高等数学课件31中值定理

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1、12一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理罗罗尔尔（R Ro ol ll le e）定定理理 如如果果函函数数)(xf满满足足（1 1）在在闭闭区区间间 ,ba上上连连续续；（2 2）在在开开区区间间),(ba内内可可导导；（3 3）在在区区间间端端点点的的函函数数值值相相等等，即即)()(bfaf,那那末末在在),(ba内内至至少少有有一一点点)(ba ,使使得得函函数数)(xf在在该该点点的的导导数数等等于于零零，即即0)(f 例如例如,32)(2 xxxf)1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(内可导内可导在在 ,0)3()1(ff且且),3,1(1(,1 取取.0)(f)

2、,1(2)(xxf3点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变速直线运动在折变速直线运动在折返点处返点处,瞬时速度等瞬时速度等于零于零.几何解释几何解释:ab1 2./(,弦）弦）切线切线水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABCxyo)(xfy AB4证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(

3、),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf5,0 x若若;0)()(xfxf则则有有,0 x若若;0)()(xfxf则则有有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有($1-4Th2)6注意注意(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立其结论可能不成立.例如例如,2,2,xxy,)0(2,2的的一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理不不存存在在外外上上除除在在f .0)(2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能

4、能，但但在在区区间间xyoxy 2-2（有不可导点）（有不可导点）7;0,01,0(,1 xxxy.1,0,xxy又例如又例如,(2)利用罗尔定理，可以证明方程利用罗尔定理，可以证明方程.0)(实实根根在在某某区区间间内内至至少少有有一一个个 xf101。1 00)(f，使，使均不存在均不存在8例例1解解上都连续，上都连续，与与，在在522-1)(xf在（在（-1，2）与（）与（2，5）内均可导，）内均可导，且且），），（）（）（5)2(,21ffff 根据罗尔定理，根据罗尔定理，至少存在一点至少存在一点),522121，（），及），及，（使使,0)(,0)(21 ff即方程即方程.0)(至少

5、有两个实根至少有两个实根 xf又又为三次多项式，为三次多项式，（)xf为二次多项式，为二次多项式，)(xf 故故为二次方程，为二次方程，0)(xf至多有两个实根，至多有两个实根，因此，因此，有且仅有两个实根，有且仅有两个实根，0)(xf分别位于区间分别位于区间（-1，2）与（）与（2，5）内）内.0)(),5)(2)(1()(区区间间几几个个实实根根，并并说说明明所所在在有有问问方方程程设设 xfxxxxf(与习题与习题3-1，5类似）类似）9例例2 2证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连连续续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由零点存在定理，由零点存在定理，,0)(),1,0(

6、00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设另有设另有.0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.0为为唯唯一一实实根根x0 x.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx(与与p166习题习题3-1，12类似）类似）10二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理

7、理 如如果果函函数数 f(x)满满足足（1）在在闭闭区区间间,ba上上连连续续；（2 2）在在开开区区间间),(ba内内可可导导,那那么么在在),(ba内内至至少少存存在在一一点点)(ba ，使使等等式式 )()()(abfafbf 成成立立.).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf结结论论亦亦可可写写成成11ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件

8、中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线.,两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba)(,(afa)(,(bfb12作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在,0)()()(abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间

9、内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.13,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理14.)(,)(上上是是一一个个常常数数在在区区间间那那么么上上的的导导数数恒恒为为零零在在区区间间如如果果函函数数IxfIxf推论推论证证,2

10、121xxIxx 不不妨妨设设应用拉格朗日中值公式，应用拉格朗日中值公式，)()()(1212xxfxfxf ).(21xx ,0)()(,0)(12 xfxff 即即).()(12xfxf 上上任任意意两两点点，为为Ixx21,.)(上为一常数上为一常数在在Ixf注：利用此推论可证明恒等式注：利用此推论可证明恒等式.15例例3(P166,3(P166,习题习题3-13-1，6 6）).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证)1,1(,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0).1,1(,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f20 ,

