件事可以分为两类两类（两种（两种途径），第一种途径有途径），第一种途径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。回顾：排列与组合回顾：排列与组合1 1、两条原理：、两条原理：乘法原理：乘法原理：设完成一件事需分设完成一件事需分两步两步，第一步，第一步有有n n1 1种方法种方法,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完

21、成这件种方法，则完成这件事共有事共有n n1 1n n2 2种方法种方法。34（1 1）有重复排列：从含有）有重复排列：从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k次，次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，共有共有n nk k种排列方式种排列方式.2 2、排列：、排列：（2 2）无重复排列（选排列）：从含有）无重复排列（选排列）：从含有n n个元素的集合中随个元素的集合中随机抽取机抽取k k 次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，结果排成一列，共有共有

22、A An nk k=P=Pn nk k=n(n-1)(n-2)(n-k+1)=n(n-1)(n-2)(n-k+1)种排列方式种排列方式.（3 3）全排列：从含有）全排列：从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取n n次，每次，每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，共有共有A An n=P=Pn n=n!=n!种排列方式种排列方式.35（1 1）从含有）从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取 k k个，共有个，共有种取法种取法.)!(!knknkPknCknkn3 3、组合：、组合：（2 2）把）把

23、n n个元素随机地分成个元素随机地分成 m m组组(n(nm),m),要求第要求第 i i 组恰组恰有有n ni i个个(i=1,m)(i=1,m)，共有，共有!1mnnn种分法种分法.36n个不同元素分为个不同元素分为m 组，各组元素数目组，各组元素数目 分分别为别为 n1,n2,nm 的分法总数为：的分法总数为：nnnn,!n!n!n!nm21m21 n1个个元素元素nm个个元素元素n2个个元素元素n个元素个元素mm211nnnnnnnCCC !n!n!n!nm21 因为：因为：分组分分组分配配37 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡

24、片放入同一盒中，现张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？例例1:38故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：422 解解:设设A：排列结果恰好拼成英文单词：排列结果恰好拼成

25、英文单词 S C I E N C E 拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为：的情况数为：:k00079.012601!74)(AP如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在在1260 次试验中大约出现次试验中大约出现 1 次次.n:七个字母的排列总数为七个字母的排列总数为 7！39例例2:设有设有N 件产品件产品,其中有其中有M 件次品件次品,现从这现从这N 件件 中任取中任取 n 件件,求：其中恰有求：其中恰有k 件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.令令 B=恰有恰有k件次品件次品 则：则：P(B)=？

26、nNknMNkMBP)(次品次品正品正品M件件次品次品N-M件件正品正品解：解：40例例3 3：3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学名学生平均分成生平均分成3 3组，求：组，求：（1 1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。30!10!10!10!N 101010302010C C C27!3!509!9!9!()203P AN710102720103()C C CP BN解解:设设A:A:每组有一名运动员；每组有一名运动员；B:3B:3名运动员名运动员 集中在一组集中在

27、一组41 把把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的只的分法总数为：分法总数为：而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,nnn2)!2(!2!2!2)!2()!2(2!2/)!2(!)(nnnnAPnn 例例4:n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，每堆堆，每堆2只只.问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多的概率是多少？少？故得故得:解：解：42例例 5:盒中有盒中有6张面值相同的债券张面值相同的债券,其中有两张中奖债券其中有两张中奖债券,现从中任取两次现从中任取两次,每次取一张每次取一张,考虑两种取法考虑两种取法:(1).有放

28、回地取有放回地取：第一次取出观察后放回盒中：第一次取出观察后放回盒中 混合均匀后再取第二次混合均匀后再取第二次 (放回抽样放回抽样)(2).无放回地取无放回地取：第一次取出后不放回盒中：第一次取出后不放回盒中,第第 二次从剩余的债券中再取一张二次从剩余的债券中再取一张(不放回抽样不放回抽样)求：求：分别就两种抽样方式求取到的两张都是中奖分别就两种抽样方式求取到的两张都是中奖 的的 债券的概率？债券的概率？43解解：显然，本题属：显然，本题属古典概型古典概型。(1).有放回地抽取有放回地抽取：设：设A：取到的两张都是中奖券：取到的两张都是中奖券第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是第一次从盒中取

