线性代数1-2章精选练习题5012

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1、第一章 行列式 一、单项选择题 1下列排列是5 阶偶排列的是().(A)24315 (B)14325 (C)41523 (D)24351 2如果n阶排列njjj21的逆序数是k,则排列12jjjn的逆序数是().(A)k (B)kn (C)kn2!(D)knn2)1(3.n阶行列式的展开式中含1122a a的项共有()项.(A)0 (B)2n (C)!2(n (D)!1(n 40001001001001000().(A)0 (B)1 (C)1 (D)2 5.0001100000100100().(A)0 (B)1 (C)1 (D)2 6在函数1000323211112)(xxxxxf中3x项的

2、系数是().(A)0 (B)1 (C)1 (D)2 7.若21 333231232221131211aaaaaaaaaD，则323133312221232112111311122222 2aaaaaaaaaaaaD().(A)4 (B)4 (C)2 (D)2 8若aaaaa22211211，则21112212kaakaa().(A)ka (B)ka (C)ak2 (D)ak2 9 已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是3,1,0,4,第 3 行元的余子式依次为x,1,5,2,则x().(A)0 (B)3 (C)3 (D)2 10.若5734111113263478D，则D中第一行元的代数余子式

3、的和为().(A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11.若2235001011110403D，则D中第四行元的余子式的和为().(A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组000321321321xxkxxkxxkxxx有非零解.()(A)1 (B)2 (C)3 (D)0 二、填空题 1.n2阶排列)12(13)2(24nn的逆序数是.2在六阶行列式中项261365415432aaaaaa所带的符号是.3四阶行列式中包含4322aa且带正号的项是.4若一个n阶行列式中至少有12nn个元素等于0,则这个行列式的值等于.5.行列式010011101010

4、0111.6行列式000100002000010nn.7行列式0001)1(2211)1(111nnnnaaaaaa.8如果MaaaaaaaaaD333231232221131211，则323233312222232112121311133333 3aaaaaaaaaaaaD.9已知某 5 阶行列式的值为 5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10行列式1111111111111111xxxx.11n阶行列式111111111.12 已知三阶行列式中第二列元素依次为 1,2,3,其对应的余子式依次为 3,2,1，则该行列式的值为.13 设行列式56

5、78123487654321D，jA4)4,3,2,1(j为 D 中第四行元的代数余子式，则44434241234AAAA.14已知dbcaccabbabcacbaD，D 中第四列元的代数余子式的和为.15设行列式62211765144334321D，jA4为)4,3,2,1(4jaj的代数余子式，则4241AA，4443AA.16已知行列式nnD0010301002112531，D 中第一行元的代数余子式的和为.17齐次线性方程组0020232121321xxxkxxxxkx仅有零解的充要条件是.18若齐次线性方程组0230520232132321kxxxxxxxx有非零解，则k=.三、计算

6、题 1.cbadbadcadcbdcbadcbadcba33332222;2yxyxxyxyyxyx；3解方程0011011101110 xxxx；4111111321321221221221nnnnaaaaxaaaaxaaaaxaaaax；5.naaaa111111111111210(njaj,1,0,1)；6.bnbb)1(111121111131111 7.nabbbaabbaaab321222111111111；8xaaaaxaaaaxaaaaxnnn321212121;9.2212221212121111nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx;10.2100012000002100

7、012100012 11aaaaaaaaaD110001100011000110001.四、证明题 1设1abcd，证明：011111111111122222222ddddccccbbbbaaaa.23332221112333332222211111)1(cbacbacbaxcbxaxbacbxaxbacbxaxba.3)()()()()()(111144442222dcbacdbdbcadacabdcbadcbadcba.4njiijniinnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa1121222212222121)(111.5设cba,两两不等，证明0111333cbacba的充要条

8、件是0cba.参考答案 一单项选择题 A D A C C D A B C D B B 二填空题 1.n;2.”“;3.43312214aaaa;4.0;5.0;6.!)1(1nn;7.1)1(212)1()1(nnnnnaaa;8.M3;9.160;10.4x;11.1)(nn;12.2;13.0;14.0;15.9,12;16.)11(!1nkkn;17.3,2k;18.7k 三计算题 1)()()()()()(cdbdbcadacabdcba；2.)(233yx；3.1,0,2x;4.11)(nkkax 5.)111()1(00nkknkkaa;6.)2()1)(2(bnbb;7.nkkk

9、nab1)()1(;8.nkknkkaxax11)()(;9.nkkx11;10.1n;11.)1)(1(42aaa.四.证明题(略)第二章 矩阵 一、单项选择题 1.A、B 为 n 阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)22AA(b)(22BABABA(c)ABAABA2)(d)TTTBAAB)(2.设方阵 A、B、C 满足 AB=AC,当 A 满足()时，B=C。(a)AB=BA (b)0A (c)方程组 AX=0 有非零解 (d)B、C 可逆 3.若A为 n 阶方阵，k为非零常数，则kA()。(a)Ak (b)Ak (c)Akn (d)Akn 4.设A为 n 阶方阵，且0A，则()。(

