第一章第二节子集全集补集人教

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1、子集、全集、补集观察以下每组中的两个集合观察以下每组中的两个集合A、B，看看这两个集合中的元素有，看看这两个集合中的元素有什么关系：什么关系：（1）A=1，2，B=1，2，3（2）A=N，B=R（3）A=x x为北京人为北京人 B=x x为中国人为中国人 以上几组集合中，集合以上几组集合中，集合A中的中的元素都在集合元素都在集合B中中。对于集合对于集合A中的中的任何任何一个元素一个元素都都是集合是集合B的的元素元素(若若aA，则，则aB)，则称集合则称集合A是集合是集合B的的子集（子集（subset)。记作记作A B，或，或B A。读作。读作“集合集合A包含于集合包含于集合B”或或“集合集合B

2、包含集合包含集合A”。用数学语言来表示就是：若用数学语言来表示就是：若xA，则则xB，我们就说，我们就说A是是B的子集。记作的子集。记作A B，或或B A。A B可以用可以用Venn图来表示：图来表示：BA当集合当集合A不包含不包含于集合于集合B，或集，或集合合B不包含集合不包含集合A时，记作时，记作AB，或或BA。如。如A=1，2，3，B=2，3，4，则，则AB，当然，当然，B A。规定：空集是任何集合的规定：空集是任何集合的子集，子集，即即 对于任何一个对于任何一个集合集合A，都有，都有 A。思考：思考：A B与与B A能否同时成立？能否同时成立？一般地，对于两个集合一般地，对于两个集合A

3、与与B，如果集合，如果集合A的任何一个的任何一个元素都是集合元素都是集合B的元素，同时集合的元素，同时集合B的任何一个元素都的任何一个元素都是集合是集合A的元素，我们就说集合的元素，我们就说集合A等于集合等于集合B，记作，记作A=B。用数学语言来表述上面的话就是：若用数学语言来表述上面的话就是：若A B，且，且B A，则，则A=B。对于两个集合对于两个集合A与与B，如果，如果A B，且，且AB，我们就说，我们就说A是是B的的真子集（真子集（proper set)，记作，记作AB（或（或BA），读作），读作A真包含于真包含于B（或（或B真包含真包含A）。）。我们也可以这样说：如果集合我们也可以这

4、样说：如果集合A是集合是集合B的子集，并且的子集，并且集合集合B中至少有一个元素不是集合中至少有一个元素不是集合A的元素，那么的元素，那么A是是B的真子集。的真子集。集合集合A=B和和AB可以用下面的图形来可以用下面的图形来表示：表示：A BA=B BAAB根据子集的定义，易知子集具有以下性质：根据子集的定义，易知子集具有以下性质：（1）A（空集是任何集合的子集）。（空集是任何集合的子集）。（2）A A（任何一个集合是它本身的子集。（任何一个集合是它本身的子集。（3）若）若A B，B C，则，则A C（包含关系（包含关系 具有传递性）。具有传递性）。类似地，真子集具有以下性质：类似地，真子集具

5、有以下性质：（1）若）若A，则，则A（空集是任何（空集是任何 非空集合的真子集）。非空集合的真子集）。（2）若）若A B，B C，则，则A C（真（真包含关系也具有传递性）。包含关系也具有传递性）。例例1、写出集合、写出集合a,b 的所有子集。的所有子集。解：解：集合集合a,b 的所有子集为的所有子集为，a，b，a，b。一般地，若集合一般地，若集合A中有中有n个元素，则集合个元素，则集合A有有 个子集，个子集，-1个非空子集，个非空子集，-1个个真子集，真子集，-2个非空真子集。个非空真子集。n2n2n2n2写出集合写出集合a,b,c,d 的所有真子集。的所有真子集。例例2、已知、已知a，b

6、Aa，b，c，d，求，求所有满足条件的集合所有满足条件的集合A。分析：本题考察的是子集与真子集的概分析：本题考察的是子集与真子集的概念。首先要弄清楚念。首先要弄清楚A里面必须含有里面必须含有a和和b，然后考虑然后考虑A里面含有其他哪些元素，按规里面含有其他哪些元素，按规律去找。律去找。解：解：a，b A，A中必有元素中必有元素a，b。又又 Aa，b，c，d，A中的元素有中的元素有2个或个或3个。个。因此满足条件的集合因此满足条件的集合A有：有：a，b，a，b，c，a，b，d。全集与补集的概念：全集与补集的概念：设设S是一个集合，是一个集合，A是是S的一个子集（的一个子集（A S），），由由S中

7、不属于中不属于A的所有元素组成的集合，叫做的所有元素组成的集合，叫做S的子集的子集A的的补集（补集（complementary set），记作，记作 ，即，即CsCsCsA=X|XS，且XAAS如果集合如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，用这个集合就可以看作一个全集，用U表示。表示。ACs 如果如果S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5那么那么 ACsCsA=2，4，6A1，3,52，4，6SCsAA例例3、已知、已知A=xx3，B=xxa （1）若）若B A，求，求a的取值范围。的取值范围。（2）若）若A B，

