2014中考数学复习方案第四单元三角形课件新人教版

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1、第第17讲讲几何初步及平行线、相交线几何初步及平行线、相交线 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三种基本图形三种基本图形直线、射线、线段直线、射线、线段 直线公理直线公理经过两点有且只有经过两点有且只有_条直线条直线线段公理线段公理两点之间，两点之间，_最短最短两点间的两点间的距离距离连接两点间的线段的连接两点间的线段的_，叫做，叫做这两点间的距离这两点间的距离一一 线段线段 长度长度 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 角角角的角的概念概念定义定义1 1有公共端点的两条有公共端点的两条_组成的图形叫做角这个公组成的图形叫做角这个公共端点叫做角的共端点叫做

2、角的_，这两条射线叫做角的，这两条射线叫做角的_定义定义2 2一条射线绕着它的一条射线绕着它的_从一个位置旋转到另一个位从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角置所成的图形叫做角角的分类角的分类角按照大小可以分为平角、周角、角按照大小可以分为平角、周角、_、_、钝、钝角角角的大小比角的大小比较较(1)(1)叠合法叠合法(2)(2)度量法度量法角平角平分线分线定义定义从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线性质性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等角平分线上的点到这个角

3、两边的距离相等射线射线 顶点顶点 两边两边 端点端点 直角直角 锐角锐角 考点考点3 3 几何计数几何计数 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦1 1数直线的数直线的条数条数过任意三个不在同一直线上的过任意三个不在同一直线上的n n个个点中的两个点可以画点中的两个点可以画_条条2 2数线段的数线段的条数条数线段上共有线段上共有n n个点个点(包括两个端点包括两个端点)时，共有线段时，共有线段_条条3 3数角的数角的个数个数从一点出发的从一点出发的n n条直线可组成条直线可组成_个角个角4 4数交点的数交点的个数个数n n条直线最多有条直线最多有_个交点个交点5 5数直线分数直线分平面的份数平面的份数

4、平面内有平面内有n n条直线，最多可以把平条直线，最多可以把平面分成面分成_个部分个部分考点考点4 4 互为余角、互为补角互为余角、互为补角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦互为余互为余角角定义定义如果两个角的和等于如果两个角的和等于9090，则这两个，则这两个角互余角互余性质性质同角同角(或等角或等角)的余角的余角_互为补互为补角角定义定义如果两个角的和等于如果两个角的和等于180180，则这两个，则这两个角互补角互补性质性质同角同角(或等角或等角)的补角的补角_拓展拓展一个角的补角比这个角的余角大一个角的补角比这个角的余角大9090相等相等 相等相等 考点考点5 5 邻补角、对顶角邻补角、对

5、顶角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦邻补角邻补角定义定义若两角有一条公共边，它们的另一边若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角个角，互为邻补角对顶角对顶角定义定义若两角有一个公共顶点，且两角的两若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角系的两个角，互为对顶角性质性质对顶角相等对顶角相等考点考点6 6 “三线八角三线八角“的概念的概念 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦同位同位角角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的同侧，且在被截直的同侧，且在被截

6、直线线a a、b b的同一方向叫做同位角的同一方向叫做同位角(位置相位置相同同)1 1和和5 5，4 4和和8 8，2 2和和6 6，3 3和和7 7是同位角是同位角内错内错角角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的两旁的两旁(交错交错)，在被，在被截线截线a a、b b之间之间(内内)叫做内错角叫做内错角(位置在内位置在内且交错且交错)2 2和和8 8，3 3和和5 5是内错角是内错角同旁同旁内角内角如果两个角在截线如果两个角在截线l l的同侧，在被截直线的同侧，在被截直线a a、b b之间之间(内内)叫做同旁内角叫做同旁内角5 5和和2 2，3 3和和8 8是同旁内角是同旁内角考点考点7

7、 7 平行平行 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦平行线的平行线的定义定义在同一平面内，在同一平面内，_的两条直线叫的两条直线叫做平行线做平行线平行平行公理公理经过直线外一点，有且只有经过直线外一点，有且只有_条直线条直线与这条直线与这条直线_平行公理平行公理的推论的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相么这两条直线也互相_不相交不相交 一一平行平行 平行平行第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦平行线的平行线的判定判定同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行