10、a)A中两行(列)对应元素成比例 (b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为 n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()。(a)111)(BABA (b)BAABT)(c)BABAT11)(d)111)(BABA 6.设A为 n 阶方阵,*A为A的伴随矩阵,则()。(a)(a)1*AA (b)AA*(c)1*nAA (d)1*nAA 7.设A为 3 阶 方 阵,行 列 式1A,*A为A的 伴 随 矩 阵,则 行 列 式*12)2(AA()。(a)827 (b)278 (c)827 (d)278 8.设A，B为 n 阶方矩

11、阵,22BA,则下列各式成立的是()。(a)BA (b)BA (c)BA (d)22BA 9.设A，B均为 n 阶方矩阵,则必有()。(a)BABA (b)BAAB (c)BAAB (d)22BA 10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）TAA22 (b)112)2(AA (c)111)()(TTTAA (d)TTTTAA)()(11 11.如果333231232221331332123111333231232221131211333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA，则A（）。（a）103010001 (b)100010301 (c)101010300 (d)13

12、0010001 12.已知113022131A，则（）。（a）AAT (b)*1AA （c）113202311010100001A （d）113202311010100001A 13.设ICBA,为同阶方阵，I为单位矩阵，若IABC，则（）。（a）IACB （b）ICAB （c）ICBA （d）IBAC 14.设A为n阶方阵，且0|A，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I（b）由BAAX，可得BX （c）当)|(IA经有限次初等变换变为)|(BI时，有BA1（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为nm阶矩阵，秩nmrA)(，则（）。（a）A中r阶子式不全为零 （b）A中阶数小

13、于r的子式全为零（c）A经行初等变换可化为000rI （d）A为满秩矩阵 16.设A为nm矩阵，C为n阶可逆矩阵，ACB，则()。(a)秩(A)秩(B)(b)秩(A)=秩(B)(c)秩(A)秩(B)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定 17.A，B为 n 阶非零矩阵，且0AB，则秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零 (b)都为 n (c)都小于 n (d)一个小于 n，一个等于 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是()。(a)nrAr)(b)A的列秩为 n(c)A的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个

14、行向量都不成比例(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何 n 维非零向量X，均有0AX 二、填空题 1.设A为 n 阶方阵,I为 n 阶单位阵,且IA 2,则行列式A_ 2.行列式000cbcaba_ 3.设 2100020101A，则行列式)9()3(21IAIA的值为_ 4.设21232321A，且已知IA 6，则行列式11A_ 5.设A为 5 阶方阵，*A是其伴随矩阵，且3A，则*A_ 6.设 4 阶方阵A的秩为 2，则其伴随矩阵*A的秩为_ 7.非零矩阵nnnnnnbababababababababa212221212111的秩为_ 8.设A为 100 阶矩阵，且对

15、任何 100 维非零列向量X，均有0AX，则A的秩为_ 9.若)(ijaA 为 15 阶矩阵，则AAT的第 4 行第 8 列的元素是_ 10.若方阵A与I4相似，则A_ KKKKKK3111221lim nn410013102121lim 三、计算题 1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).1)223221103212102X；2)0101320100211100110X ；3)1()TTX IB CBI,其中310404422B；101212121C；4)2AXAXI,其中101020101A；5)2AXAX,其中423110123A；2.设A为n阶对称阵,且20A,求A.3.已知1100211

16、01A,求21(2)(4)AIAI.4.设11201A,23423A,30000A,41201A,求1234AAAA.5.设112224336A,求一秩为 2 的方阵B,使0AB.6.设211011101,121110110AB,求非奇异矩阵C,使TAC BC.7.求非奇异矩阵P,使1P AP为对角阵.1)2112A 2)112131201A 8.已知三阶方阵A的三个特征根为 1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)TTT,求矩阵A.9.设532644445A,求100A.四、证明题 1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.2.设0kA(k为整数),

17、求证IA可逆.3.设12.,ka aa为 实 数,且 如 果0ka,如 果 方 阵A满 足1110kkkkAa AaAa I,求证A是非奇异阵.4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于 1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案 一：1.a；2.b；.二1.1 或-1；2.0；3.

18、-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.i8151ii4aa；10.I；12.0；11.0020.三、）、016213010；2）、02132121；3）、461351341；4）、201030102；5）、9122692683.2.0；3.010131130；4.1000210012100121；5.001111113不唯一；6.100001010；7.1）、1111.2)、221112311；8.111001023；9.13231213213232244322133221223100100100100100100100100100100100100100）（）（）（）（）（）（）（.