29、，不论是否是中奖券，总是从从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是张中取一张，第二次再从盒中取，仍是有有 6 张券可供抽取，故有：张券可供抽取，故有：)(361616种种 PP:k中奖券有中奖券有 2 张，第一次取有张，第一次取有 2 张可供抽取张可供抽取,第二第二次取仍有次取仍有 2 张可供抽取，故有：张可供抽取，故有：)(41212种种 PP从而从而:111.091364)(nkAP:n44(2).(2).不放回地抽取不放回地抽取：116530(),PP种从而从而:067.0151302)(nkAP 在此例中若将取法改为在此例中若将取法改为“一次抽取两张一次抽取两张”,其它其它条件不变则

30、有条件不变则有:067.0151)(2622 CCAP “不放回地抽取两次不放回地抽取两次,每次取一张每次取一张”相当于相当于 “一一 次抽取两张次抽取两张”.故在许多问题中如果不是有放故在许多问题中如果不是有放回回 地抽样地抽样,就统称为就统称为“任意取出任意取出”多少个。多少个。:n:n:n:k11212(),PP种注注:45两个基本的摸球模型两个基本的摸球模型口袋中有口袋中有N只球，其中只球，其中m个红球，余下是个红球，余下是白球白球,他们除颜色以外没有差别，现随机他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到恰好摸到k个红球

31、的概率。个红球的概率。考虑如下两种情况考虑如下两种情况:(1)有放回摸球有放回摸球(2)不放回摸球不放回摸球46（1 1）有放回抽样）有放回抽样 样本空间中的样本点总数一共有样本空间中的样本点总数一共有Nn 取出的取出的 n 个球个球究竟哪究竟哪 k 个是红球：个是红球：Cnkm个红球中个红球中取取 k 个：个：mk(N-m)个白球中个白球中取取n k 个：个：(N-m)n k概率论中称为是概率论中称为是二项分布二项分布的概率公式的概率公式knkknnknkknkNmNmCNmNmCp )1()()(47（2 2）无放回抽样）无放回抽样中包含的样本点，即从中包含的样本点，即从N个球中个球中不放

32、回抽取不放回抽取n个。个。我们感兴趣的是：我们感兴趣的是：n个中有个中有k个红球。个红球。概率论中称为是概率论中称为是超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。),min(,.,1,0,nmkCCCpnNknmNkmk 481.3.2 几何概型几何概型 几何概型几何概型:保留古典概型保留古典概型等可能性等可能性的特的特征征,允许试验的所有可能结果为直线上允许试验的所有可能结果为直线上的一条线段的一条线段,平面上的一区域或空间中平面上的一区域或空间中的一立方体等具有的一立方体等具有无限多个结果无限多个结果的情的情形形,称这种性质的实验模型为几何概型称这种性质的实验模型为几何概型.49例例1 在

33、计算机上任意产生在计算机上任意产生0，1区间上的一个区间上的一个随机数随机数x，问，问x小于小于1/3的概率是多少？的概率是多少？例例2 假设在假设在500毫升的自来水中有一个大肠杆菌，毫升的自来水中有一个大肠杆菌，今从中任取今从中任取2毫升水样放到显微镜下观察，问发毫升水样放到显微镜下观察，问发现大肠杆菌的概率是多少？现大肠杆菌的概率是多少？50几何概率的计算几何概率的计算()AP A的测度的测度A作为一般的欧氏区域，作为一般的欧氏区域，m(A)作为作为A的测度（一维是长度，二维是面的测度（一维是长度，二维是面积，三维为体积等）就得到几何概率计积，三维为体积等）就得到几何概率计算方法：算方法

34、：如果把如果把)()(mAm51例：例：某电台每到整点均报时，某人早上醒来某电台每到整点均报时，某人早上醒来后打开收音机，求他等待的时间不超过后打开收音机，求他等待的时间不超过1010分分钟就能听到电台报时的概率。钟就能听到电台报时的概率。P=1/652例：例：某货运码头公能容纳一船卸货，而甲、乙两船某货运码头公能容纳一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为在码头卸货时间分别为1小时和小时和2小时。小时。设甲、乙两设甲、乙两船在船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。不需等待码头空出的概率。(,)|024,024x yxy(

