地震地面运动具有强烈的随机性和不确定性

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1、地震地面运动具有强烈的随机性和不确定性，地震作用下地面建筑物的动力响应同样具有强烈的随机性。国外地震工程学者在40 年代末就开始将随机振动理论引入到建筑结构抗震研究中来，国内有关研究工作始于 60 年代初期并在进入 80 年代后逐渐活跃。但是 应该看到，随机抗震理论的实际应用状况在国内外还不尽人意，运用随机抗震理论进行工程结构地震响应研究和分析的工作在国内外 都开展得远远不够，与这种理论的先进性很不相称。本文针对二维重力坝结构，详细论述结构随机地震动力分析方法，并对该方法实 际运用过程中的一些问题提出作者的见解及具体处理方法，最后还给出一重力坝工程随机地震动力分析的实例。1 地震动随机输入模型

2、Housner在1947年引入白噪声地震动模型。日本学者金井清在1957年提出了被称之为过滤白噪声模型的地震动随机输入模型， 其形式较为简捷，物理概念明确，与大量地震动实测资料符合得较好。Penzien和S.C.Liu曾经采用金井清模型产生50条人工地震波, 以50条人工地震波样本得到的速度反应谱与Housner的设计反应谱曲线十分接近。这一研究结果对金井清模型是有力的支持，不过金 井清模型也存在一些缺陷，主要包括对地震动低频成分有所夸大，地震动位移、速度以及加速度导数过程的均方值因相应谱函数存在 奇异点或广义积分不收敛而无法求得。针对这些缺陷近二、三十年来国内外学者在金井清谱的基础上提出了不

3、胜枚举的修正模型。公 正地说这些模型中不乏优者，但或许是对其合理性和可靠性的论证力度不够，至今尚未有哪个模型的影响程度真正能与金井清模型相 匹敌。下面的论述中我们不难看出金井清谱的上述缺陷对其实际运用并不形成大的障碍。1.1 Kanai Tajimi 地震动模型 金井清地震动模型被认为是日本学者 Kanai 和 Tajimi 共同提出的，所以有时也称为 Kanai Tajimi 地 震动模型。现有的强震地面运动加速度记录的傅里叶分析表明，即使是在频率的一个有限区段内傅里叶振幅谱也不是常数，这些振幅 谱有点波动的性质，可能在一个或几个频率点上出现波峰，而波峰随频率的增大而衰减。所有这些使我们可以

4、假定只要适当选择过滤 转换特性，一个平稳过滤白噪声随机过程模型更能代表实际地面运动。 Kanai 和 Tajimi 建议的滤波函数为|H(3 )丨2=(3 4+4g 23 23 2 )/(3 23 2)2+4Z 2 2 2(1)g g g g g g式中3和g为地面特征频率和特征阻尼比。gg根据这个滤波函数，地面加速度过程a (t)的功率谱密度函数为g(2)s(3 ) = |h(3 )bs0式中 s 为功率谱强度。01.2谱强度与地震最大加速度关系目前使用最多的地震动统计参数是最大地震加速度a .我国国家地震局1980年修订的地震烈度表 给出了对应各地震烈度的地面地震动最大加速度值。然而在随机

5、地震动力分析中需要用到的地震动参数是地面地震动功率谱强度 s0. 为更好地利用现已积累的地震动统计资料，建立地面地震动功率强度与地震最大加速度之间的关系十分重要。0将地面地震加速度过程视为随机过程，每一实测地震加速度记录即为随机过程的一次实现。那么通常用到的地震最大加速度建议 值可在统计意义上更严格地定义为地震动最大加速度期望值Ea 。m(3)根据 Davenport 公式2，有Ea =r am p a式中r称为地面地震动加速度峰值因子；a为地面地震动加速度过程a (t)均方根值。pag式(3)建立了地震加速度均方值与最大地震加速度期望值之间的关系，通过该式可由地震最大加速度统计参数计算地震动

6、功率谱强 度S.0地震加速度均方值式中S(3 )为地面地震动加速度过程的功率谱密度函数，采a用金井清谱，将式(2)和式(1)代入上式，有峰值因子a 2=(S 3 n )/4g (1+4g 2) a 0 gggr =C+0.5572C p其中T 为强震持时，违为加速度导数过程的均方根值。式(3)和式(4)即建立了谱强度与地震最大加速度之间的转换关系。如果采用式(5)计算峰值因子，一定要 计算地震加速度导数过程的均方根值。金井清地震动模型的吒是没有收敛解的。有一些金井清谱的修正模 型正是以此为出发点提出对原模型的修正。但实际上，式(3)是在统计意义上成立的一个关系式，通过大量实测地震记录的统计分析