8、平行线的平行线的性质性质两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补考点考点8 8 垂直垂直 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂直垂直定义定义如果两条直线相交成如果两条直线相交成_，那么这两条直，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做互相垂直的两条直线的交点叫做_特别特别说明说明(1)(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；况，特殊在它们所交的角是直角；(3)(3)

9、线段线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直都是指它们所在直线垂直垂直的性质垂直的性质在同一平面内，过一点有且只有在同一平面内，过一点有且只有_条直条直线与已知直线垂直线与已知直线垂直直角直角 垂足垂足 一一 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂线段垂线段定义定义从直线外一点引一条直线的垂线，这点从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做和垂足之间的线段叫做_性质性质直线外各点与直线上各点所连的线段中，直线外各点与直线上各点所连的线段中，_最短最短点到直线的点到直线的距离距离直线外一点到这条直线的直线外一点到这条直线的_的长

10、的长度，叫做点到直线的距离度，叫做点到直线的距离垂线段垂线段 垂线段垂线段 垂线段垂线段 第第17讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一线与角的概念和基本性质类型之一线与角的概念和基本性质 命题角度：命题角度：1.线段、射线和直线的性质及计算；线段、射线和直线的性质及计算；2.角的有关性质及计算角的有关性质及计算例例1 2012北京北京 如图如图171，直线，直线AB，CD交于点交于点O，射，射线线OM平分平分AOC，若，若BOD76，则，则BOM等于等于()A38 B104C142 D144 C 图图171第第17讲讲 归类示例归类示例 类型之二直线的位置关系类型之二直线的位置关系

11、 命题角度：命题角度：1.1.直线平行与垂直的判定及简单应用；直线平行与垂直的判定及简单应用；2.2.角度的有关计算角度的有关计算.第第17讲讲 归类示例归类示例图图172 例例2 2012义乌义乌 如图如图172，已知，已知ab，小亮把三角，小亮把三角板的直角顶点放在直线板的直角顶点放在直线b上若上若140，则，则2的度数的度数为为_ 50 第第17讲讲 归类示例归类示例解析解析 如图，如图，140，3180190180409050.ab，2350.故答案为：故答案为：50.计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平

12、行性质、垂直三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用及角平分线知识的应用第第17讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 度、分、秒的计算度、分、秒的计算 例例3 3 20112011芜湖芜湖 一个角的补角一个角的补角是是3635，这个角，这个角是是_.第第17讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1度、分、秒的换算；度、分、秒的换算；2度、分、秒的计算度、分、秒的计算14325 解析解析 这个角为这个角为180363514325 第第17讲讲 归类示例归类示例 注意角的度数之间的进率是注意角的度数之间的进率是6060而不是而不是1010，这是容易出，这是容易出错

13、的地方错的地方 类型之四类型之四 平行线的性质和判定的应用平行线的性质和判定的应用 命题角度：命题角度：1.平行线的性质；平行线的性质；2.平行线的判定；平行线的判定；3.平行线的性质和判定的综合应用平行线的性质和判定的综合应用第第17讲讲 归类示例归类示例例例4 如图如图173，ABCD，分别探讨下面四个图形中，分别探讨下面四个图形中APC与与PAB、PCD的关系，请你从所得到的关系中的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明任选一个加以证明 图图173第第17讲讲 归类示例归类示例解：解：APC PAB PCD；APC360(PAB PCD)；APCPAB PCD；APCPCDPAB.如

14、证明如证明 APC PAB PCD.证明：过证明：过P点作点作PEAB，所以，所以AAPE.又因为又因为ABCD，所以，所以PECD，所以，所以CCPE，所以所以ACAPECPE，APC PAB PCD.同理可证明其他的结论同理可证明其他的结论 平行线的性质与判定的综合运用，是解平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法先由决与平行线有关的问题的常用方法先由“形形”得到得到“数数”，即应用特征得到角相等，即应用特征得到角相等(或互补或互补)，再利用角之间的关系进行计算，再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系然后再由得到新的关系然后再由“数数”到到“形形”得得到一组新的平