35、,)|21Ax yxyyx或22112322()22()0.8793()2424m AP Am解：解：53例例1.13蒲丰问题蒲丰问题n1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针交。这次实

36、验共投针2212次，与直线相交次，与直线相交的有的有704次，次，22127043.142。得数。得数竟然是竟然是的近似值。这就是著名的蒲丰投针的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。问题。54平行线的距离平行线的距离a a，针的长度，针的长度l l，求针与平行，求针与平行线相交的概率。线相交的概率。怎样描述针与直线相交的情况？怎样描述针与直线相交的情况？X表示针的中点与最近的一条平行线的距离表示针的中点与最近的一条平行线的距离sin2l 5520,0|),(axx 例例1.13蒲丰问题蒲丰问题sin2,),(|),(lxxxg 56取取a=2L，投针，投针N次，如果有次，如果有k次与直线次与直线

37、相交，则相交，则的近似值为的近似值为N/kaladlmAmAp 22.sin2)()()(0 例例1.13蒲丰问题蒲丰问题57零概率事件不一定不发生零概率事件不一定不发生n 在在0,1区间上任意取一个随机数区间上任意取一个随机数,则则这个随机数恰好等于这个随机数恰好等于0.5的概率是多少的概率是多少?010.5P=点点(0.5)的长度的长度/0,1区间的长度区间的长度=0581.4.1 条件概率条件概率59引例：设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设

38、A“第一次取到红球”,B“第二次取到红球”1(1)(|)4P B A 252 1 3 22(2)()5P BP 252 11(3)()10P ABP60显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则一般地，设A、B是中的两个事件，则可以定义条件概率如下(|)ABAnP B An()()ABAnnnnP ABP A0)(BP 定义：定义：设设 A,B是两个事件是两个事件,则称则称 为为在事件在事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的发生的 条件概率条件概率,其中其中 。)()()(BPABPBAP 61 思考题一：思考题一：你

39、到一个家庭来做客，已经知道你到一个家庭来做客，已经知道 该家庭有两个孩子，但不知道性别，你发现该家庭有两个孩子，但不知道性别，你发现 来给你开门的孩子是个女孩，而另一个孩子来给你开门的孩子是个女孩，而另一个孩子 你没看到，那么另一个孩子也是女孩的概率你没看到，那么另一个孩子也是女孩的概率 是多少？是多少？思考题二：思考题二：已知一家庭有两个孩子，已知其已知一家庭有两个孩子，已知其 中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。(假定生男生女是等可能的假定生男生女是等可能的)62思考题二的解答思考题二的解答由题意由题意,样本空间为样本空间为:(,),(,),(,),

40、(,)M MM FF MF F 设设B=B=其中一个是女孩其中一个是女孩,A=,A=两个都是女孩两个都是女孩，则则 B=(M,F),(F,M),(F,F),A=(F,F)B=(M,F),(F,M),(F,F),A=(F,F)。因此因此,要求的是要求的是:P(A|B)=1/3P(A|B)=1/363在样本空间在样本空间 中，先求出中，先求出P(AB)，P(B)，再由定义计算再由定义计算P(A|B)在缩减样本空间在缩减样本空间B中求事件中求事件A的概率，就的概率，就得到得到P(A|B)；。求条件概率的方法有两种：求条件概率的方法有两种：64 掷骰子掷骰子A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点

41、则则:P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数比如：比如：65条件概率是概率，满足公理化定义三条件条件概率是概率，满足公理化定义三条件容易验证：容易验证：(1)(|)0;(2)(|)1;P ABPB（3 3）设可列个事件设可列个事件A1，A2，A3两两互不相两两互不相容，则容，则11(|)(|).iiiiPABP AB类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。66 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为年以上的概率为

42、 0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现年问现年20岁岁 的这种动物，它能活到的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多岁以上的概率是多 少？少？设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A).()(|)()P ABP B AP A()0.40.5()0.8P BP A活到活到20年年以上以上活到活到25年年以上以上B A例例1:解：解：671.4.2 乘法公式乘法公式12121121()0,()0,()()(|)()(|)(.)()(|).(|.)nnnP BP AP ABP B

