极限的求解方法

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1、求函数极限的方法和技巧1、运用极限的定义2、利用极限的四则运算性质若 lim f (x) = A lim g (x) = BXT X。XT X。(I) limf (x) 土 g(x)=lim f (x) + lim g (x) = A + BXT X。XT X。XT X。(II) limf (x) - g(x)= lim f (x) - lim g(x) = A- BXT X。XT X。(III)若 BN0 则:XTX。lim虫XTX。g (X)lim f (x)AXT X x。lim g (x)BX T X。(IV) lim c - f (x) = c - lim f (x) = cA（c为

2、常数）XTX。XTX。上述性质对于X T 8, x T +8, x T -8时也同样成立3、约去零因式（此法适用于x T X。时,。型）X 3 - X2 -16x - 2。例：求limU Sxt-2 x3 + 7 x2 +16x +12(3 - 3x2 - 1QX)+ (2X2 - 6x - 2。) 解:原式=*坦 13 + 5X2 + 6xX (2X2 + 1皈 +12) (x + 2)(X2 - 3x -1。) =limxt-2 (x + 2)(x2 + 5x + 6)(x2 - 3x -1。) (X - 5)(X + 2)=lim= limxt-2 (X2 + 5x + 6) xt-2(

3、X + 2)(X + 3)牙-5=lim= -7xt-2 X + 34、通分法(适用于8-8型)例： 求 lim( -1-)12 4 x22 x4 - (2 + x)解：原式=!*2 + x) . (2-x)=lim(2 -x)xr2 (2 + x)(2 - x)1=limxq 2 + x 45、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)设函数f(x)、g(x)满足：(I) limf(x) = 0xf例：xf求lim x - sin1解：由x T0xlim x = 0而sin1 1故原式xT0- 1=lim x - sin =x T0x0x(M为正整数)则：lim

4、 g (x) f (x) = 0利用无穷小量与无穷大量的关系。6、(II) |g(x)| 1,n0)XT+3 aX解： 当xN1时，存在唯一的正整数k,使 k WxWk+1 于是当n0时有：Xn (k + 1) n =aXak+1aka又 当x T+8时,k T+8 有XT+W aX以及用定义求极限12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限， 等情形)。定理：函数极限lim f (x)存在且等于A的充分必要条件是左极限lim f (x)及右极限Xf T x0 g ( x ) x T x0 g ( x )flim f (x)都存在且都等于A。即有：X X+ 0lim f (x)

5、= A o lim f (x) = lim f (x) =AXTXxT xxTx1 - 2e -x, x 1解：v lim f (x) = lim (1 - 2e -x) = -1xT0-xT0-lim f (x) = lim(x : *) = lim(% x 1) = -1xT0+xt0+X xxT0+由 lim f (x) = lim f (x) = -1xT0-xT0 +lim f (x) = -1xT0又,/ lim f (x) = lim = lim (七 x 1) = 0xt1xt1- vxxt1-lim f ( x) = lim x 2 = 1x t1+xt1+由/ (1 - 0

6、)丰 f (1 + 0)lim f (x)不存在xt113、罗比塔法则(适用于未定式极限)定理：若(i) lim f (x) = 0, lim g (x) = 0x T xxT x(ii) g在x0的某空心邻域u0(x0)内可导，且g(x)丰0(iii) lim f (x) = A(A可为实数，也可为8或8)，则 xT x0 g (x)f (x)f(x)lim= lim= A此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 一，、，、，0 8，1、要注意条件，也就是说，在没有化为;,-时不可求导。0 2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的

7、导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是 未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。f(x)4、当hm；(x)不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限 lim 竺_( +x) 2 lim lnx (a 0, x 0)XT0 ln(1 + x2)xr+ xa解：令 f(x)= ex(1 + 2x)M, g(x)= in(1 + x2)一一 ,2 xf(x) = ex 一 (1 + 2x)- 2, g(x)= 1 + x 2f(x) = ex + (1 + 2 x) - 32,

8、g(x) = 2(1 x 2)(1 + x 2)2由于 f (0) = f (0) = 0，g (0) = g (0) = 0但 f”(0) = 2, g ”(0) = 2lim 心 一(1 + 2x)2 xT0ln(1 + x2)从而运用罗比塔法则两次后得到=lim 、-(1 + 2 2 = lim。，+(1 + 2 x)-32 = 2 =】 xT02 xxT02(1 X lim nx = lim x = lim = 0(a 0, x 0)x* xax* axa-1x* axa21 + x 2(1 + x 2 ) 2 由 lim ln x = , lim xa =xT+xT+故此例属于一型，

9、由罗比塔法则有:14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常 用的展开式：* 2 ,，初，、1、e* = 1 + x + + o(*n)一 一一x 3.x5x2 n-12、sin x x + (1)n-1 + o(x2n)x2 , x4x2 n3、cos x 1 + (1)n- + o(x2n+1)x2xn4、ln(1 + x) = x +(1)n1 + o( xn)2n,a (a 1)a (a 1)(a n +1)/ 、5、 (1 + x)a = 1 + ax +x2 +xn + o(xn )6、2!n!= 1 + X + X2 + + xn

