结构力学09第九章渐近法

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1、第九章渐近法-1 力矩分配法基本概念-2 多结点力矩分配-3 无剪力分配法-1 力矩分配法基本概念 力矩分配法源自位移法，不必求解方程组，只需按表格进行计算，计算方便、快捷。力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配）精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移的刚架。一、转动刚度a)SAB=4i，远端为固端下面讨论等截面直杆的转动刚度。转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。施力端为近端，另一端为远端。SAB1AiAB 当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动刚度SAB只取决于远端支

2、承条件及杆件的线刚度。b)SAB=3i，远端为滚轴支座或铰支座。d)SAB=0，远端为滚轴支座，沿杆轴布置。c)SAB=i，远端为滑动支座。1ASABiAB1ASABiAB1ASABiAB二、分配系数杆端弯矩表达式：杆端弯矩表达式：4 40 =02=26=6ABAABAABACACAACADAADAADAEAAEAACMiSSiMSSMiSSiMiSSi 用位移法求解右图示结构，未知量为A。ii2i2iBCADEM0平衡方程为：平衡方程为：E0ABACADAMMMMM0AME0()ABACADAASSSSM00EAABACADAMMSSSSSE12ABACADASSSSSiAMAEMADMAB

3、MACM0回代求杆端弯矩：回代求杆端弯矩：AB0AB000ABS411=1233ABABABASiMSMMMMSiSAD0AD000ADS211=1266ADADADASiMSMMMMSiSAE0AE000AES611=1222AEAEAEASiMSMMMMSiSAC0 0ACACSMS对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：1111362 由上式可以看出，结点力偶M0按系数 的比例分配给各杆端。系数 称为分配系数，某杆的分配系数 等于该杆的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和 的比值，即S/iiSS。三、传递系数12BAABABMCM0BAABABMCM 当近端有转角时（无线位移），远

4、端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。1BAABABMCM 在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即 。BAABABMCMAiAB4ABAMi2BAAMiAiAB3ABAMiABAMiBAAMi AiAB0BAM四、单结点力矩分配 用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动约束，锁住B使之不能转动。其产生的反力矩MB等于各杆端固端力矩的代数和，见图 b)。BMB=60kN.m150kN.m-90kN.m200kN3m3m6m20kN/mABCEIEI60.BMkNm150.kNm150.kNm90.kNm200kN20kN/mABCb)a)其次放松结点B，即在结

5、点B加 MB，这是结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图 c）。ABC60.BMkNmBc)2）求固端弯矩求固端弯矩60.BMkN m 6EIi 4BASi3BCSi30.4297BC40.5717BA1200 6150.8FABMkNm 1200 6 150.8FBAMkNm 2120 690.8FBCMkNm(150 90)60.BMkNm 1）求分配系数结点B约束力矩为：解：结点B分配力矩为：3）运算格式运算格式分配系数固端弯矩分配传递杆端弯矩4）作弯矩图ACBA0.5710.429BC-150150-90-34.26-25.74-167.13115.74-115.74

6、0-17.130ABC167.13115.74158.5632.13M图（kN.m）例题9-1-1 作图示刚架 M 图。4EIi 3BASi236BCSii60.46213BC30.23113BA4BDSi40.30713BD1）求分配系数2m2m4m4m12kN6kN/m10.kN m I I(i)(i)2I(2i)ABCD解：312 49.16FBAMkN m16 168.12FBDMkNm 16 168.12FDBMkN m MBB9-810.kN m10(98)9.BMkN m 9.BMkN m2)求固端弯矩结点约束力矩为：分配力矩为：3)运算格式BA0.2310.462BC0.307

7、BDDAC89-801.382.084.162.76011.084.169.38-5.2404)作弯矩图5)讨论若结点力矩为逆时针方向，则：10(9 8)11.BMkN m11.BMkN m MBB9-810.kN mABCD11.085.249.384.164.696.46M图（kN.m）例9-1-2 讨论悬臂端的处理。200kN20kN/mABCEIEI30kND3m3m6m2ma)60.KN m30kND2mC200kN20kN/mABCEIEI3m3m6mb)解：切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向的力矩60，该力矩在BC杆产生固端弯矩，见图 b）。150903090.BMkN m9