43、 P A BP A P B AP A AAP A P AAP AA AA 当当利利用用条条件件概概率率有有推推广广到到一一般般情情形形：乘法公式乘法公式68 无条件无条件概率概率 P(A)、条件概率条件概率 P(A|B)及及 P(AB)的区别的区别归归 纳纳ABAB 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，若设其样本空间为若设其样本空间为 69丙答出的概率。丙答出的概率。例例2 2：依次请甲、乙、丙三个同学回答一个问题，依次请甲、乙、丙三个同学回答一个问题，如果前面的同学回答对了就停止，回答错误则如果前面的同学回答对了就停止，回答错误则由后面的同学回答。已知

44、他们依次答对的概率由后面的同学回答。已知他们依次答对的概率分别是分别是0.40.4、0.60.6、0.80.8。分别求出问题由甲、乙、。分别求出问题由甲、乙、70P(C)P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)0.60.40.80.192设设A A、B B、C C分别表示问题由甲、乙、分别表示问题由甲、乙、丙答出丙答出，则，则解：解：P(A)0.4 ；P(B)P(AB)P(A)P(B|A)0.6 0.60.36;71 一个罐子中包含一个罐子中包含b 个白球和个白球和 r 个个红球红球.随机地抽取一个球，观看随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进颜色后放回罐中，并且再加进 c 个

45、与所抽出的球具有相同颜色的个与所抽出的球具有相同颜色的球球.这种手续进行四次这种手续进行四次试求：第一、二次取到白球且第试求：第一、二次取到白球且第 三、四次取到红球的概率三、四次取到红球的概率.例例 3:波里亚罐子模型波里亚罐子模型 b个白球个白球,r 个红球个红球随机取一个球，观随机取一个球，观看颜色后放回罐中，看颜色后放回罐中，并且再加进并且再加进c 个与所个与所抽出的球具有相同抽出的球具有相同颜色的球颜色的球.解解:设设Wi=第第 i 次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第 j 次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,472用用乘法公式乘法公式容易求出：容易求出：r

46、bb=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3)P(W1W2 R3 R4)于是：于是：W1W2 R3 R4 表示事件表示事件“连续取四个球，第连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球一、第二个是白球，第三、四个是红球.”crbcb crbr2crbcr3 73一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方法来解决。签的方法来解决。入场入场券券5 张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余，其余的什么也

47、没写。的什么也没写。将它们放在一起洗匀将它们放在一起洗匀,让让5个人依次抽个人依次抽取取例例4:问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗?74 到底谁说的对呢？请用已学的到底谁说的对呢？请用已学的条件概率、乘法定理来计算一下条件概率、乘法定理来计算一下,每每个人抽到个人抽到“入场券入场券”的概率到底有的概率到底有多大多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到 入场券入场券 的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”75设：设：Ai 表示表示“第

48、第 i 个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然显然：P(A1)=1/5，P()4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则：则：表示表示“第第 i 个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人个人 抽到了入场券，抽到了入场券，则第则第1个人肯定个人肯定 没抽到没抽到.)|()()(1212AAPAPAP 212AAA 由于：由于：所以由所以由乘法公式乘法公式：计算得计算得:514154)(2 AP第第2个人抽到入场券的概率也是个人抽到入场券的概率也是1/5.即：即：76)|()|()()()(2131213213A

49、AAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答:同理，同理，第第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2 个人都没有抽到个人都没有抽到.因此：因此：(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的的 概率都是概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.由乘法由乘法公式公式77 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率较复杂事件的概率,它们它们实质上实质上是加法公式和是加法公式和乘法公式的综合运用乘法公式

50、的综合运用.综合运用综合运用乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥1.4.3 全概率与贝叶斯公式全概率与贝叶斯公式78 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个个红球红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求求:取得红球的概率取得红球的概率.解：解：记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球即即:B=A1BA2BA3B，