15、行到一组新的平行第第17讲讲 归类示例归类示例第第18讲讲三角形三角形第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三角形的分类三角形的分类 1 1按角分：按角分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦2 2按边分：按边分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 重要线段重要线段交点位置交点位置中线中线三角形的三条中线的交点在三角形的三角形的三条中线的交点在三角形的_部部角平分线角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的三角形的三条角平分线的交点在三角形的_部部高高_三角形的三条高的交点在三角形的内三角形的三条高的交点在三角形的内部；部；_

16、三角形的三条高的交点是直角顶点；三角形的三条高的交点是直角顶点；_三角形的三条高所在直线的交点在三三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部角形的外部内内 内内 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 考点考点3 3 三角形的中位线三角形的中位线 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义连接三角形两边的连接三角形两边的_的线段叫三角的线段叫三角形的中位线形的中位线定理定理三角形的中位线三角形的中位线_于第三边，并且于第三边，并且等于它的等于它的_总结总结(1)(1)一个三角形有三条中位线一个三角形有三条中位线(2)(2)三角三角形的中位线分得三角形两部分的面积比形的中位线分得三角形两部分的面积比为为131

17、3中点中点 平行平行 一半一半 考点考点4 4 三角形的三边关系三角形的三边关系 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的两边之和三角形的两边之和_第三边第三边推理推理三角形的两边之差三角形的两边之差_第三边第三边三角形的三角形的稳定性稳定性三条线段组成三角形后，形状无三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现法改变是稳定性的体现大于大于 小于小于 考点考点5 5 三角形的内角和定理及推理三角形的内角和定理及推理 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于_推论推论1.三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它_的和的和2.三角形的一个外角大于

18、任何一个和它三角形的一个外角大于任何一个和它_的内角的内角3.直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_4.三角形的外角和为三角形的外角和为_拓展拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角180 不相邻的两个内角不相邻的两个内角 不相邻不相邻 互余互余 360 第第18讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一三角形三边的关系类型之一三角形三边的关系命题角度：命题角度：1.判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形；2.求字母的取值范围；求字母的取值

19、范围；3.三角形的稳定性三角形的稳定性例例1 2012长沙长沙现有现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是角形的个数是()A1 B2 C3 D4 B 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 四条木棒的所有组合：四条木棒的所有组合：3，4，7和和3，4，9和和3，7，9和和4，7，9；只有；只有3，7，9和和4，7，9能组成三角形故选能组成三角形故选B.类型之二三角形的重要线段的应用类型之二三角形的重要线段的应用 命题角度：命题角度：1.1.三角形的中线、角平分线、

20、高线；三角形的中线、角平分线、高线；2.2.三角形的中位线三角形的中位线第第18讲讲 归类示例归类示例图图181 例例2 2012盐城盐城如图如图181，在，在ABC中，中，D，E分别分别是边是边AB、AC的中点，的中点，B50.现将现将ABC沿沿DE折叠折叠，点，点A落在三角形所在平面内的点落在三角形所在平面内的点A1，则，则BDA1的度数的度数为为_ 80 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 由折叠的性质可知由折叠的性质可知ADA1D，根据中位线的，根据中位线的性质得性质得DEBC；然后由两直线平行，同位角相等推知；然后由两直线平行，同位角相等推知ADEB50；最后由折叠的性质知；最

21、后由折叠的性质知ADEA1DE，所以，所以BDA11802B80.类型之三类型之三 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用 例例3 3 20122012乐山乐山 如图如图182，ACD是是ABC的外角，的外角，ABC的平分线与的平分线与ACD的平分线交于点的平分线交于点A1，A1BC的平的平分线与分线与A1CD的平分线交于点的平分线交于点A2，An1BC的平分的平分线与线与An1CD的平分线交于点的平分线交于点An.设设A.则则(1)A1_；(2)An_.第第18讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.三角形内角和定理；三角形内角和定理；2.三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的

22、推论图图182第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)根据角平分线的定义可得根据角平分线的定义可得A A1 1BCBCABCABC，A A1 1CDCDACDACD，再根据三角形的一个，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDACDA AABCABC，A A1 1CDCDA A1 1BCBCA A1 1，整理即可得解；，整理即可得解；(2)(2)与与(1)(1)同理求出同理求出A A2 2，可以发现后一个角等，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解得解 第第18讲讲