8、求求a的取值范围。的取值范围。分析：本题是将不等式的知识与集合的分析：本题是将不等式的知识与集合的内容联系起来，通过不等式在数轴上的内容联系起来，通过不等式在数轴上的表示即可获解。表示即可获解。解解：（：（1）B A，如右图，如右图，a3。（2）A B，如右图，如右图，a3。例例4、已知、已知A=1，x，y，B=x，x ，xy，且且A=B，求实数，求实数x，y。2分析：此题从集合分析：此题从集合A中的已知数中的已知数1入手，因入手，因 为为A=B，则，则B中必有中必有1，根据元素的互异性，根据元素的互异性 知，知，x1，故，故x=1，或，或xy=1，从而分别求，从而分别求 出出x，y的值。的值

9、。注意所求值是否使集合元素注意所求值是否使集合元素 满足互异性是这类题容易忽略而引起错解满足互异性是这类题容易忽略而引起错解 的地方。的地方。2解：由解：由A=1，x，y可知，可知，x1，y1。A=B，或或 由由得得 或或 （舍）（舍）由由得得 （舍）。（舍）。故综上所述，故综上所述，x=-1，y=0。yxyx12yxxy2101yxRyx111yx再分析：由于本题给出的两个相等的集合再分析：由于本题给出的两个相等的集合 是有限集，故可根据相等的有限集的性是有限集，故可根据相等的有限集的性 质质：（1）两个集合的所有元素之和相等；）两个集合的所有元素之和相等；（2）两个集合的所有元素之积相等。

10、）两个集合的所有元素之积相等。列出关于列出关于x，y的方程组，求解即可。的方程组，求解即可。解法二、解法二、A=B，依题义有依题义有 即即 由集合中元素的互异性可知：由集合中元素的互异性可知：x1，x0，解方程组得解方程组得x=-1，y=0。xyxxyxxyxxyx22110)1(0)1)(1(3xxyyxx例例5、设、设A=xx 8x+15=0，B=xax 1=0，若，若B A，求实数求实数 a 组成的集合。组成的集合。2分析：易知分析：易知A=3，5，而集合，而集合B为一个一为一个一 次方程的解集，因此集合次方程的解集，因此集合B中最多有一中最多有一 个元素，有因为个元素，有因为B A，所

11、以，所以B=或或3或或 5，由此便可解出，由此便可解出 a 的值。的值。简答题简答题1.U=R=实数实数，Q=有理数有理数，求，求 QCuCuCuCuCu2.U=梯行梯行，A=等腰梯形等腰梯形，求，求 A3.U=Z，求，求N+4 .U=N，求，求N+5.U=R，求，求CuCuQ6.U=四边形四边形，A=至少有一组对边平行的四边形至少有一组对边平行的四边形，求求 A7.U=小于小于10的正整数的正整数，A=2，3，4，求，求 ACuCu8.=2，4，-a+1,A=a+1,2,A=7求求a=?2a练习题：练习题：例例1：如果：如果S=X|X是小于是小于9的正整数的正整数，A=1，2，3，B=3，4

12、，5，6那么那么CsCsA=，B=例例2：设：设U=Z，A=X|X=2k,kZ,B=X|X=2K+1,kZ,求CuCuAB练习题：练习题：1.设集合A=-1，1，B=x|-2ax+b=0,若B ，且且B A，求，求a,b的值。的值。2x2.设全集是设全集是2，3，a2 +2a 3,A=|a+1|,2A的补集为的补集为5，写出写出M=X|X=|a|的全部子集。的全部子集。例例6、已知集合、已知集合A=Z，B=试判断试判断A，B 的关系。的关系。Znnxx,212解：当解：当n取一些特殊值，如取一些特殊值，如，-2，-1，0，1，2，时，集合时，集合B 中的元素为中的元素为 ，通过观察，通过观察

13、发现集合发现集合B中的元素除了所有的整数外，中的元素除了所有的整数外，还含有其他的元素，如还含有其他的元素，如 等，因等，因 此此AB。23,1,21,0,2123,21,21分析：对于集合分析：对于集合B，先考虑，先考虑n取一些特殊取一些特殊 值的情形，再通过观察弄清楚集合值的情形，再通过观察弄清楚集合B中中 的元素的构成情况，从而得出集合的元素的构成情况，从而得出集合A，B的关系。的关系。再分析：因为整数分为奇数和偶数两类，再分析：因为整数分为奇数和偶数两类，因此我们对因此我们对n分成奇数和偶数两种情况分成奇数和偶数两种情况 进行讨论。进行讨论。解：解：nZ，n=2k或或n=2k+1，kZ。当当n=2k时，时，x=k+，当当n=2k+1时，时，x=k+1，为整数。，为整数。AB。21注：此题说成注：此题说成A B也没错，但没有也没错，但没有AB 准确。准确。集合与集合的关系集合与集合的关系包含包含相等相等子集子集真子集真子集 若若xA，则，则xB，则称则称A是是B的子集。的子集。定义定义 若若A B，且，且AB，则称则称A是是B的真子集。的真子集。定义定义若若A B，且且B A定义定义A BA包含于包含于B符号符号读法读法ABA真包含于真包含于B符号符号读法读法A=BA等于等于B符号符号读法读法小结：小结：