《数据、模拟与决策》案例三报告

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1、组员：陈迪学号：17920091150628组员：高霄霞学号：17920091150668组员：陆彬彬学号：17920091150764组员：罗志锐学号：17920091150767组员：王晋军学号：17920091150811组员：许冰学号：17920091150856数据、模型与决策案例三生产线是否应该检修第2小组案例分析报告案例生产线是否应该检修第2小组案例分析报告摘要：本文运用贝叶斯决策方法，建立一种确定生产线检修策略的动态模型，该模型包含了多阶段的“信息收集数据分析决策”过程，同时将先验信息和检查信息相结合，为决策提供更加充分的数据支持。在通过贝叶斯方法修正先验信息之后，本文运用了两

2、种检查方案，以 净收益最大化为原则，对生产线制定维修方案。关键字： 贝叶斯决策；检修诊断；期望值；最大可能性准则Abstract：Based on Bayes decision method, a model has been built for decision making ofrepairing production line. This model consists of steps of revising process including information collectiondata analysisdecision making. It also provides mor

3、e sufficient supporting data by integrating both the prior information and further inspection information. Afterwards Bayes decision method is used to revise the prior information, and two approaches are used to make decision for the production line reparation under the principle of maximizing the n

4、et income.Key words:criterionBayes decision method；Repair diagnosis; Expectation; Maximum Probability一 问题的提出及先验分析现代企业的生产经营活动由于其自身和所处环境的复杂性，使企业经常面临着诸多不确定性，这些不确定性给管理层的决策带来极大的风险。当企业陷入风险性决策的窘境时，虽然有些决策可以通过使用先验概率（通过历史资料或类似的生产经营经验获取）做出。但实践证明，这种决策难以准确地反映生产现实，具有局限性。正如本案例，根据以往的经验，某厂生产某产品的一条生产线 出现不合格产品的百分率 有四种

5、可能的情况：2%、5%、10%和 25%。根据对过去的统计数据的分析，结合经验判断， 出现前述每种百分比的先验概率分别为0.6、0.3、0.08和 0.02。假设公司刚接受了该产品订货1000个，公司领导必须在这些产品开始生产之前做出决 策，而他的决策涉及到的因素如下：首先，公司每卖出一个产品可获利 5 元，而更换一个 不合格品则要赔偿20 元；其次，检验费用是：小修250 元，大修 1000 元。在假设不良率为 2%的情况下，我们的收益为： 不做检修：=1000*5-1000*2%*20=4600 少量检修：=1000*5-1000*2%*20-250=4350 大量检修：=1000*5-1

6、000*2%*20-1000=3600 在假设不良率为 5%的情况下，我们的收益为： 不做检修：=1000*5-1000*5%*20=4000 少量检修：=1000*5-1000*5%*20-250=3750 大量检修：=1000*5-1000*5%*20-1000=3600 在假设不良率为 10%的情况下，我们的收益为 不做检修：=1000*5-1000*10%*20=3000 少量检修：=1000*5-1000*10%*20-250=3750 大量检修：=1000*5-1000*10%*20-1000=3600 在假设不良率为 25%的情况下，我们的收益为 不做检修：=1000*5-100

7、0*25%*20=0 少量检修：=1000*5-1000*25%*20-250=3750 大量检修：=1000*5-1000*25%*20-1000=3600 汇总如表1不良比率P2%5%10%25%概率p0.60.30.080.02不做检修4600400030000少量检修4350375037503750大量检修3600360036003600表 1 不同不良率情况下收益汇总表如果我们根据先验概率，分别以最大可能性准则及最大期望值准则进行决策： 使用最 大可能性准则：不良比率为 2%的概率最大，为0.6。其最大收益为 4600 元，我们的决策为“不做检修”。使用最大期望值准则：各项决策的期望

8、值如表2所示:不良比率P2%5%10%25%期望值概率p0.60.30.080.02不做检修46004000300004200少量检修43503750375037504110大量检修36003600360036003600表 2 使用最大期望值准则进行决策因此在使用最大期望值准则时，我们的决策仍然为“不做检修”。然而仅仅依靠历史资料和类似经验进行的决策并不精密。由于在风险性决策中，对自然 状态估计的正确程度直接影响到收益期望值，为了更好地决策，往往需要进一步补充信息以 提高精度。补充信息可以通过进一步调查、试验、咨询中得到，而为了获得这些补充信息需 要支付一定的费用。获取新的信息后，可根据这些

9、补充信息修正原先对自然状态出现概率的 估计值P （凡），并利用修正的概率分布重新进行决策。由于这种概率修正主要根据概率论中 的贝叶斯定理进行，因此贝叶斯决策方法十分适用诸如本案例的决策分析。2.1 先决条件贝叶斯决策方法是统计模式识别中的一个基本方法。贝叶斯决策既考虑了各类参考总体出现的概率大小，又考虑了因误判造成的损失大小，判别能力强。贝叶斯决策方法更适用于 下列场合：1）样本容量不充分大，因而大样本统计理论不适宜的场合。2）试验具有继承性，反映在统计学上就是要具有先验信息的场合。本案例中，为了了解生产线的运行是否正常，质量控制员分2 次从生产过程中抽取5个 样品，并分别得到1 个不良品和2

10、个不良品，假设每次采样是独立的，且这一过程是一个平 稳的独立伯努利过程，即在整个过程中不合格产品的比率是恒定的。同时，在本文的第一部分根据已有资料已经得出先验分析的结果是“不做检修”。因此本案例的决策分析过程符合 使用贝叶斯决策方法的先决条件。2.2 贝叶斯定理舛 和B表示在一个样本空间中的两个事件，给定B下，A发生的条件概率公式为:“、P（BA）P 晒）-WB）A1和B的联合概率公式（P（AB）1= （?） A1BP）A1若1和2构成互斥和完整的两个事件，A1和2中的一个出现是事件B发生的必要A 1 A 2 1 A 2条件，那么事件B的概率的边际概率公式为）P (B)二P 4(PB/) +