23、归类示例归类示例第第18讲讲 归类示例归类示例 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系得到结论可以灵活的解决内外角的关系得到结论第第19讲讲全等三角形全等三角形 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 全等图形及全等三角形全等图形及全等三角形 全等图形全等图形能够完全重合的两个图形就是能够完全重合的两个图形就是_全等图形的形状和全等图形的形状和_完全相同完全相同全等三全等三角形角形能够完全重合的两个三角

24、形就是全等三能够完全重合的两个三角形就是全等三角形角形说明说明完全重合有两层含义：完全重合有两层含义：(1)(1)图形的形状相同；图形的形状相同；(2)(2)图形的大小相图形的大小相等等全等图形全等图形 大小大小第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 全等三角形的性质全等三角形的性质 性质性质1 1全等三角形的对应边全等三角形的对应边_性质性质2 2全等三角形的对应角全等三角形的对应角_性质性质3 3全等三角形的对应边上的高全等三角形的对应边上的高_性质性质4 4全等三角形的对应边上的中线全等三角形的对应边上的中线_性质性质5 5 全等三角形的对应角平分线全等三角形的对应角平分线_相等相

25、等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考点考点3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦基本基本判判定方定方法法1.三条边对应相等的两个三角形全等三条边对应相等的两个三角形全等(简记为简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等等(简记为简记为_ )3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等角形全等(简记为简记为_ )4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等等(简记为简记为_ )5.斜边和一条直角边对应相等的

26、两个直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等(简记为简记为_ )ASA AAS SAS HL 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展延拓展延伸伸满足下列条件的三角形是全等三角形：满足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两

27、角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角或钝角)三角形三角形全等；全等；(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角或钝角)三角形全三角形全等等总结总结判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等且其中最少要有一组对应边相等考点考点4 4 利用利用“尺规尺规”作三角形的类型作三角形的类型 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦1已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的三边，求作三角形

28、2已知三角形的两边及其夹角，求作三角已知三角形的两边及其夹角，求作三角形形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角已知三角形的两角及其夹边，求作三角形形4已知三角形的两角及其其中一角的对边，已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形作三角形考点考点5 5 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦性质性质角平分线上的点到角两边的角平分线上的点到角两边的_相相等等判定判定角的内部到角两边的距离相等的点在角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的这个角的_上上距离距离 平分线平分线

29、第第19讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一全等三角形性质与判定的综合应用类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角度：1.利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2.利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题例例1 2012重庆重庆 已知：如图已知：如图191，ABAE，12，B E，求证：，求证：BCED.图图191第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例 1 1解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三角形的性

30、质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题即由已知条件题即由已知条件(包含全等三角形包含全等三角形)判定新三角形全等、判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；相应的线段或角的关系；2 2轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；3 3利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等例如对顶角相等、互余、互补等 类型之二全等三角形开放性问题类型之二全等三角形开放

31、性问题 命题角度：命题角度：1.1.三角形全等的条件开放性问题；三角形全等的条件开放性问题；2.2.三角形全等的结论开放性问题三角形全等的结论开放性问题第第19讲讲 归类示例归类示例图图192 例例2 2012义乌义乌 如图如图192，在，在ABC中，点中，点D是是BC的的中点，作射线中点，作射线AD，在线段，在线段AD及其延长线上分别取点及其延长线上分别取点E、F，连接，连接CE、BF.添加一个条件，使得添加一个条件，使得BDF CDE，并，并加以证明你添加的条件是加以证明你添加的条件是_(不添加辅助线不添加辅助线)DEDF 第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例由于判

32、定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有有些是推出些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题这种题型可充分考查学生对全等，再去解决其他问题这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度等三角形的掌握的牢固与灵活程度 类型之三类型之三 利用全等三角形设计测量方案利用全等三角形设计测量方案 例例3 3 20122012柳州柳州 如图如图193，小强利用全等三角形的知，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端识测量池塘两端M、N的距离，如果的距离，如果PQO NMO，则，则只需

33、测出其长度的线段是只需测出其长度的线段是()APO BPQ CMO DMQ第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：全等三角形的判定全等三角形的判定 图图193B 第第19讲讲 归类示例归类示例 解析解析 要想利用要想利用PQOPQONMONMO求得求得MNMN的长的长，只需求得线段，只需求得线段PQPQ的长，故选的长，故选B.B.类型之四角平分线类型之四角平分线 例例4 4 (1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图如图194所示所示)设计了如下方案：设计了如下方案：()AOB是一个任意角，将角尺的是一个任意角，将角尺的直角顶点直角顶点P

