第三章扭转第五节等直圆杆在扭转时的变形刚度计算

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1、1第五节第五节 等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算第一节第一节 概述概述第二节第二节 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转第四节第四节 等直圆杆在扭转时的应力、强度条件等直圆杆在扭转时的应力、强度条件第六节第六节 圆轴扭转时的应变能圆轴扭转时的应变能第七节第七节 扭转静不定问题扭转静不定问题2g g：剪应变：剪应变g gj j：相对扭转角相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行外力偶作用平面和杆件横截面平行第一节第一节 扭转的概念扭转的概念受力特点：受力特点：承受的外力或其合力均是绕轴线转动承受的外

2、力或其合力均是绕轴线转动的外力偶。的外力偶。变形特点：变形特点：相邻截面绕轴相对转动。相邻截面绕轴相对转动。发生扭转变形的杆件称为轴发生扭转变形的杆件称为轴 ABMeMeMeMeg gBj j3 工程中发生扭转变形的构件工程中发生扭转变形的构件传动轴传动轴4R0-薄壁圆筒薄壁圆筒规定：矢量方向与横截面外法线方向规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正一致的扭矩为正,右手螺旋法则右手螺旋法则。MeMe0R第二节第二节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转MeT11切应力切应力对应对应1.扭矩扭矩(Torque)：杆件扭转时的内力：杆件扭转时的内力。圆轴扭转时，横截面上只有切应力，没有正应力。圆轴扭

3、转时，横截面上只有切应力，没有正应力。5扭转实验前扭转实验前纵线纵线圆周线圆周线扭转实验后扭转实验后薄壁圆筒的扭转实验薄壁圆筒的扭转实验ABCDt 1.圆周线的形状、大小和间圆周线的形状、大小和间距均不变。圆周线绕杆轴距均不变。圆周线绕杆轴线相对转过一个角度。线相对转过一个角度。2.所有纵向线都转过相同的所有纵向线都转过相同的角度。角度。ABCDtg6平面假设成立平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动相邻截面绕轴线作相对转动根据剪应变所在面与半径垂直，根据剪应变所在面与半径垂直，可知：横截面上各点的剪应力可知：横截面上各点的剪应力的方向必与圆周线相切。的方向必与圆周线相切。结论结论圆周线的形状、

4、圆周线的形状、大小均不变。大小均不变。相邻截面间距相邻截面间距圆周方向和半径方圆周方向和半径方向均无线应变。向均无线应变。横截面上任一点沿轴线横截面上任一点沿轴线方向无线应变方向无线应变圆轴横截面圆轴横截面上只有切应上只有切应力，没有正力，没有正应力。应力。7gtG2.剪切胡克定律剪切胡克定律Hookeslaw in shear（线弹性范围适用）（线弹性范围适用）OT TO另外有另外有：）（12EGG为材料的剪切弹性模量为材料的剪切弹性模量8xyzdxdydztt Reciprocal theorem of shear stresses9xyzdxdydzttttyzxdddtxzydddt

5、Reciprocal theorem of shear stresses10 xyzdxdydztt Reciprocal theorem of shear stressestt单元体上两个互垂面上剪单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方向相应力的大小相等、方向相反，共同指向交线或背离反，共同指向交线或背离交线。交线。注意注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。114.纯剪切状态纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）力而无正应力的

6、状态。（其前后两面上无任何应力）注：等直圆杆或薄壁圆筒在发生扭转时，单元体均处注：等直圆杆或薄壁圆筒在发生扭转时，单元体均处于纯剪切应力状态。于纯剪切应力状态。12 Me第三节第三节 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图转速转速：n(转转/分分 )输入功率输入功率：P(kW)T1分钟输入功：分钟输入功：PPW600001000601分钟分钟Me作功作功eeenMnMMW2)12(WW )mN(9550nPMe13 例例1 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动，从动轮轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW

