第四章连续时间信号的采样

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1、第四章第四章 连续时间信号的采样连续时间信号的采样Sampling of Continuous-Time Signals4.0 4.0 引言引言离散时间信号离散时间信号 实际存在实际存在 或或 连续时间信号连续时间信号采样采样 （常见）（常见）问题：连续时间信号问题：连续时间信号 离散时间信号的离散时间信号的完全准确表示完全准确表示 （包含全（包含全部信息）部信息）决定因素：采样率（决定因素：采样率（sampling rate）,采样周期、采样频率采样周期、采样频率方法：时域？频域！方法：时域？频域！恢复（表明问题的方法）：离散时间信号恢复（表明问题的方法）：离散时间信号（恢复）连续时间信号（

2、恢复）连续时间信号或称重构或称重构4.1 4.1 周期采样（周期采样（Periodic sampling）xc(t)-连续时间信号连续时间信号周期采样周期采样后得到样本序列：后得到样本序列：xn=xc(nT),n T-采样周期，采样周期，等间隔采样等间隔采样；fs=1/T-采样频率采样频率-s=2/T （弧度（弧度/秒）秒）理想（理想（C/D）转换器（）转换器（Continuous to Discrete）：）：实际实现：理想转换器的一种近似，实际实现：理想转换器的一种近似，A/D转换器，转换器，Analog to Digital （量化级数，线性度，采样保持）（量化级数，线性度，采样保持）采

3、样的可逆性：采样的可逆性：xn xc(t)-采样的条件（输入信号的限制）采样的条件（输入信号的限制）数学表示（两步）：冲击串调制器数学表示（两步）：冲击串调制器+冲击串到序列的转换器冲击串到序列的转换器nnTtts)()()()()scnx tx ttnTxs(t)与与xn区别区别连续，离散连续，离散时间归一化时间归一化冲击面积，有限冲击面积，有限数值数值4.2 4.2 采样的频域表示采样的频域表示数学上表示采样的两步：数学上表示采样的两步：第一步：第一步：xc(t)xs(t)第二步第二步：xs(t)xn 首先考虑第一步，周期冲击串首先考虑第一步，周期冲击串调制：调制：由冲击函数的筛选性：由冲

4、击函数的筛选性：nnTtts)()(ncsnTtnTxtx)()()(nccsnTttxtstxtx)()()()()(xs(t)的傅立叶变换的傅立叶变换根据傅立叶变换的性质：根据傅立叶变换的性质：时域相乘时域相乘频域卷积频域卷积先求先求S(j)，由傅里叶变换特性，由傅里叶变换特性s(t)周期冲击串周期冲击串S(j)周期冲击串周期冲击串即：即：kskTS)(2)j()j()j(21)j(SXXcs2sT证明：证明：因为因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数可表示为：为周期函数，用傅立叶级数可表示为：由于由于t的区间：的区间：-1/T 1/TkskTS)(2)j(ktjkkseats)(TTntj

5、kTTtjkktnTtTttsTass1111de)(1de)(1TttTaTTtjkks1de)(111ktjksTtse1)(Xc(j)与与Xs(j)的关系的关系周期重复叠加周期重复叠加)jj(1)j(skcskXTX)jj(1d)()j(221)j(d)(2)j(21)j(d)(j()j(21)j()j(21)j(skcsckskscsccskXTkXTXkTXXSXSXXXs(j)重复部分重复部分不重叠的条件：不重叠的条件：s-N N 或：或：s 2N 结果：低通滤结果：低通滤波器恢复出波器恢复出Xc(j)xc(t)混叠混叠 aliasingXr(j)=Hr(j)Xs(j)，若若 N

6、c (s-N)，有有Xr(j)=Xc(j)例子：例子：xc(t)=cos0t xc(t)=cos0txc(t)=cos(s-0)tN-Nyquist Frequency2N-Nyquist Rate采样频率必须大于采样频率必须大于Nyquist Rate第二步：第二步：xs(t)xn 也就是也就是Xs(j)，Xc(j)X(ej)xn考虑考虑Xs(j)的另一种表示形式的另一种表示形式ncsnTtnTxtx)()()(对其做傅立叶变换：对其做傅立叶变换：由于由于 nTncsnTnctcnstncsnTxXnTxtnTtnTxXtnTtnTxX j-j-j-j-e)()j(e)(de)()()j(d