10、+ o(xn) 1 x上述展开式中的符号o(xn)都有:lim 空-0x T0 xna + 2 x + x例:求 lim(a 0)x T0x解:利用泰勒公式，当x 0有V 1 + x = 1 + + o( x)2a + 2 x 、/a + x于是limx T0xz 2 x x、=limLx T0L 1 1,2x1 x=limx0“1+2(a)+(x) -1 - 2 厂(x)v： a 兰 + o(x)= x + o(x)12a2、a12、ca=lim= lim x0xx0x15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件:(I) f在闭区间上连续(II) f在(a ,b)内可导则在(a ,b

11、)内至少存在一点&，使得fG) = lfb - a此式变形可为：f (b) - f (a) = f ,(a +0(b-a) (0 0 1) b-aex e sin x例：求 lim:一x0 x 一 sin x解:令f 3)=热 对它应用中值定理得ex - esinx = f (x) - f (sin x) = (x - sin x) f (sin x + 0 (x - sin x) (0 0 1) 即 :ex e sin x=f (sinx +0(x一sinx)(0 0 1) x 一 sin xf (x) = ex 连续. lim f (sinx + 0 (x-sinx) = f (0) =

12、1x0ex e sin x从而有：lim:一 = 1x0 x 一 sin x16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(a0 丰 0, b0 丰 0)r() P(x)a xm + a xm-i + aQ(x)b xn + b xn-i + b(I)当x 8时，有I P( x). a。xm + a1 xm-i +x8 Q(x)x8 b xn + b xn-1 +01a q bm = n+a0m 0m + bn8m n若Q(x0)。0则临冬=P(x) x0 Q(x)0Q (x )0P (x)若Q(x ) = 0 而 P(x )。0 则lim =800x0 Q (x)若 Q(x) = 0

13、,P(x0)= 0，则分别考虑若x0为P(x) = 0的s重根，即：P(x) = (x - x0)s P (x)也为 Q(x) = 0 的 r 重根，即:Q(x) = (x一、)Qi(x)可得结论如下:lim P(x) = iim (x - x,) s-rP(x) xx0 Q(x)xx0Q1 (x)例：求下列函数的极限PR)Q；(x：)8,s = r ,s r(2 x 3)20 (3x + 2)30 lim x8(2 x + 1)50x 3 3x + 2 limx1 x4 4 x + 3解：分子，分母的最高次方相同，故(2x 3)20(3x + 2)30 220 330,3、lim= (_)3

14、0x8(2x +1)502502(II)当x 0时有:P(x) = x3 - 3x + 2, P(1) = 0Q(x) = x4 - 4x + 3,. Q(1) = 0P(x),Q(x)必含有(X-1)之因子，即有1的重根故有: x 3 3x + 2 (x 1)2( x + 2) x + 2lim= lim= limx1 x4 4x + 3xf (x 1)2(x2 + 2x + 3)x1 x2 + 2x + 32(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就 不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求 lim(yx +、；x + yx qx) x

15、T+8解:lim (弋 x + x + t x t x) xr+8=lim x +x T+8=limx T+8Y x + % x + t x1+ v x x +、x11，x + . x + u x+ x.1+Ixx1=limx T+82二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在 解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。1 cos x 2例:求 lim；xro x 2 sin x 2解法一:1 - cos X2lim 2 x sin x 2sin x 2xt0 x 2 sin x 2 = lim : =lim:xro 2x -

16、 x2 cos x2 + 2x sin x2 x0 x2 cos x2 + sin x2sin x 2=limx r0sin x2cos x 2 +x2x2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二:1 - cos x2 lim xr0 x 2 sin x 2 -limxr0 x 2 sin x 2x2x22sin 2 一sin 2 = lim2_x r0 x 2sin x22x2x2sin 2 = 1x222 .2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:1 - cos x21 - cos x22x sin x22x sin x2 1lim= lim= lim

17、= limxro x2 sin x2 xro x2 - x2xro 4x3xr0 4x x22注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则 解法四:(x 2)21 - cos x21 - cos x2 x22 x2 1lim= lim limxr0 x2 sin x 2 xr0 x4sin x 2 xr0 x4 sin x 2 2注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:1x 4=lim xr0 x4x2x21 - cos x2 limxro x 2 sin x 22sin2一2()222=lim = lim-xro x2 sin x 2xro x2 (x 2)注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六:1 - cos x 21 - cos usin ulim= lim= limxro x2 sin x2ur0 u sin uu0 sin u + u cos ucos u1=lim=ur0 cos u + cos u - u sin u2注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七: 1 - cos x 2sin x 21lim= lim= limxr0 x2 sin x2xr0 x2 cos x2 + sin x2x项+ x2tgx2注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。