7、，PD=20kW，轴的转，轴的转速速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩mN6379550mN5.4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA14 二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1.横截面上的内力：横截面上的内力：扭矩扭矩(T)2.扭矩确定方法：截面法扭矩确定方法：截面法(计算方法同轴力计算方法同轴力)3.扭矩图扭矩图：与轴力图作法完全相同：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小纵坐标改为扭矩大小)。例例2 2 计算所示轴的扭矩，并作扭矩图。计算所示轴的扭矩，并作扭矩图

8、。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知mN637mN5.477mN1592DCBAMMMMm955Nm637Nm+-作扭矩图如左图示作扭矩图如左图示。TmN637mN955mN5.477ACBADCBCABBCMMMTMMTMT各段杆的扭矩各段杆的扭矩15 第四节第四节 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件一一.横截面上的应力横截面上的应力16abdxabTT一一.横截面上的应力横截面上的应力1.变形几何关系变形几何关系第四节第四节 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件xddjgg gMeMedxO2jdg g g g g g：切应变切应

9、变g g：横截面半径上任一点处的切应变。横截面半径上任一点处的切应变。：表示相对扭转角沿杆长长度的变化率。：表示相对扭转角沿杆长长度的变化率。jddxxddj在同一半径在同一半径 的圆周上各点处的切应变均相同，且与的圆周上各点处的切应变均相同，且与 半径成正比。半径成正比。173.力学关系力学关系p2ddddIxGdAxGdATAAjjt极惯性矩极惯性矩AdAI2pOrttdAdA2.物理关系物理关系(剪切虎克定律剪切虎克定律)xGGddjgtgtGPGITxddj圆轴发生扭转时，横圆轴发生扭转时，横截面上的切应力沿半截面上的切应力沿半径呈线性分布。径呈线性分布。得：得：PITt则：则：-横截

10、面上相应点处的切应力横截面上相应点处的切应力 。横截面上切应力变化规律：横截面上切应力变化规律：(1)(1)在同一半径的圆周上各点处的切应力均在同一半径的圆周上各点处的切应力均相同，其值与半径成正比。相同，其值与半径成正比。(2)(2)方向与半径垂直。方向与半径垂直。tttGIP为抗扭刚度为抗扭刚度Torsion rigidity 18：点到截面形心的距离：横截面上的扭矩tTITpppmaxWTITrtrIWpp轴扭转时横截面上的切应力公式轴扭转时横截面上的切应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：抗扭截面系数抗扭截面系数总结：总结：(1)(1)

11、切应力沿半径呈线性分切应力沿半径呈线性分布，方向垂直于半径，指向布，方向垂直于半径，指向与扭矩方向相同。与扭矩方向相同。(2)(2)最大切应力发生横截面最大切应力发生横截面周边各点上，圆心处切应力周边各点上，圆心处切应力等于零。等于零。公式适用范围公式适用范围:(1)圆截面或圆环截面的圆轴圆截面或圆环截面的圆轴 (2)材料服从胡克定律。材料服从胡克定律。19maxtd/2OT324pdI163pdW)1(32324444pDdDI)1(1643pDWmaxtD/2OTd/2空心圆空心圆实心圆实心圆极惯性矩和抗扭截面系数的计算极惯性矩和抗扭截面系数的计算极惯性矩极惯性矩 单位单位m4AdAI2p

12、maxppIW抗扭截面系数抗扭截面系数 单位单位m320doIApA2d 2022dd/2302dd/d432maxppIW Idp2d316实心轴实心轴21IApA2dDddD,，内内径径为为对对于于空空心心圆圆，外外径径为为()Dd4432maxppIW D34161()D44132()空心轴空心轴22 二、圆轴扭转时斜截面上的应力二、圆轴扭转时斜截面上的应力单元体单元体：微小的正六面体：微小的正六面体ot tt tdydzdxxyzt tt tt tt tabxn t tt tt t0sinsindcoscosdd0cossindsincosddtttttAAAtAAAnttt2cos2