7、e)()()j()e()e()j(e)e()(jjj-jTTsnncXXXnxXnTxnx比较有：最终可得：最终可得：)2jj(1)e()jj(1)e(jjTkTXTXkXTXkcskcT或等效为：从Xs(j)X(ej)表示频率尺度变换频率尺度变换：=T 频率轴归一化 Xs(j)-=s X(ej)-=2频率轴归一化频率轴归一化 对应于时间轴的采样周期对应于时间轴的采样周期T的归一化。的归一化。xn的间隔为的间隔为1例：一个正弦信号的采样与重建例：一个正弦信号的采样与重建T=1/6000有有其中其中0=4000T=2/3,s=2/T=12000 xc(t)=cos(4000t)xn=xc(nT)

8、=cos(4000Tn)=cos(0n)信号的最高频率信号的最高频率N=4000，满足，满足Nyquiest定理，没有混叠。定理，没有混叠。其傅立叶变换为：其傅立叶变换为：在在s=12000时时)jj(1)j(skcskXTX)4000()4000()j(Xc4.3 4.3 由样本重构带限信号由样本重构带限信号由由xn (恢复恢复)xc(t)见图见图4.4Xc(j)=Xr(j)=Hr(j)Xs(j)Xs(j)=X(ejT),X(ej)xc(t)=xr(t)=hr(t)xs(t)xs(t)=xn有前知，有前知，()()()()()()scncsnx tx nTtnTx nTx nx tx ntn

9、T()()()()()()()()()()()()rrsrskrknrnkrrcnx th tx th k x tkh kx ntknTx nh ktknTx tx n h tnTx t理想重构滤波器增益为理想重构滤波器增益为T（补偿作用）（补偿作用）截止频率为截止频率为c，取取c=s/2=/T TtTtthr/sin)(sin()/()()()/rcntnTTx tx nx ttnTT理想离散到连续时间转换器（理想离散到连续时间转换器（D/C）频域输入输出关系频域输入输出关系jjjj()jjj()(j)()ed()ed(j)()ed()ed(j)e()ed errnttrrrntnTrrrn

10、nnTrrnx tx n h tnTXx ttx n h tnTtXx nh tnTtx nhXx nhx n 其傅立叶变换：j(j)(j)(j)(e)nTrnTrrHXHX 4.4 4.4 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理过程的数学表示：过程的数学表示：C/D转换器：转换器：xn=xc(nT)傅立叶变换的关系：傅立叶变换的关系：D/C转换器输出：转换器输出：kcTkjTXTX)2j(1)e(jnrTnTtTnTtnyty/)(/)(sin)(jj(j)(j)(e)(e),0,TrrTYHYTYT 其它4.4.1线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统如果上图连续时间系

11、统中的离散时间系统是线性和时不变的，有如果上图连续时间系统中的离散时间系统是线性和时不变的，有Y(ej)=H(ej)X(ej)H(ej)-系统的频率响应（单位脉冲响应的傅立叶变换）系统的频率响应（单位脉冲响应的傅立叶变换）X(ej)，Y(ej)-输入输出的傅立叶变换输入输出的傅立叶变换考虑考虑D/C转换器的滤波器转换器的滤波器Hr(j):Yr(j)=Hr(j)H(ejT)X(ejT)再考虑再考虑C/D转换器的傅立叶变换的关系，并用转换器的傅立叶变换的关系，并用=T得到得到连续系统输入、输出的频域关系连续系统输入、输出的频域关系：j12(j)(j)(e)jTrrckkYHHXjTT 如果输入是带

12、限的，经过如果输入是带限的，经过D/C理想低通重构滤波器，连续理想低通重构滤波器，连续时间系统的输入输出频域关系：时间系统的输入输出频域关系：或写为：或写为：式中式中Heff(j)为有效频率响应（为有效频率响应（effective frequency response）表示：连续时间系统表示：连续时间系统 （等效）线性时不变系统（等效）线性时不变系统j(e)(j),/(j)0./TcrHXTYT jeffjeff(j)(e)(j).(e),/(j)0./TrcTYHXHTYT 4.4.2 脉冲响应不变（脉冲响应不变（Impulse invariance）已知已知 连续时间系统连续时间系统（实现

