163二次根式的加减

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1、16.3二次根式的加减二次根式的加减 二次根式化简为最简二次根式以及同二次根式化简为最简二次根式以及同类二次根式的判定。类二次根式的判定。二次根式的加减、乘除、乘方等运算二次根式的加减、乘除、乘方等运算规律。规律。由整式运算知识迁移到含二次根式的由整式运算知识迁移到含二次根式的运算。运算。教学重难点教学重难点加法交换律：加法交换律：a+b=b+a乘法交换律：乘法交换律：a b=b a加法结合律：加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)乘法结合律：乘法结合律：(a b)c=a (b c)左分配律：左分配律：c(a+b)=(c a)+(c b)右分配律：右分配律：(a+b)c=(a

2、c)+(b c)部分运算律部分运算律 二次根式计算时，化简二次根式计算时，化简的结果符合什么要求？的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；被开方数不含分母；分母不含根号；分母不含根号；（2）被开方数中不被开方数中不能能含开得尽含开得尽 方的因数或因式方的因数或因式.二次根式的乘法法则是怎样的？二次根式的乘法法则是怎样的？ba ab（a 0，b0）二次根式的除法法则是怎样的？二次根式的除法法则是怎样的？baab（a 0，b0）几个二次根式化成几个二次根式化成最简二次根式最简二次根式以以后，如果后，如果被开方数相同被开方数相同，这几个二次，这几个二次根式就叫做根式就叫做同类二次根式同类二次根式

3、.判断同类二次根式的关键是什么？判断同类二次根式的关键是什么？(1)(1)化成最简二次根式，化成最简二次根式，(2)(2)被开方数相同被开方数相同,根指数相同根指数相同(都是都是2)2)把下列各根式化简把下列各根式化简 25 23 34 32 332 53 24 22311(8)45(7)32(6)21)5(50(4)18(3)48(2)12)1(例例1:下列各式中下列各式中,哪些是同类二次根式哪些是同类二次根式?12453112150例例 题题 解解 析析183248注意：注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，

4、与最简二化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式和符号无关次根式前面的因式和符号无关 25 23 34 32 332 53 24 22下列下列3组根式各有什么特征组根式各有什么特征?23221522232)1(，3132,317,36,35,3)2(21,32,185,8,2)3(几个二次根式化成几个二次根式化成最简二次根式最简二次根式以以后，如果后，如果被开方数相同被开方数相同，这几个二，这几个二次根式就叫做次根式就叫做同类二次根式同类二次根式.判断同类二次根式的关键是什么？判断同类二次根式的关键是什么？(1)(1)化成最简二次根式，化成最简二次根式，(2)(2)被开方

5、数相同被开方数相同,根指数相同根指数相同(都等于都等于2)2)例例1:下列各式中下列各式中,哪些是同类二哪些是同类二次根式次根式?27550127133832abbab26例例 题题 解解 析析注意：注意：判断一组式子是否为同类判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与根式后的被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号最简二次根式前面的因式及符号无关无关 175453925aa例 计算：（1）12（2）80（）35327512.1解：解：373)52(53544580.255)34(aaaa53259.3aa8)53(比较二

6、次根式的加减比较二次根式的加减与整式的加减，你能与整式的加减，你能得出什么结论？得出什么结论？二次根式的加减实质是二次根式的加减实质是合并同类二次根式合并同类二次根式整式的加减的实质是合整式的加减的实质是合并同类项并同类项先化简先化简,后合并后合并babbbabaabbbababbbabbab23322715012222324323329333127110225150126837522366228353575，解：是同类二次根式是同类二次根式是同类二次根式是同类二次根式是同类二次根式是同类二次根式 与合并同类项类似与合并同类项类似,把把同类二次根式的系同类二次根式的系数相加减数相加减,做为结果

