九年级数学角平分线

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1、1.4角平分线（1）性质定理与逆定理久长中学：谭宏w你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?回顾 思考已知已知:如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE.:PD=PE.而OPDOPB的条件由已知易知它满足公理(AAS).故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPB，w你还记得角平分线上的点有什么性质吗你还记得角平分线上的点有什么性

2、质吗?w角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗?OCB1A2PDEw定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启 智慧w如图如图,wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).OCB1A2PDE思考

3、分析w你能写出你能写出“定理定理 角平分线上的点到角平分线上的点到这个角的两边距离相等这个角的两边距离相等”的逆命题吗的逆命题吗?w逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w它是真命题吗它是真命题吗?如果是如果是.请你证明它请你证明它.已知已知:如图如图,PA=PB,PA=PB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.分析分析:要证明点要证明点P P在在AOBAOB的的平分平分线上线上,可可以先作出过点以先作出

4、过点P P的射线的射线OC,OC,然后证明然后证明1=2.1=2.老师期望老师期望:你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程.OCB1A2PDE 我能行我能行w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等且到角的两边距离相等的点的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w如图如图,wPA=PB,PDOA,PEOB,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足垂足分别是分别是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上)

5、.).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?OCB1A2PDE驶向胜利的彼岸 做一做做一做l已知:AOBAOB,如图.l求作:射线OC,使AOC=BOCAOC=BOC.l作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.l1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOBAOB内内交于点C.l3.作射线OC.请你说明OC为什么是AOBAOB的的平分线,并与同伴进行交流.提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOCl则射线OC就是AOB

6、AOB的平分线.DE 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸l如图,AD,AE分别是ABCABC中中A A的内角平分线外角平的内角平分线外角平分线分线,它们有什么关系它们有什么关系?EDABCF 随堂练习随堂练习2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).A区 w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等.wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一上任意一点点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已已知知)PD=P

7、E(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两角平分线上的点到这个角的两边距离相等边距离相等).).w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两且到角的两边距离相等的点边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.wPA=PB,PDOA,PEOB,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个角在一个角的内部的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.w邻补角的角平分线之间的关系邻补

8、角的角平分线之间的关系.w如如小结 拓展OCB1A2PDE独立独立作业作业P9习题1.4 1,2,3题.独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线.w老师期望:w先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.w你发现了什么？独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w2.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABO 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w3.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w求证:EB=FC.BAEDCF严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.