11、2 .2 C.)1,12arccosarcsin xxx（又又,2)1()1(ff16例例4 4（P163P163例例1 1）.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证,0),1ln()(xttf设设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(ttff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即辅助函数和区间辅助函数和区间.关键是找到一个适当的关键是找到一个适当的注：利用拉氏定理，可证明不等式，注：利用拉氏定理，可证明不等式，17三、柯西中值定理三、柯西中

12、值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf 成立成立.18几何解释几何解释:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aF)(),(afaFA)(bF)(),(bfbFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少

13、有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba19,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba时，时，当当xxF)()1(,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf)()()(fabafbf 注：注：（即拉格朗日公式）（即拉格朗日公式）.(2)证明方法与拉格

14、朗日定理的证法相同证明方法与拉格朗日定理的证法相同,但不能直接用拉格朗日定理推出但不能直接用拉格朗日定理推出.20例例4 4（补充）（补充）).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即21四、小

15、结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系之间的关系:(1)定理成立的条件；定理成立的条件；(2)利用中值定理证明等式与不等式的步骤利用中值定理证明等式与不等式的步骤;注意：注意：（3）证明题的类型）证明题的类型.22th 罗尔罗尔Rolle拉格朗日拉格朗日 Lagrange 柯西柯西Cauchy条条件件1.同右同右2.同右同右3.f(a)=f(b)1.f(x)在在a,b上连续上连续2.f(x)在在(a,b)内可导内可导1.f(x)

16、、F(x)在在a,b上连续上连续2.f(x)、F(x)在在(a,b)内可导，内可导，且且结结论论同右同右至少存在一点至少存在一点 使使至少存在一点至少存在一点 使使几几何何意意义义关关系系推广推广 推广推广 特例特例.f(a)=f(b)特例特例 F(x)=x0)(xF0)(f),(ba abafbff )()()()()()()()()(aFbFafbfFf ),(ba xoy)(xfy ABb1 2 ab1 2 xyo)(xfy AB)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aF)(),(afaFA)(bF)(),(bfbFBCD)(xFNM23思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值

17、定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.24思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.25一一、填填空空题题：1 1、函函数数4)(xxf 在在区区间间 1 1,2 2 上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，则则=_ _ _ _ _ _ _ _.2 2、设设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，方方 程程0)(xf有有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

18、_个个根根，它它们们分分别别在在区区间间_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上.3 3、罗罗 尔尔 定定 理理 与与 拉拉 格格 朗朗 日日 定定 理理 之之 间间 的的 关关 系系 是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、微微分分中中值值定定理理精精确确地地表表达达函函数数在在一一个个区区间间上上的的_ _ _ _ _ _ _ _与与函函数数在在这这区区间间内内某某点点处处的的_ _ _ _ _ _ _ _之之间间的的关关系系.5 5、如如果果函函数数)(xf在在区区间间I上上的的导导数数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

19、_，那那么么)(xf在在区区间间I上上是是一一个个常常数数.练练 习习 题题26二二、试试证证明明对对函函数数rqxpxy 2应应用用拉拉氏氏中中值值定定理理 时时所所求求得得的的点点 总总是是位位于于区区间间的的正正中中间间 .三三、证证明明等等式式21arctan1arcsin22 xxx )1,0(x .四四、设设0 ba，1 n，证证明明 )()(11banababanbnnnn .五五、证证明明下下列列不不等等式式：1 1、baba arctanarctan；2 2、时时当当1 x，exex .27六、设函数六、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数

20、，且且0)0()0()0()1(nfff 试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ，（，（10 ）.七、设七、设)(xf在在 ba,内上连续，在内上连续，在(ba,)内可导，若内可导，若 ba 0,则在则在(ba,)内存在一内存在一 点点，使，使 )()()()(baffabfbaf .(P167,习题习题3-1，15）28一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零.练习题答案练习题答案