13、）离散时间系统（实现）离散时间系统也就是：也就是：Hc(j)H(ej)本节讨论：本节讨论：hc(t)hn关系关系实现的频域表示：实现的频域表示：实现的时域关系：实现的时域关系：由连续时间信号的采样，用由连续时间信号的采样，用h n,hc(t)代替代替x n,xc c(t)考虑幅度因子考虑幅度因子T,脉冲响应不变脉冲响应不变j(e)(j/),(j)0./ccHHTHT jjj(),12(e)j1(e)(j),(),(e)j,cckccch nh nTkHHTTTHHTTh nTh nTHHT例：连续理想低通滤波器例：连续理想低通滤波器（冲击响应不变）离散理想低通滤波器（冲击响应不变）离散理想低通

14、滤波器c=c/T /T c N 并且并且/T=/(MT)N xdn xc(t)减采样（减采样（downsampling）减采样前后的傅立叶变换之间关系减采样前后的傅立叶变换之间关系xn=xc(nT)的傅里叶变换的傅里叶变换xdn=xnM=xc(nT)=xc(nMT)的傅里叶变换的傅里叶变换即即将求和指数将求和指数r表示为表示为:r=i+kM，i 和和 k均为整数均为整数若若 k 和和 0 i M-1 r j12(e)jdckkXXTTTj12(e)jdcrrXXTTTj12(e)jdcrrXXMTMTMT上式可写为：上式可写为：方括号项：方括号项：减采样前后的傅立叶变换关系：减采样前后的傅立叶

15、变换关系：Xd(ej)的两个解释：的两个解释：（1）与）与Xc(j)的关系：的关系：=T，2/T 周期重复（叠加）周期重复（叠加）（2）与）与X(ej)的关系：频率的关系：频率M倍扩展，倍扩展，2/M整数倍移位，整数倍移位，M个周期个周期叠加叠加 1j01122(e)jMdcikkiXXMTMTTMTj(2)/122(e)jiMckikXXTMTT1jj(/2/01(e)(e)MMi MdiXXMXd(ej)的性质：的性质：周期性，周期为周期性，周期为2若若X(ej)带限，即带限，即和和2/M 2N ，不产生混叠，不产生混叠j(e)0.NXM因子减采样时不产生混叠的条件：因子减采样时不产生混叠

16、的条件：N M 或或N /M如果不能满足上面的条件，则可以在减采样前减小信号如果不能满足上面的条件，则可以在减采样前减小信号xn的带宽。的带宽。但减采样后的序列已不再代表原来的连续时间信号，尽管在减采样但减采样后的序列已不再代表原来的连续时间信号，尽管在减采样过程中没有产生混叠。过程中没有产生混叠。4.6.2 采样率按整数因子增加采样率按整数因子增加 xn的采样率增加的采样率增加L倍，倍，xin为：为：xin=xc(nT)其中的采样率其中的采样率T=T/L关心关心 xin xn增采样（增采样（upsampling）采样扩展器（采样扩展器（sampling rate expander）（左边）（

17、左边）扩展器的输出为：扩展器的输出为：系统右边：低通离散时间滤波器（截止频率系统右边：低通离散时间滤波器（截止频率/L，增益，增益L）频域解释（频域解释（upsampling）/,0,2,.,0,eekx n LnLLx nx nx knkL其它j-j-jj(e)e e(e)nenkLkLkXx knkLx kX/T=N具体由具体由xn xin 内插公式内插公式低通滤波器单位脉冲响应低通滤波器单位脉冲响应滤波后输出：滤波后输出：单位脉冲响应单位脉冲响应hin有：有：表示：在表示：在n=0,L,2L,上上xin与与xn相等，在其它相等，在其它n，xin由内由内插公式求得。与真正插公式求得。与真正

18、xc(t)采样得到的采样得到的xcnT完全相同。完全相同。LkLnLkLnkxnxkLnhkxmnhkLmkxmnhkLmkxmnhmxnhnxnxkikikmimikmieiei/)(/)(sin 内插公式sin(/)/in Lh nn L01.0,2,.,iihh nnLL 实际中使用简单的线性内插：实际中使用简单的线性内插：相应滤波器的内插输出：相应滤波器的内插输出：lin1/.,0.nLnLhn其它linlinlin ekkxnx k hnkx k hnkL线性内插滤波器与理想低通内插滤波器的频率响应：线性内插滤波器与理想低通内插滤波器的频率响应：说明：说明：在在n=0,L,2L,点上

