球的体积和表面积公式具体推导过程
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1、球的体积和表面积公式具体推导过程1.3.2球的体积和表面积 设球的半径为R,将半径OAn等分,过这些分点作平面把半球切割成n 层,每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i层“小圆片”的下底面半径: Rn,底面Rri=R2-(i-1)2n, 第i层“小圆片”的体积为: R2VrinpR3i-11-nn2 ,半球的体积:V半径V1V2Vn pR31211n2 611(1-)(2-)pR1(n-1)n(2n-1)(n-1)(2n-
2、1)33nn n2pR(1-)pR1-2n66n6n3 当所分的层数不断增加,也就是说,当n不断变大时,式越来越接近于半球的 体积,如果n无限变大,就能由式推出半径的体积。 事实上,n增大,V半径11就越来越小,当n无限大时,趋向于0,这时,有 nn2343pR,所以,半径为R的球的体积为: VpR 331.3.2球的体积和表面积 球的表面积推导方法 分割。把球O的表面分成n个“小球面片”,设它们的表面积分别是S1,S2, Sn,那么球的表面积为:SS1S2Sn 把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成n个以“小球 面片”为底,球心为顶点的“小锥体”。例如,球心与第i个“小球
3、面片”顶点相连后 就得到一个以点O为顶点,以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小,那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的,这时,每一个“小锥体”就近 似于棱锥,它们的高近似于球的半径R。 求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1,V2,Vn 那么球的体积为:VV1V2Vn 由于“小锥体”近似于棱锥,所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点,以点O与第i个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为hi,底面面积为Si,于是,它的体积为: 1hi Si, 31这样就有:Vihi Si, 31V 3Vi 转化为球的表面积。分割得越细密,也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥,如果分割无限加细,每一个“小球面片”都无限变小,那么hi 就趋向于R,Si就趋向于 Si,于是,由可得:V1RS 3 S4R2 又V4341pR,所以,有pR3RS 即: 333
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