13、sin23ttt2cos2sintt0045min45max，低碳钢扭转破坏：沿横截面破坏低碳钢扭转破坏：沿横截面破坏铸铁扭转破坏：沿铸铁扭转破坏：沿45螺旋面破坏螺旋面破坏讨论：讨论：1.最大、最小正应力发生在最大、最小正应力发生在4545斜截面上。斜截面上。00maxtt2.最大切应力发生在横截面上最大切应力发生在横截面上塑性材料抗剪切能力比抗拉伸能力弱；脆性材料抗拉伸能力比抗剪切能力弱。塑性材料抗剪切能力比抗拉伸能力弱；脆性材料抗拉伸能力比抗剪切能力弱。24 三、强度条件三、强度条件根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：强度校核强度校核;选择截面选择截面;计算许可荷载。计算许可荷载。强

14、度条件强度条件：，t t许用切应力许用切应力；pmaxmattWTxxmat-最大工作切应力最大工作切应力25 例例3 某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t，传递扭矩，传递扭矩T=1.98kNm，t t=100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。33pp4444pmm103.202/mm101.77)1(32DIWDIMPa5.97PttWTmaxmax解解：计算截面参数：计算截面参数：由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴

15、空心轴较实心轴合理较实心轴合理。MPadWTmaxmax5.9716/1098.133pt31334.044)2(222dtDDAA实空MPa5.97max t t若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则由上式解出：。由上式解出：。空心轴与实心轴的截面空心轴与实心轴的截面面积比面积比(重量比重量比)为：为：26计算目的计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。：刚度计算、为解超静定问题作准备。P0pddGITlxGITlljj1.相对扭转角相对扭转角：GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。刚度条件刚度条件180maxmaxGIT

16、其中：其中：许用扭转角，取值可许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定根据有关设计标淮或规范确定。第五节第五节 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件mrad/2.单位长度扭转角单位长度扭转角：单位单位pddGITxj 公式适用条件：当公式适用条件：当ttttp（剪切比例极限）公式才成立；（剪切比例极限）公式才成立；仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）；仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）；扭矩、面积沿扭矩、面积沿杆轴不变（杆轴不变（T、Ip为常量）。为常量）。m/27例例5 5 图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA，MB与与MC 作用，试计算该

17、轴作用，试计算该轴的总扭转角的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的刚度。，并校核轴的刚度。已已知知MA180Nm，MB320 N m，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0m。解：解：1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段段BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm，T2-140 Nm设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：rad1050.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017.1)m1010Pa)(3.010(80)m

18、2)(mN140(2412592GIlTBCCmBmAmll28 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050.1-2-22BCABAC 2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。度。AB段的扭转角变化率为：段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。/m43.0180)m1010Pa)(3.010(80mN180180

19、0412591GIT29 例例3 某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t，传递扭矩，传递扭矩T=1.98kNm，容许切应力容许切应力t t=100MPa，容许单位扭转角，容许单位扭转角2/m,材料的剪切弹性模材料的剪切弹性模量量G=80GPa,试试:(1)校核轴的强度和刚度；校核轴的强度和刚度；(2)若将该圆轴改为实心圆轴，在分别保持强度和刚度不变的条件下，若将该圆轴改为实心圆轴，在分别保持强度和刚度不变的条件下，求实心圆轴的直径。求实心圆轴的直径。34pp4444pmm1003.22/mm101.77)1(32DIWDIMPa5.97PttWTmaxmax解解

20、:(1)计算截面参数：计算截面参数：由强度条件：由强度条件：由刚度条件：由刚度条件：/m84.118010771Pa1080mN19801800991GIT该轴强度和刚度均满足要求该轴强度和刚度均满足要求。30(2)改为实心圆轴，求其直径。改为实心圆轴，求其直径。外力不变的情况下，保持强度不变，即保持实心轴和空心轴外力不变的情况下，保持强度不变，即保持实心轴和空心轴的抗扭截面系数相等。的抗扭截面系数相等。已求得：已求得：34mm1003.2pW163pdWmm9.461003.21616333p1Wd而实心圆轴的抗扭截面系数为：而实心圆轴的抗扭截面系数为：则：则：外力不变和材料相同的情况下，保