8、0.BMkN m 2BCCMi4CBCMiBA0.5710.429BC-51.39-38.61ACD-150150-9060-60-175.7098.61-98.6160-6030-25.700CiBCCM 图（kN.m）175.7098.6160ABC162.8510.70D9-2 多结点力矩分配 1）锁住结点锁住结点B B、C C，各杆产生固端弯矩。，各杆产生固端弯矩。一、多结点力矩分配结点约束力矩：30.FCCBMMkN m30.FBBCMMkN m ABCEIEID60kNEI4m2m2m4mABCD60kN30BM 30CM-3030EIEIEI 2）放松结点放松结点B B，即在结点

9、，即在结点B B施加力矩施加力矩-MB，结点结点C C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。分配。结点C约束力矩变为：37.5.CMkN mBCD30BM30 7.5 37.5CM 157.5157.5A 3）重新锁住结点重新锁住结点B B，同时放松结点，同时放松结点C C，即在，即在C C施加力矩施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩，这又相当于做一个单结点力矩分配。分配。结点B新的约束力矩为CM9.375.BMkN m-9.375ABCD9.375BM 37.5CM-18.75-9.375-18.75 4）重新锁住结点重新锁住结点C C，同时放松结点，同时放

10、松结点B B，即在，即在B B施施加力矩加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分，这又相当于做一个单结点力矩分配。配。结点C约束力矩变为BM2.344.CMkN m 如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就可以达到满意的精度。ABCD9.375BM2.344CM4.6882.3444.6882.3442BASi4BESi40.410BE20.210BA4BCSi40.410BC44BCEIii44BEEIii422BAEIii2233CDEIii结点B例9-2-1 作图示刚架M 图

11、。1)求分配系数结点C4CBSi2323CDSii 20.3336CD40.6676CB解：2m4m4m18kN/m 4I4 I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2 I(2i/3)C3m 2)求固端弯矩求固端弯矩216 24.6FABMkN m 216 28.3FBAMkN m 2118 424.12FBCMkN m24.FCBMkN m2m4m4m18kN/m 4I4 I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2 I(2i/3)C3m3)运算格式EADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD-242484-8-16-84.89.69.6-1.6-3.2-1.60.

12、320.640.64-0.107-0.2134.8-4.84.80.32-0.320.3213.1210.24-23.36-1.129.71-9.715.124)作弯矩图小结：1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这样收敛较快。2）若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。BEDAC1.1213.1223.3610.245.129.7119.47M图（kN.m）例例9-2-2 结构力学教程（结构力学教程（）第第456页例页例9-4的说明（的说明（2000年年7月第月第1版）。版）。ABCDEIEI5ii50kN1m5m1m 1 0 5/6 1/6-50 50 25-4.2 -20.

13、8-20.8 20.850-50ADBC3 515BASii 3BCSi16BC56BA说明：1）在计算B结点各杆的分配系数时，C结点不锁住，即C结点处看作铰支座。2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩的求解问题。3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方法。D50kN1m50.kN mCABCEIEI5ii1m5m二、几个问题的讨论1.对称结构的计算 对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移，可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨论，取半边结构以简化计算。ABq2q1q1ABq2此杆转动刚度S=02.多结点时的分配 下图示结构，锁住结点C，放松结点B、D，即结点B、D同时分配并向结点C传递。然

14、后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C进行分配并向B、D传递，依此类推。3/74/7 0.50.5 4/73/7BCDAE-17.14-12.8634.29 45.7122.86-8.57-32.15 -32.15-50 8050-80-16.07-16.07 下图示刚架，打的结点为一组，其余为另一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快计算速度。9-3 无剪力分配法 力矩分配法只适用于无侧移刚架或连续梁。因为若刚架的内部结点有侧移，则力矩分配法中的分配关系和传递关系均不能成立。有一类刚架，其内部结点虽然有线位移，但可以不取作位移法的基本未知量，对这类刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关系和

15、传递关系，于是可以按照力矩分配法的格式进行计算，此即为无剪力分配法。一、概述二、基本概念1适用无剪力分配法的条件 1）刚架除两端无相对侧移的杆件外；2）其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于外荷载）。若结构中只存在下列两类杆件，则适用于无剪力分配法。下面用位移法解上题，基本未知量取B，BH不必作为未知量。2无剪力分配法的概念锁住结点B放松结点B原结构产生固端弯矩约束力矩反号分配qABCEI，lEI，lEIilqABCMB（约束力矩）iABC-MBiBABBiiBBi216BABMiql213ABBMiql 3BCBMi0BABCMM21406Biql杆端弯矩表达式位移法方程弯矩图218ql238