34、介于射线介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角尺顶点，过角尺顶点P的射线的射线OP就是就是AOB的平分线的平分线()AOB是一个任意角，在边是一个任意角，在边OA、OB上分上分别取别取OMON，将角尺的直角顶点，将角尺的直角顶点P介于射线介于射线OA、OB之间，移之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过角，过角尺顶点尺顶点P的射线的射线OP就是就是AOB的平分线的平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：(1)角平分线的性质；角平分线

35、的性质；(2)角平分线的判定角平分线的判定第第19讲讲 归类示例归类示例(1)方案方案()、方案、方案()是否可行？若可行，请证是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；明；若不可行，请说明理由；(2)在方案在方案()PMPN的情况下，继续移动角尺的情况下，继续移动角尺，同时使，同时使PMOA，PNOB.此方案是否可行？请此方案是否可行？请说明理由说明理由图图194第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例(2)当当AOB是直角时，方案是直角时，方案()可行可行四边形内角和为四边形内角和为360，又若，又若PMOA，PNOB，则，则OMPONP90，MPN90，AOB9

36、0.若若PMOA，PNOB，且且PMPN，OP为为AOB的平分线的平分线当当AOB不为直角时，此方案不可行不为直角时，此方案不可行因四边形内角和为因四边形内角和为360，若，若AOB不为直角，不为直角，则则PM、PN不可能垂直不可能垂直OA、OB.第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定义定义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底边叫腰，第三边为底性质性质轴对轴对称性称性等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有_条条对称轴对称轴定

37、理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称为：简称为：_)定理定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的的_和底边上的高互相重合，和底边上的高互相重合，简称简称“三线合一三线合一”两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半角

38、的一半(5)(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高离之差等于一腰上的高第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等所对的边也相等(简写成：简写成：_)拓展拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的

39、三角形是一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形性质性质等边三角形的各角都等边三角形的各角都_，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于_等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有_

40、条对条对称轴称轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形相等相等 60 3 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线性质性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离距离_判定判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的_上上

41、实质实质构成构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点_的所有点的集合的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一等腰三角形的性质的运用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1.等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3.等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质.例例1 如图如图201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中线

42、，边上的中线，ABC的平分线的平分线BG，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.求证：求证：EFED.图图201第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据等腰三角形三线合一，确定根据等腰三角形三线合一，确定ADBC，又因为，又因为EFAB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论等证出结论证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ADBC.BG平分平分ABC，EFAB，EFED.第第20讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转

43、换行角度转换 (2)(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换行互相转换 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20讲讲 归类示例归类示例图图202 例例2 2011扬州扬州 已知：如图已知：如图202，锐角，锐角ABC的两条的两条高高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求证：求证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分线上，并说明理由的平分线上，并说明理由 第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析(1)利用利用BDC

44、CEB 证明证明DCBEBC；(2)连接连接AO，通过，通过HL证证明明ADO AEO，从而得到，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论离相等，证明结论解：解：(1)证明：证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，是两条高，BDCCEB90.又又BCCB，BDC CEB(AAS)DBCECB,ABAC.ABC是等腰三角形是等腰三角形第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上连接连接AO.BDC CEB，DCEB.OBOC，ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADO AEO(HL)DAOEA

45、O.点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上第第20讲讲 归类示例归类示例要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有而得到两边相等的方法主要有(1)(1)通过等角对等边得两边通过等角对等边得两边相等；相等；(2)(2)通过三角形全等得两边相等；通过三角形全等得两边相等；(3)(3)利用垂直平利用垂直平分线的性质得两边相等分线的性质得两边相等 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 20122012广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且且AD0.5 BC，则，则

46、ABC底角的度数为底角的度数为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2.遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第第20讲讲 归类示例归类示例第第20讲讲 归类示例归类示例 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题

47、中条件给出不明确时，要分类讨论进行解情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况题，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 2011绍兴绍兴 数学课上，李老师出示了如下框中数学课上，李老师出示了如下框中的题目的题目在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在在AB上，点上，点D在在CB的延长的延长线上，且线上，且EDEC，如图，如图203.试确定线段试确定线段AE与与DB的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合