19、点上xlinn与与xn相等，在其它相等，在其它n，xlinn与真正与真正xc(t)采样得到的采样得到的xcnT不同。不同。相同程度取决相同程度取决x n序列的原采样率，原采样率越高，序列的原采样率，原采样率越高，xlinn越逼近。越逼近。4.6.3 采样率按非整数因子变化采样率按非整数因子变化T=TM/L4.7 4.7 多采样率信号处理（多采样率信号处理（multirate signal processing）4.8 4.8 模拟信号的数字处理模拟信号的数字处理理想情况：输入带限理想情况：输入带限+Nyquist抽样抽样 离散系统离散系统=连续系统连续系统实际情况：非带限、非理想滤波器、实际情

20、况：非带限、非理想滤波器、C/D和和D/C的近似性的近似性实际模型实际模型4.8.1 消除混叠的预滤波（抗混叠低通滤波）消除混叠的预滤波（抗混叠低通滤波）输入信号频带与采样率的矛盾输入信号频带与采样率的矛盾 采样率尽可能低采样率尽可能低噪声的混入（高频，混叠）噪声的混入（高频，混叠）措施：措施：抗混叠低通滤波（抗混叠低通滤波（antialiasing filter）滤波器的频率响应：滤波器的频率响应：1,/(j)0,caacTH 抗混叠低通滤波器：模拟，锐截止，非线性相位，实际实现抗混叠低通滤波器：模拟，锐截止，非线性相位，实际实现数字滤波器：容易实现数字滤波器：容易实现实现方法：实现方法：简

21、单模拟抗混叠滤波简单模拟抗混叠滤波 C/D 数字滤波数字滤波 降采样降采样 MN /M M)(1NMT4.8.2 模拟到数字转换（模拟到数字转换（A/D）量化器（数字信号的量化误差），编码器第四章习题第四章习题4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.8，4.9，4.13，4.14，4.15，4.17红色题不做。红色题不做。9、静夜四无邻，荒居旧业贫。23.3.1523.3.15Wednesday,March 15,202310、雨中黄叶树，灯下白头人。5:51:045:51:045:513/15/2023 5:51:04 AM11、以我独沈久，愧君相见频。23.3.155:51:0

22、45:51Mar-2315-Mar-2312、故人江海别，几度隔山川。5:51:045:51:045:51Wednesday,March 15,202313、乍见翻疑梦，相悲各问年。23.3.1523.3.155:51:045:51:04March 15,202314、他乡生白发，旧国见青山。2023年3月15日星期三上午5时51分4秒5:51:0423.3.1515、比不了得就不比，得不到的就不要。2023年3月上午5时51分23.3.155:51March 15,202316、行动出成果，工作出财富。2023年3月15日星期三5时51分4秒5:51:0415 March 202317、做前

23、，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。上午5时51分4秒上午5时51分5:51:0423.3.159、没有失败，只有暂时停止成功！。23.3.1523.3.15Wednesday,March 15,202310、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。5:51:045:51:045:513/15/2023 5:51:04 AM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。23.3.155:51:045:51Mar-2315-Mar-2312、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。5:51:045:51:045:51Wednesday,Marc

24、h 15,202313、不知香积寺，数里入云峰。23.3.1523.3.155:51:045:51:04March 15,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2023年3月15日星期三上午5时51分4秒5:51:0423.3.1515、楚塞三湘接，荆门九派通。2023年3月上午5时51分23.3.155:51March 15,202316、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2023年3月15日星期三5时51分4秒5:51:0415 March 202317、空山新雨后，天气晚来秋。上午5时51分4秒上午5时51分5:51:0423.3.159、杨柳散和风，青山澹吾虑。2

25、3.3.1523.3.15Wednesday,March 15,202310、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。5:51:045:51:045:513/15/2023 5:51:04 AM11、越是没有本领的就越加自命不凡。23.3.155:51:045:51Mar-2315-Mar-2312、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。5:51:045:51:045:51Wednesday,March 15,202313、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。23.3.1523.3.155:51:045:51:04March 15,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏

26、。2023年3月15日星期三上午5时51分4秒5:51:0423.3.1515、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2023年3月上午5时51分23.3.155:51March 15,202316、业余生活要有意义，不要越轨。2023年3月15日星期三5时51分4秒5:51:0415 March 202317、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。上午5时51分4秒上午5时51分5:51:0423.3.15MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blanditut cursus.感 谢 您 的 下 载 观 看感 谢 您 的 下 载 观 看专家告诉