ch91基本概念课件

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1、ch91基本概念第九章第九章 微分方程微分方程9.1 微分方程基本概念微分方程基本概念例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22)1(2,1 yyx或或写写成成时时其其中中,2Cxy 即即,1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为ch91基本概念Ot离离点点秒秒，开开始始时时一一物物体体作作变变速速直直线线运运动动例例)0(2 速速度度为为sm/2的的加加速速度度远远离离点点现现以以Osmt2

2、/2O求求物物体体离离点点的的函函数数关关系系与与时时间间的的距距离离)(tssts 解解已知已知，5)0(s，2)0(stts2dd22 以及以及)1(米米，的的距距离离为为 5ch91基本概念式两边积分一次得：式两边积分一次得：)1(tttsd2dd12Ct 积积分分，得得两两边边再再对对 t tCtsd)(1221331CtCt 为独立的任意常数为独立的任意常数其中其中21,CC，由由2)0(s；得得21 C，由由5)0(s；得得52 C故故所所求求函函数数为为52313 ttsch91基本概念基本概念基本概念微微分分方方程程.1的的等等式式或或微微分分包包含含未未知知函函数数及及其其导

3、导数数)(常微分方程：常微分方程：微分方程微分方程未知函数是一元函数的未知函数是一元函数的偏微分方程：偏微分方程：微分方程微分方程未知函数是多元函数的未知函数是多元函数的微分方程的阶微分方程的阶.2阶阶数数的的未未知知函函数数导导数数的的最最高高在在一一个个微微分分方方程程中中出出现现或或积积分分）微微分分方方程程的的解解(.3满满足足微微分分方方程程的的函函数数我们仅仅探讨一些与常微分方程相关的问题。我们仅仅探讨一些与常微分方程相关的问题。例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,32xeyyy ch91基本概念微分方程的特解微分方程的特解.5不不含含任任意意常常数数的的解解通通解解与与特特

4、解解的的几几何何意意义义通积分）通积分）微分方程的通解(微分方程的通解(.4程的阶数相同程的阶数相同的任意常数的个数与方的任意常数的个数与方解中含有解中含有独立独立tCtCts213312 中中方方程程的的解解例例如如：例例本本质质一一样样，与与tCCts)(31213 并并非非通通解解解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.ch91基本概念初初始始条条件件.6反反映映初初始始状状态态下下的的条条件件定解条件定解条件初初始始问问题题：常常微微分分方方程程边边界界问问题题：偏偏微微分分方方程程定义定义0),()(nyyyxF求微分方程求

5、微分方程满足初始条件满足初始条件iiyxy)(0)()1,2,1,0(ni的的特特解解，阶阶微微分分方方程程的的这这样样一一个个问问题题称称为为n，问题问题 y y初值问题Cauch初值问题Cauch记作记作0),()(nyyyxFiiyxy)(0)()1,2,1,0(nich91基本概念 2)1(2 1yxdxdy中中例例 2)0(5)0(2dd 222sstts中中例例问题。问题。都是都是cauchych91基本概念的的通通解解，是是方方程程验验证证函函数数例例xxxeyyeCey22333 的的特特解解并并求求满满足足初初始始条条件件00|xy解解xxeCey2323 yy3 则则)23(23xxeCe )(323xxeCe xe2 含有一个任意常数，含有一个任意常数，又因又因 y且且方方程程是是一一阶阶的的，的的通通解解是是方方程程函函数数xxxeyyeCey2233 1)0(Cy而而，0，得得到到1 C故特解为故特解为xxeey23 ch91基本概念所满足的微分方程所满足的微分方程为任意常数为任意常数求曲线族求曲线族例例)(1422CyCx 解解求求导导，得得两两边边对对 xyCx122 022 yyxC)2(得得由由122 yCx221xyC 式式代入代入)2(021222 yyxyx所求微分方程为所求微分方程为xyyy12