48、图图203第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论特殊情况，探索结论当点当点E为为AB的中点时，如图的中点时，如图204，确定线段，确定线段AE与与DB的大小关系，请你直接写出结论：的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下理由如下：如图：如图204，过点，过点E作作EFBC，交，交AC于点于点F.(请你完成以下解答过程请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题拓展结论，设计新题在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在直线在直线AB上，点上，点D在直线在直线BC

49、上，且上，且EDEC.若若ABC的边长为的边长为1，AE2，求，求CD的长的长(请你直接写出结果请你直接写出结果)(3)1或或3.第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC.EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，AEAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF.又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDB

50、EDBECBECB，BEDBEDFCEFCE.又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD.第第20讲讲 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120120.ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE.FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是正三角形，是正三角形，EFCEFC180180ACBACB120120ABD

51、ABD.EFCEFCDBEDBE，DBDBEFEF，而由而由AEFAEF是正三角形可得是正三角形可得EFEFAEAE.AEAEDBDB.第第20讲讲 归类示例归类示例 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于6060的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等构造全等 第第21讲讲直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 直角三角形的概念、性质与判定直角三角形的概念、性质与判定 定义定义有一个角是有一个角是_的三角形叫做直角三角形的三

52、角形叫做直角三角形性质性质(1)直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于那么它所对的直角边等于_(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于在直角三角形中，斜边上的中线等于_斜边的一半斜边的一半 直角直角 斜边的一半斜边的一半 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理勾股勾股定理定理直角三角形两直角边直角三角形两直角边a a、b b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c c的平方即：的平方即：_勾股勾股定理定理的逆的逆定理定理逆

53、定逆定理理如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a、b b、c c有关系：有关系：_ _，那么这个三角形是直角三角，那么这个三角形是直角三角形形用途用途(1)(1)判断某三角形是否为直角三角形；判断某三角形是否为直角三角形；(2)(2)证明两条线段垂直；证明两条线段垂直；(3)(3)解决生活实际问解决生活实际问题题勾股数勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数为勾股数a2b2c2 a2b2c2 考点考点3 3 互逆命题互逆命题 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦互逆互逆命题命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们如果两个命题的题设和结论

54、正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做把其中一个叫做_，那么另一个叫做它，那么另一个叫做它的的_互逆互逆定理定理若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的这个定理的_，称这两个定理为互逆，称这两个定理为互逆定理定理原命题原命题 逆命题逆命题 逆定理逆定理 考点考点4 4 命题、定义、定理、公理命题、定义、定理、公理 第第21讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是

55、给他们下定的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义义命命题题定义定义判断一件事情的句子叫做命题判断一件事情的句子叫做命题分类分类正确的命题称为正确的命题称为_错误的命题称为错误的命题称为_组成组成每个命题都由每个命题都由_和和_两个部分组成两个部分组成公理公理公认的真命题称为公认的真命题称为_定理定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为实，推理的过程称为_经过证明的真命题称为经过证明的真命题称为_真命题真命题 假命题假命题 条件条件 结论结论 公理公理 证明证明 定理定理 第第21讲讲 归类示例归类示例归类

56、示例归类示例 类型之一利用勾股定理求线段的长度类型之一利用勾股定理求线段的长度命题角度：命题角度：1.利用勾股定理求线段的长度；利用勾股定理求线段的长度；2.利用勾股定理解决折叠问题利用勾股定理解决折叠问题例例1 2011黄石黄石 将一个有将一个有45度角的三角板的直角顶点放度角的三角板的直角顶点放在一张宽为在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图度角，如图211，则三角板的最大边的长为，则三角板的最大边的长为()图图211D 第第21

57、讲讲 归类示例归类示例第第21讲讲 归类示例归类示例 勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)(1)已知直角三角形的两边求第已知直角三角形的两边求第三边；三边；(2)(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)(3)用于证明平方关系的问题用于证明平方关系的问题 类型之二实际问题中勾股定理的应用类型之二实际问题中勾股定理的应用命题角度：命题角度：1.1.求最短路线问题；求最短路线问题；2.2.求有关长度问题求有关长度问题第第21讲讲 归类示例归类示例 例例2 如图如图212，一个长方体形的木柜放在墙角处，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙与墙面和地面均没有缝