21、持刚度不变，即保持实心轴外力不变和材料相同的情况下，保持刚度不变，即保持实心轴和空心轴的极惯性矩相等。和空心轴的极惯性矩相等。已求得：已求得：45mm1071.7pI324pdI而实心圆轴的极惯性矩为：而实心圆轴的极惯性矩为：则：则：mm541071.73232454p2Id31第六节第六节 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能(strain energy)12tg2122Gttg在线弹性范围内，剪切变形能密度为在线弹性范围内，剪切变形能密度为：剪切变形能为剪切变形能为:pGIlTV22第七节第七节 非圆截面杆扭转非圆截面杆扭转 周边线上，切应力方向与周边相切周边线上，切应力方向与周边

22、相切 四个角点处切应力等于零四个角点处切应力等于零 在周边线的中点处，切应力极大在周边线的中点处，切应力极大 在长边中点处切应力最大在长边中点处切应力最大 32第八节第八节 扭转静不定问题扭转静不定问题33mmmAB0ABACCBjjjmaG Im bG IApBp0Am bmlBm aml34例：有一个空心圆管例：有一个空心圆管A A套在实心圆杆套在实心圆杆B B的一端，两杆在同一横截的一端，两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的夹角为面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的夹角为 。现在在杆现在在杆B B上施加外力偶，使其扭转到两孔对准的位置，并在孔上施加外力偶，使

23、其扭转到两孔对准的位置，并在孔中装上销钉。试求在外力偶除去以后两杆所受的扭矩。中装上销钉。试求在外力偶除去以后两杆所受的扭矩。BAlBlA分析：分析：属于装配应力问题。内属于装配应力问题。内杆和外管通过销钉相互作用，它杆和外管通过销钉相互作用，它们各自承受的扭矩们各自承受的扭矩TA、TB相等，方相等，方向相反。向相反。变形分析：去掉力偶后，内杆变形分析：去掉力偶后，内杆带动外管转过带动外管转过 ，则内杆的转，则内杆的转角为角为 外管扭角：外管扭角：35解：平衡条件解：平衡条件PBBBPAAAGITlGITljjPBBPAAIlIlGT变形几何条件变形几何条件TTTBAjjBA物理条件物理条件将

24、物理条件代入几何条件将物理条件代入几何条件36Am bmlBm aml37选择题练习选择题练习38PIT t t 1.C39max1tmax2t21GG 2121TT maxmaxtt2121TT maxmaxtt2121TT maxmaxttB40g gt tGmax2max1t tt t g gt t1max1G g gt t2max2G 21GG 16311max1dT t t 16322max2dT t t 21dd 21TT B41已知：一实心圆轴和一空心圆轴材料和长度相同，已知：一实心圆轴和一空心圆轴材料和长度相同，横截面上受外力偶相同，如果两端相对扭转角相等横截面上受外力偶相同，

25、如果两端相对扭转角相等,则关于则关于实心圆轴和空心圆轴上最大切应力，正确说法实心圆轴和空心圆轴上最大切应力，正确说法为（为（）。）。A最大切应力相等最大切应力相等B实心圆轴的最大切应力更大实心圆轴的最大切应力更大C空心圆轴的最大切应力更大空心圆轴的最大切应力更大D无法判断哪个最大切应力更大无法判断哪个最大切应力更大42PGITl j jPIPIdT21max1 t tPIdT22max2 t t21dd max2max1t tt t 43ttt tt t)1(3 t t)1(4 44pTItPIDT2max t tt tPIdT22 t tDd t tt t 245m1m221mm 122mm 127mm 1215mm 46PGIT j jGdmdGm414113232 j j 14214212)(232)2(j j j jGdmmdGmm12132)(2mmm 1215mm 4748设实心轴的直径为设实心轴的直径为 d d1 1 ，由，由TdTD1334161610 5(.)Dd11022.得得：AADd空实2212410 540 783(.).