16、qlM图ABC2124Bqli（）由上面的讨论可得出如下结论：1）剪力静定杆AB在B端的转动刚度为SBA=iBA,传递系数为CBA=-1。2）剪力静定杆AB的固端弯矩按下端固定、上端滑动的单跨梁查表求得。qABBASi3BCSi0.75BC0.25BA216FBAMql 213FABMql 下面用无剪力分配法解上题。1）求转动刚度及分配系数2）求固端弯矩EIilqABCEI，lEI，l3）运算格式ACBA0.250.75BC-ql2/6ql2/24 ql2/8-ql2/3-ql2/24-ql2/8 ql2/8-3ql2/8弯矩图见前页。如右图示，放松结点B，AB杆剪力等于零。小结：1）在放松结

17、点B，即约束力矩MB反号分配的始终，剪力静定杆之剪力始终等于零，所以称为无剪力分配法。2）若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。iABCiB3）对于剪力静定杆：转动刚度S=i；传递系数C=-1；按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端弯矩。三、双层半刚架横梁AB、CD两端无相对侧移，柱AC、CE为剪力静定杆。4m4m4mABCDE4kN2kN3kN/miiii锁住结点A、C产生固端弯矩。ABCDE4kN2kN3kN/m求固端弯矩CA4kN3kN/mEC18kN放松结点锁住结点CiiCCiCiiCCiABCDEC放松结点锁住结点CABCDEBAiiAAi 由上述讨论可

18、以得到和单层半刚架中的剪力静定杆相同的结论：1）剪力静定杆的固端弯矩仍按下端固定，上端滑动的单跨梁求解。上层柱所受的水平荷载会在下层柱中产生固端弯矩，下层柱应首先求出柱上端的剪力，此剪力要作为集中荷载加在滑动端求固端弯矩。2）剪力静定杆的转动刚度及传递系数仍旧为：转动刚度 S=i，传递系数 C=-1。3ABSiACSi10.254AC30.754AB结点A结点CCASi3CDSi30.65CD10.25CACESi10.25CE例9-3-1 用无剪力分配法作半刚架的M图。1）求分配系数解：4EIi 4m4m4mABCDEiiii4kN2kN3kN/m2113 44 416.62FACMkNm

19、2113 44 424.32FCAMkN m 118 436.2FCEMkN m 36.FECMkN m AC柱CE柱2)求固端弯矩CA4kN3kN/mEC18kN4m4m3)运算格式运算格式BDE1.050.35AC0.250.75AB0.20.20.6CA CECD-0.35-16-12-24-361.41.44.2-1.4-1.4-360.070.070.21-0.07217 12 12 36-7-12-22.05 22.05-17.88-22.53 40.41-49.47EC4)作弯矩图ABDE22.0517.8822.5349.4740.418.09M图（kN.m）C4BCSiBAS

20、i10.25BA40.85BC结点B结点C4CBSi3CDSi30.4297CD40.5717CB例9-3-2 用无剪力分配法图示刚架的M图。1）求分配系数解：4m4mABCD18kN/mii4mi10kN/m4EIi 2118 448.6FBAMkN m 2118 496.3FABMkN m 2110 420.8FCDMkN m 2)求固端弯矩4m4mABCD18kN/mii4mi10kN/m3)运算格式运算格式BA 0.2 0.8BCCB0.5710.429CD9.638.40.4570.343AD0.229-0.046-0.1830.0520.03919.2-9.6-0.091-0.046-48-20-9619.62-19.62-38.4538.45-105.65AB4)作弯矩图作弯矩图ACD38.4519.62105.652.4010.19M图（kN.m）B例例9-3-3 剪力静定杆固端弯矩的求解。剪力静定杆固端弯矩的求解。1)4m4mABCDE4kN10kN2kN/mCA4kN2kN/mEC22kN2)4m4mABCDE2kN4kN/mCA2kNEC2kN4kN/m3)CA2kN/mEC8kN2kN/m4m4mABCDE2kN/m4)CA15kNEC15kN4m4mABCDE15kN