58、隙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表处沿着木柜表面爬到柜角面爬到柜角C1处处(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当当AB4，BC4，CC15时，求蚂蚁爬过的最短路径时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；的长；(3)求点求点B1到最短路径的距离到最短路径的距离 第第21讲讲 归类示例归类示例图图212第第21讲讲 归类示例归类示例第第21讲讲 归类示例归类示例 利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最点所在的面展开

59、成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度短长度 类型之三类型之三 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 例例3 3 20122012广西广西 已知三组数据：已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有长，构成直角三角形的有()A BC D第第21讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：勾股定理逆定理勾股定理逆定理D 第第21讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数

60、三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断的平方和是否等于最大数的平方即可判断22321342，以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；合题意；324252，以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；意；12(3)222，以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意意故构成直角三角形的有故构成直角三角形的有.故选故选D.第第21讲讲 归类示例归类示例 判断是否能构成直角三角形的三

61、边，判断的方法是：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断判断第第21讲讲 回归教材回归教材巧用勾股定理探求面积关系巧用勾股定理探求面积关系 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版八下人教版八下P71T11如图如图21213 3，C C9090，图中有阴影的三个半圆的，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？面积有什么关系？图图21213 3第第21讲讲 回归教材回归教材 点析点析 若将半圆换成正三角形、正方形或任意的若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，相似形，S S1 1S S2

62、2S S3 3都成立都成立第第21讲讲 回归教材回归教材中考变式12011贵阳贵阳 如图如图214，已知等腰，已知等腰RtABC的直的直角边长为角边长为1，以，以RtABC的斜边的斜边AC为直角边，画第二为直角边，画第二个等腰个等腰RtACD，再以，再以RtACD的斜边的斜边AD为直角边为直角边，画第三个等腰，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五，依此类推直到第五个等腰个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为成的图形的面积为_图图214第第21讲讲 回归教材回归教材第第21讲讲 回归教材回归教材2 220102010乐山乐山 勾股定理揭示

63、了直角三角形三勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值图价值图21215 5是一棵由正方形和含是一棵由正方形和含3030角的直角三角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S S1 1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S S2 2，第，第n n个正方形和第个正方形和第n n个直角三角形的面积之和个直角三角形的面积之和为为S Sn n

64、.设第一个正方形的边长为设第一个正方形的边长为1.1.请解答下列问题：请解答下列问题：(1)(1)S S1 1_；(2)(2)通过探究，用含通过探究，用含n n的代数式表示的代数式表示S Sn n，则，则S Sn n_._.图图21215 5第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 相似图形的有关概念相似图形的有关概念 相似图形相似图形形状相同的图形称为相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形相似多边形定义定义如果两个多边形满足对应角相等，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多对应边的比相等，那么这两

65、个多边形相似边形相似相似比相似比相似多边形对应边的比称为相似相似多边形对应边的比称为相似比比k k相似三相似三角形角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似当相似比则这两个三角形相似当相似比k k1 1时，时，两个三角形全等两个三角形全等第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 比例线段比例线段 定义定义防错提醒防错提醒比例比例线段线段对于四条线段对于四条线段a a、b b、c c、d d，如果其中，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即长度的比相等，即_，那，那么，这四条线段叫做成比

66、例线段，简么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段称比例线段求两条线段的比求两条线段的比时，对这两条线时，对这两条线段要用同一长度段要用同一长度单位单位黄金黄金分割分割在线段在线段ABAB上，点上，点C C把线段把线段ABAB分成两条分成两条线段线段ACAC和和BCBC(ACACBCBC)，如果，如果_，那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄金分割，点黄金分割，点C C叫叫做线段做线段ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，ACAC与与ABAB的比的比叫做黄金比，黄金比为叫做黄金比，黄金比为_一条线段的黄金一条线段的黄金分割点有分割点有_个个a bc d 0.618 两两 考点考点3 3 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比段的比_推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)，所得的对应线段的，所得的对应线段的比比_相等相等 相等相等 考点考点4 4 相似三角形的判定相似三角形的判定 第第22讲讲 考点