11、(P) AB?)A2两个事件的贝叶斯定理为：若A和2构成互斥和完整的两个事件，A和2中的一AA个出现是事件B发生的必要条件，那么两个事件的贝叶斯公式为:P呻）益假定存在一个完整的和互斥的事件Al，A2， An Ai中的某一个出现是事件B发生的必要条件，男八必/八P(卸 B) P(B 7 A1)爲鳥 A2)J PAJP An )2.3应用贝叶斯定理决策的步骤已具备先验概率的情况下，贝叶斯决策过程的步骤为：1）进行预验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料可能得到的结果和如何决定 最优对策。在本案例中，由于信息资料费用未知，暂不进行此顶验证。2）搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑

12、概率，对历史概率要加以检验，辨 明其是否适合计算后验概率。3）用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计算边际既率，用贝叶斯定理计算 后验概率。4）用后验概率进行决策分析。三案例分析与决策本案例中，利用先验概率得出的决策为不做检修，然而我们发现，新得到的信息与先验概率存在较大的差异，有必要对新得到的信息进行计算分析。第一 次抽样后，若不良率为2%的条件下，得到的条件概率为：1 1P（A/C5（2%）（1 2%） 4 =5*0.02*0.984=0.09224。在不良率为负的条件下的联合概率为：=0.09224*0.6=0.05534.不良比率P2%5%10%25%Total1-P98%9

13、5%90%75%原始概率P0.60.30.080.02第一次抽样C-4(2%) 1(98%) 4C5(5%)1(95%)4C 1(10%) 1(90%) 4C 1(25%) (75%) 0.092240.203630.328050.39551合计P(A)=P(A/ )P( ) PA )P()0.055340.061090.026240.007910.15058第一次抽样后验概率P ( 1/ A)P (A / 1) P ( 1)/ P (A)0.367520.405670.174280.052531.00000分别计算各种不良率条件下的条件概率及边际概率，并用贝叶斯定理计算后验概率，汇 总于表

14、3 中。表 3 第一次抽样后的贝叶斯计算过程及后验概率经过第一次抽样与计算，我们得到了第一次抽样后的贝叶斯后验概率，然而其第二次抽不良比率P2%5%10%25%Total1-P98%95%90%75%原始概率p0.60.30.080.02第一次抽样 后验概率0.367520.405670.174280.052531.00000第一次抽样C5 (2%) (98%)3勺23C5(5%) (95%)3C5(10%) (90%)322 3C2(25%) (75%)320.003760.021430.072900.26367合计0.001380.008700.012710.013850.03663第一次

15、抽样 后验概率0.037770.237350.346810.378071.00000样的结果与第一抽样的结果仍有较大差距，因此我们重复一次，得到第二次抽样的后验概率 计算过程汇总于表4表 4 第二次抽样后的贝叶斯计算过程及后验概率经过 2 次抽样检验及计算后，我们得到了每种不良率情况的新概率，这是对目前生产线 不良率情况较为准确地估计。根据此概率，我们采用最大可能性准则及期望值准则分别进行 决策。不良比率P2%5%10%25%第一次抽样后验概率0.037770.237350.346810.37807不做检修4600400030000少量检修4350375037503750大量检修3600360

16、036003600表 5 第二次抽样后后验概率情况下最大可能性准则计算不良比率P2%5%10%25%第一次抽样后验概率0.037770.237350.346810.37807期望值不做检修46004000300002163.5591少量检修43503750375037503772.6607大量检修36003600360036003600期望值准则：我们将各种决策的期望值计算后汇总于表6中。表 6 第二次抽样后后验概率情况下期望值准则计算最大可能性准则：由表 5 可以看出，在第二次抽样后，最大可能性的情况为不良率25%的 情 况，其概率为0.378，其中做少量检修的收益最大，为3750 元，我们

17、的决策为选择少量检修。可以看出，在第二次抽样后，少量维修的期望值最大，约为3773 元，因此，我们的决 策是：选择少量检修。可见，在经过两次抽样检验与计算后，使用最大可能性准则与期望值方法，我们的决策均为选择少量检验。这一决策是能够反映目前生产线的实际情况，并尽量保证工厂能盈利的 决策。四 结论与评价通过以上案例的分析计算，我们看到，在没有利用进一步的信息分析之前，我们的决策 是不做检修，然而进一步的信息表明，这一决策存在着较大的风险。根据贝叶斯定理在决策方面的应用，利用两次抽样检验和计算后，我们得到了后验概率并由此得出我们进行少量检修的决策，这一决策能较准确的反应目前生产线的情况，也提高 了

18、决策的准确性。可见，贝叶斯原理在进行存在经验信息与新的信息资料的决策时，能较好的结合两者， 使决策更具科学性，有以下的一些明显的优点：1) 贝叶斯决策能对信息的价值或是否需要采集新的信息做出科学的判断。2) 能对调查结果的可能性加以数量化的评价，而不是像一般的决策方法那样，对调查结果或者是完全相信，或者是完全不相信。3) 如果说任何调查结果都不可能完全准确，先验知识或主观概率也不是完全可以相信的， 那么贝叶斯决策则巧妙地将这两种信息有机地结合起来了。4) 贝叶斯决策可以在决策过程中根据具体情况下不断地使用，使决策逐步完善和更加科学参考文献1李容华. 生产中的模糊贝叶斯决策模型. 经济数学. 19942韩崇昭，张平平. 决策、对策与管理. 北京. 新时代出版社，19863盛骤，谢式千，潘承毅. 概率论与数理统计，2004