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1、第三十九讲 平面及其方程 重点：求平面的方程 难点：特殊平面的方程的求法 平面和直线是空间最简单的几何图形。本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程。一、平面的点法式方程 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。显然，平面的法向量有无穷多个，而且平面上的任意一个向量都与该平面的法向量垂直。由立体几何知道，过空间一点可以作而且只可以作一个垂直于一条已知直线的平面。下面我们来求该平面的方程。设平面过点),(0000zyxM，,CBAn 是平面的法向量（图）。在平 面上任取一点),(zyxM，则点M在平面的充要条件是 nMM0，即nMM0=0。因为 ,0000zzyyxxMM，,CBAn，所以
2、0)()()(000zzCyyBxxA （1）该方程称方程为平面的点法式方程。例 1 求过点(2，1，1)且垂直于向量kji32 的平面方程。解 取已知向量kji32 作为平面的法向量n，由因为所求平面过点(2，1，1)，故所求平面的方程为 0)1(3)1(2)2(zyx，即 0732zyx。例 2 求过点)4,1,2(1M、)2,3,1(2M和)3,2,0(3M的平面的方程。解 先求平面的法向量n。由于向量n于向量21MM、31MM都垂直，而21MM=-3,4,-6、31MM=-2,3,-1，所以可取它们的向量积为n，即 n=3121MMMM=132643kji=kji914，根据平面的点法
3、式方程，得所求平面的方程 0)4()1(9)2(14zyx。即 015914zyx。二、平面的一般方程 方程（1）可化为 0DCzByAx （2）其中000CzByAxD。这是x、y、z的一次方程，所以平面可用x、y、z的一次方程来表示。反之，任意的x、y、z的一次方程（2）是否都表示平面呢（式中A、B、C不全为零）？方程（2）是一个含有三个未知数的方程，所以有无穷多组解。设0 x、0y、0z是其中的一组解，则有 0000DCzByAx。用方程（2）减去上式，得 0)()()(000zzCyyBxxA。这就是方程（1）。它表示过点),(0000zyxM，且以,CBAn 为法向量的平面。由此可知
4、x、y、z的一次方程（2）都表示平面，其中系数A、B、C表示法向量的坐标。方程（2）称为平面的一般方程。下面讨论方程（2）的一些特殊情况。（1）当0D时，方程（2）成为0CzByAx，它表示一个通过坐标原点平面。（2）当0A时，方程（2）成为0DCzBy，法向量,0CBn 垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面；当0 DA时，方程0CzBy，它所表示的平面通过x轴。（3）当0 BA时，方程（2）成为0DCz，法线方向,0,0Cn 同时垂直于x轴和y轴，方程表示一个平行于xy坐标平面；当0DBA时，方程为0z，它表示xy坐标面。对于其它情况，读者可以类似地进行讨论。例 3 求通过z轴和点)1,
5、1,2(M的平面的方程。解 因为所求平面通过y轴，故设所求平面的方程为 0CzAx。由于点M在所求平面上，所以点M的坐标都满足该方程，于是有 02CA 解得AC2。将AC2代入方程并消去A，得 02 zx 即为所求的平面方程。例 4 求过点)0,0,(1aM、)0,0(2bM、),0,0(3cM的平面的方程（其中0abc）。解 设所求的平面方程为 0DCzByAx 因为点1M、2M、3M在所求的平面上，所以它们的坐标都满足该方程，于是有 000DCcDBbDAa 解此方程组，得 cDCbDBaDA 将解代入平面方程并消去D（0D），得 1czbyax （3）方程（3）叫做平面的截距式方程，其中
6、a，b，c分别叫做平面在x轴、y轴、z轴上的截距。三、两平面之间的夹角 两平面法向量的夹角（通常指锐角），称为两平面的夹角。设平面1、2的方程分别为 01111DzCyBxA 和 02222DzCyBxA。它 们 的 夹 角 为。由 于 两 平 面 的 法 向 量 分 别 为,1111CBAn 和,2222CBAn，由两向量夹角余弦公式，得|),(c o s|c o s21nn=222222212121212121|CBACBACCBBAA （4）这就是两平面夹角的余弦的计算公式。例 5 求两平面032zyx与052zyx的夹角。解 由公式（4）有 c o s=2222221122)1(1|121)1(21|=21 所以，=3。四、两平面的相关位置 由立体几何我们知道，两平面的位置关系有三种：相交、平行和重合。在空间解析几何中，我们可以根据两平面的方程来判断两平面的位置关系。设两平面的方程为 1：01111DzCyBxA 2：02222DzCyBxA 则（1）平面1与2相交222111:CBACBA；（2）平面1与2平行21212121DDCCBBAA；（3）平面1与2重合21212121DDCCBBAA；（4）平面1,2垂直0212121CCBBAA。
第三十九讲平面及其方程