7、的系数做为结果的系数,根号及根号内部根号及根号内部都不变都不变,29 2432 242322 24188 总结二次根式加减运算的步骤总结二次根式加减运算的步骤计算计算:如何合并如何合并同类二次同类二次根式根式?（3）合并同类二次根式。）合并同类二次根式。一化二找三合并二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；）找出其中的同类二次根式；交流归纳1.在下列各组根式中，是同类二次根式的在下列各组根式中，是同类二次根式的是（是（）A.B.C.D.122,212,24ab,ab11 a,a3.如果最简

8、二次根式如果最简二次根式 与与 是同类二次根式是同类二次根式,求求m、n 的值的值.22 nmnm B12271624321252.与与 是同类二次根式的是是同类二次根式的是()A.B.C.D.D计算计算22332aaa（4）23xx（1）222235xxx（2）323xxy（）以上，是我们以前所学的整式加减以上，是我们以前所学的整式加减同类项合并。同类项合并就是字母不变，系同类项合并。同类项合并就是字母不变，系数相加减。数相加减。5x24x33xy23aa回顾回顾合作探究合作探究（1）3x+2x（2）3x-2x（1）2 22 22 23 32 22 22 23 3（2）与合并同类项类似与合并

9、同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并我们可以把相同二次根式的项合并.以前我们学过的整式运算的其它法则和方以前我们学过的整式运算的其它法则和方法也适用于二次根式的运算法也适用于二次根式的运算.92xxx(92 1)x6x9 52 55(92 1)56 5 对比对比二次根式的加减二次根式的加减 整式的加减整式的加减 在有理数在有理数范围内成立的范围内成立的运算律，在实运算律，在实数范围内仍然数范围内仍然成立。成立。比较二次根式的加减比较二次根式的加减与整式的加减，你能与整式的加减，你能得出什么结论？得出什么结论？二次根式的加减实质是二次根式的加减实质是合并同类二次根式合并同类二次根式整式的加

10、减的实质是合整式的加减的实质是合并同类项并同类项8182 23 2232（）5 29 52 55(92 1)56 59 5205归纳归纳 二次根式加减时，可以先将二二次根式加减时，可以先将二次根式次根式化化成最成最简简二次根式，二次根式，再将再将被开方数相同的二次根式进行被开方数相同的二次根式进行合并合并。知识要点知识要点 与合并同类项类似与合并同类项类似,把把同类二次根式的系同类二次根式的系数相加减数相加减,做为结果的系数做为结果的系数,根号及根号内部根号及根号内部都不变都不变,29 2432 242322 24188 总结二次根式加减运算的步骤总结二次根式加减运算的步骤计算计算:如何合并如

11、何合并同类二次同类二次根式根式?（3）合并同类二次根式。）合并同类二次根式。一化一化二找二找三合并三合并二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；）找出其中的同类二次根式；交流归纳交流归纳注意:不是同类二次根式的二次根式同类二次根式的二次根式(如如 与与 )不能合并不能合并232163 483(2)(1220)(35)21(3)96234xxxx例 计算：(1)2 12 483316122.13123234314解：解：532012.2535232533 xxxx1246932.3xxx23

12、2x3练习练习1：(1)188(2)75271(3)4863(4)23.4 554C下列计算正确的是（）A.5.83 211 231.22BDaaa 23836例题例题计算计算4 52 5542 153 5（1）（1）如果几个二次根式的被开方数相同，）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算。那么可以直接根据分配律进行加减运算。注意注意 （2）如果所给的二次根式不是最简二）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算。次根式，应该先化简，再进行加减运算。注意注意（2）1220352 32 5353 352 332 55 交换律在交换律在二次根式运算二

13、次根式运算中仍然成立。中仍然成立。32411821821)(68132221242)(32411821821)(22232421234)(229031031033975232737521)(22329223232622318722)(2215461023232241073新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2、下列计算哪些正确，哪些不正确？、下列计算哪些正确，哪些不正确？325 aba b abab ()a a b aa b a1132032aaaa（不不正确正确）（不不正确正确）（不不正确正确）（正确正确）（不正确（不正确）3.3.下列二次根式中，可与合并的二次根式下列二次根式中，可与合