51、且且:A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生之一同时发生P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式运用加法公式123引例引例:注意到：注意到：79将此将此引例中引例中所用的方法推广到一般的情形，就得所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的到在概率计算中常用的 全概率公式全概率公式.对求和中的每一项对求和中的每一项运用乘法公式得运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/1580 n21jiBBB)2(B

52、B)1(njiji,2,1,注：注：的一个划分一是要互斥，的一个划分一是要互斥，二是要充满整个空间二是要充满整个空间.样本空间的划分样本空间的划分 设设为试验为试验E的样本空间的样本空间,nBBB,21为为 E 的一组事件的一组事件,若：若：则则称称 是样本空间是样本空间的的一个划分一个划分或称或称 是一个是一个互斥事件完备组。互斥事件完备组。nBBB,21nBBB,211B2B3B1 nBnB定义：定义：81 6,5,4,3,2,1 E的一组事件的一组事件 6,5,4,3,2,1321 BBB是是S的一个划分或的一个划分或 构成了互斥构成了互斥事件完备组事件完备组321,BBBE的另一组事件

53、的另一组事件 6,5,4,3,3,2,1321 CCC就不是就不是S的一各划分，或的一各划分，或 构不构不成一个互斥事件完备组。成一个互斥事件完备组。321,CCC比如：比如：对对“掷一颗骰子观察其点数掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：这一试验，其：82证明证明：nABABAB 21 则：则：0)(iBP 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为,A为为 E的事件的事件,为为的一个划分的一个划分,且且 ni,2,1 nBBB,21称为称为全概率公式全概率公式.)B(P)BA(P)B(P)BA(P)B(P)BA(P)B(P)BA(P)A(Piin1inn2211 全概率公式全概率公式定理定理1.

54、1(1)(21nBBBAAA 83)()()()(21nABPABPABPAP )()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP 全概率公式关键抓住寻找全概率公式关键抓住寻找的一个划分或寻的一个划分或寻 找一个互斥事件完备组找一个互斥事件完备组(这里事件这里事件 是导致事件是导致事件A发生的一组原因发生的一组原因,而事件而事件A的出的出 现只能与现只能与 中之一同时出现中之一同时出现)。),2,1(niBi iB()0,1,2,iP Bin 又又()(),ijABABij 且且注：注：84 每一原因都可能导致每一原因都可能导致 B发生，故发生，故 B发发 生的概率是各原因引起

55、生的概率是各原因引起 B发生概率的发生概率的 总和即为总和即为全概率公式全概率公式.某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,n)如果如果B是由原因是由原因Ai 所引起，则所引起，则B发生的概率是：发生的概率是：P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式：全概率公式：从另一个角度去理解从另一个角度去理解 全概率公式一搬用于全概率公式一搬用于“用条件概率求非条件用条件概率求非条件概概 率率”的问题。即的问题。即P(A)不易求不易求,但却很容易找到但却很容易找到S 的一个划分时用全概率公式比较方便的一个划分时用全概率公式比较方便85 设甲袋中有设甲袋中有

56、3个白球个白球,5个红球个红球,乙袋中有乙袋中有4个个 白球白球,6个红球个红球,现从甲袋中任取一个球放入现从甲袋中任取一个球放入 乙袋中乙袋中,再从乙袋中任取一球。再从乙袋中任取一球。求：从乙袋中取得白球的概率。求：从乙袋中取得白球的概率。设设A：从乙袋中取得白球：从乙袋中取得白球取球只有两种情况，要么白球要么红球取球只有两种情况，要么白球要么红球 所以设：所以设：球球从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球是是红红球球从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球是是白白:2:1BB例例4:甲甲:乙乙:解：解：因为因为:86显然：显然：)()()()()(2211BPBAPBPBAPAP 398.0883585

57、11483115 甲甲:12,BB构成一个互斥事件完备组构成一个互斥事件完备组乙乙:2121BB,BB87%40%,25%,20%,15 某工厂有四条流水线生产同一种产品某工厂有四条流水线生产同一种产品,四条流四条流 水线的产量分别占该产品总产量的水线的产量分别占该产品总产量的 且四条流水线生产且四条流水线生产 产品的次品率分别是产品的次品率分别是 0.01,0.02,0.03,0.025,求：求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率。从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率。例例5：88 因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：1,2,3,4i