14、并的二次根式是（）是（）183123594.4.下列各式中，计算正确的是（）下列各式中，计算正确的是（）134)(7773232532xxbaba新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！CC新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！例例1 1、先先化化简，再求出近似值（精确到简，再求出近似值（精确到0.010.01）解：原式解：原式=2223343332332331323)32312(73.13 3113112例例2 2、计算、计算3)2748).(3(63383).2(26327).1(解解：（：（1）33363312333原式292318349)2(原式134916)3(原式(2)(2 23

15、 3)(3 32 2)(1)(22)(32 2)2(3)(2 33 2)22423246原式19278332222）（）（原式61230186121223233223222）（）（原式2a()()()2121aaa=（1+1+）（）（1-a1-a）2=-=-（1+1+）a+a+（1+1+）22解：原式解：原式=a=a2 2-2a+1-2a+1-（a a2 2-a+a-a+a-）2222=（1+1+）（）（1-1-）=1-2=-1=1-2=-1 4.两个圆的的圆心相同，它们的面积两个圆的的圆心相同，它们的面积分别是分别是 12.56 cm2 和和 25.12 cm2，求圆环的，求圆环的宽度宽度

16、d（取取 3.14，精确到，精确到 0.01 cm）。）。所以圆环的宽度为所以圆环的宽度为1.414 cm。dRr解：解：设大圆半径为设大圆半径为 R，小圆半径为，小圆半径为 r，则宽度则宽度d=Rr。由圆面积公式由圆面积公式 S=R2，25.1282 2R12.5642r2 2221.414dRrcm 5.若最简根式若最简根式 与根式与根式 是同类二次根式，求是同类二次根式，求 a、b 的值。的值。baba33423262bbab解：解：23226abbb化简化简2(26)bab26bab则则26bab与与343a bab是同类二次根式。是同类二次根式。4a3b=2ab63ab=2b=1a=

17、13.已知已知 求求01064422yxyx22321953xyxxyxxyxx。解：解：1,32xy22446100 xyxy22441690 xxyy（）（）222130 xy22321953256xyxxyxxyxxx xxyx xxyx xxy23 64原式原式当当 时，时，原式原式 1,32xy111632223.有理化因式：有理化因式：（1）单独一项）单独一项 的有理化因式就是它本身的有理化因式就是它本身 。（2）出现和、差形式的：如）出现和、差形式的：如 的有理化因式为的有理化因式为 aaabab。与合并同类项类似与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并我们可以把相同二次

18、根式的项合并.以前我们学过的整式运算的其它法则和方法以前我们学过的整式运算的其它法则和方法也适用于二次根式的运算：也适用于二次根式的运算：运算顺序：运算顺序：（有括号有时也可以先算括号内）（有括号有时也可以先算括号内）含有二次根式的代数式相乘，我们可以把它看作多含有二次根式的代数式相乘，我们可以把它看作多项式相乘，运用多项式的乘法法则或乘法公式项式相乘，运用多项式的乘法法则或乘法公式.二次根式加减的基本步骤：二次根式加减的基本步骤：先化简，再合并先化简，再合并1 1、比较根式的大小、比较根式的大小.137146和拓展提高拓展提高解解:137146146 （）26+2 +14=20+2 8484（）137 2 20+2910146 0137 又观察下列各式及其验证过程：观察下列各式及其验证过程：2222,33验证：验证：22(2 2)22(2 2)2222332 12 1333222333388验证验证：33(33)33(31)33338831318333222 按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的的变化结果并进行验证。变化结果并进行验证。针对上述各式反映的规律，写出针对上述各式反映的规律，写出n（n为任意自然数，且为任意自然数，且n2）表示的等）表示的等 式并进行验证。式并进行验证。4415拓展提高拓展提高