58、 从而从而：41)()()(iiiBAPBPAP023.0025.04.003.025.002.02.001.015.0 解：解：:A取出的一件是次品取出的一件是次品:iB取出的一件次品恰出自第取出的一件次品恰出自第i条流水线条流水线四条流水线产量四条流水线产量(率率):15%,20%,25%,40%四条流水线次品四条流水线次品(率率):0.01,0.02,0.03,0.02541,iijiSBB B 且且,1,2,3,4iji j 显然显然:89该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大?实际中还有下面一类问题：实际中还有下面一类问题：“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实

59、际中更为常见，它所求的是这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小发生可能性大小.引例引例 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，出一球，发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:90有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2个红球个红球3个白球，个白球，3号箱号箱装有装有3个红球个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出

60、一球，意摸出一球，发现是红球。发现是红球。1231红红4白白?求：求：该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率 引例：引例：91某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率.11()(|)()P A BP ABP B 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球求求:P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到：将这里得到的公式一般化，就得到：贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?92贝

61、叶斯公式贝叶斯公式(逆概公式逆概公式)设试验设试验 E 的样本空间为的样本空间为,A为为 E 的事件的事件,0)B(P,0)A(PBB,Bin21,且且的的一一个个划划分分为为称为称为贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式证明证明：略：略.贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用综合运用,值得一提的是，后来的学者依据值得一提的是，后来的学者依据 贝叶斯公式的思贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法，称作为：想发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计贝叶斯统计”（这也足可见贝叶斯公式的影响）（这也足可见贝叶斯公式的影响）

62、定理定理1.1(2):1()()(),1,2()()iiinjjjP A B P BP B AinP A BP B 则则:93 njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和 P(Ai|B)分别称为分别称为原因原因的的 先验概率先验概率和和后验概率后验概率.P(Ai)是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件B是否是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识的认识.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 贝叶斯公式适用

63、于贝叶斯公式适用于“用条件概率求条件概率用条件概率求条件概率”当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生）发生）,人们对诸事件人们对诸事件.发生可能性大小发生可能性大小 P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.注注:94 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为有一个估计，设为:比如，比如，原来认为作案可能性较小的某甲，原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯。现在变成了重点嫌疑犯。例如例如:某地发生了一个案件，怀疑对象有某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙

64、三人甲、乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后,这个估计这个估计就有了变化。就有了变化。P(A1|B)知道知道B发生后发生后P(A2|B)P(A3|B)最大最大偏小偏小95例例6:在例在例 5 中已知任取一件产品是次品中已知任取一件产品是次品问：此次品出自哪条的流水线的可能性大问：此次品出自哪条的流水线的可能性大?解：解：)()()()()()()()(1141111APBAPBPBAPBPBAPBPABPjjj 065.0023.001.015.0 435.0023.0025.04.0)(326.0023.003.025.0)(174.00

65、23.002.02.0)(432 ABPABPABP%40%,25%,20%,15例例5:某工厂有四条流水线生产同一种产品某工厂有四条流水线生产同一种产品,四条流四条流 水线的产量分别占该产品总产量的水线的产量分别占该产品总产量的 且四条流水线生产且四条流水线生产 产品的次品率分别是产品的次品率分别是 0.01,0.02,0.03,0.025,求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率.15%,20%,25%,40%出自第四条出自第四条流水线可能流水线可能性大性大96例例7 7：商店论箱出售玻璃杯，每箱商店论箱出售玻璃杯，每箱2020只，其中每箱含

66、只，其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8,0.1,0.10.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，某顾客选中一箱，从中任选从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这问这一箱含有一个次品的概率是多少？一箱含有一个次品的概率是多少？解解:设设A:A:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的.B B0 0,B,B1 1,B,B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知已知:P(B:P(B0 0)=0.8,P(B)=0.8,P(B1 1)=0.1,P(B)=0.1,P(B2 2)=0.1,)=0.1,1)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由由BayesBayes公式公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848.019121.0541.018.0541.097甲、乙二人进行击剑练习，甲先向乙进攻，甲、乙二人进行击剑练习，甲先向乙进攻，击中的概率为击中的概率为0