7、确定r的取值，似为一更合理的途径。在 这个意义上来说，金井清谱的缺陷并不影响该模型的实际运用。已有的研究工作表明r的值是比较P稳定的，受各参数的影响不敏感。 对岩石坝基 r 约为 3.0.p1.3 竖向地震动功率谱及互相关谱 对象重力坝一类的工程结构进行二维分析时，除了水平方向地震动还须考虑竖直向地震动作用。此 外，二个方向地震动之间的相关性也应加以考虑。这里介绍一种简便的处理方法。竖向地震加速度过程同样可采用金井清模型。3和g取值与水平地震加速度相同，唯一待定的参数是竖向地震加速度功率谱强 度S。大量实测地震记录的统计分析结果表明，竖向最大加速度约为水平最大加速度值的1/22/3，偏于安全通

8、常取其比值为2/3。gv于是有EaV = (2/3)EaH,由式(3)、式(4)可得SV=(4/9)SH,即竖向地震加速度功率谱强度可取为水平向谱强度的4/9.g mg mgg水平地震动与竖向地震动之间的相关关系可以通过大量实测地震记录的统计相关分析得到。在缺乏统计研究结果的情况下，偏于 安全可暂设3 个方向地震动过程完全线性相关，即 aV(t)=(23)aH(t). 那么，二方向地震动过程互相关函数 RH=EaH(t)aV(t+ggg vggT )=2/3R (t ), R (T )为水平地震加速度的自相关函数。gHgH因此，互功率谱函数，式中SgH(3 )为水平地震加速度的功率谱密度函数。

9、按以上计算，显然有R (t )=R (T )和S (3 )=S(3 ).HV VH gHV gVH因此近似地处理，二方向地震加速度过程的互功率谱密度函数也取为金井清谱形式，其谱强度为水平向谱强度的 2/3.2 二维结构随机地震动力响应分析二维结构动力微分方程为(6)血倣十同十闪圈=-皿问叫M、C、K 分别为结构质量、阻尼和刚度矩阵；u、纠、u分别为位移、速度和加速度向量；a为g基础地震动加速度；G称为转换矩阵。解藕后的运动方程为左j十阴气迅十谒兀=Xj、Xj、分别为广义坐标的位移、速度和加速度；3、0、P为对应于j阶振型的频率、阻尼比及广义jj j激励。广义激励式中，u 为第j阶振型向量。jP

10、 = u TMGa jjg作傅里叶变换电（妨二 Fj （f） 63tp（ 矗 j阶振型广义坐标的功率谱密度函数S （3）=|H（3）|2S （3） XjjPj式中H（3 ）为j阶振型的频率响应函数。|H（3 ）2=1/（3 2-3 2）2+40 23 23 2.jjjj j2.1 广义激励及广义坐标的功率谱密度函数 从式（9）可见，结构随机地震动力分析首先需要计算广义激励的功率谱密度函数。(10)广义激励的功率谱密度函数S (3 ) = u tMGS(3 )GMu 式中WPjK j g K云欣讥汀为基础地震动输入加速度功率谱矩阵，矩阵具有对称性。设f（3）=mgs（3）GtM，则广义激励功率谱

11、密度函数的计算公式化为十分简捷的形式gS （3 ） = u jTF（3 ） U （11）PjKKF（3 ）表示结构的地震动激励，可称为地震动激励功率谱矩阵。通过矩阵运算可以得到结构地震动激励功率谱矩阵的具体形式如下炖1理刨旳叱务砌-叫叫匹【越 眄旳屯洵曲丑的-叫叫云创 叫叫Q呂砌叫叱丑砂 叫吗（创可以看到结构地震动激励功率谱矩阵的元素排列具有很强的规律性，且为对称矩阵。广义坐标功率谱密度函数为S (3 )=H(-3)H(3 )S (3 )(13)Xjk j k Pjk广义坐标功率谱密度函数的计算公式具有十分简单的形式，这是结构随机振动理论的特点。2.2 结构随机地震动力响应 结构位移分量u =

12、u X (j=1,2,n)(14)jj式中u 为振型矩阵的第j行u = U ，U，U ；X为广义坐标列阵。jjj1 j2jn结构位移响应u (t)的功率谱密度函数jS (3)=u S(3)u T(15)ujj Xj式中S (3 )为广义坐标功率谱密度矩阵，其元素由式(13)计算。X结构位移响应均方值(16)如果忽略振型之间的相关性，即假设各振型是统计独立的，在这种情况下，结构位移响应的功率谱密度函数计算公式可简化为(17)抵3 -工应（珂结构位移响应均方值由此，结构位移响应均方根值式中b 2是第k阶振型对应的振型位移响应（第j个位移分量）的均方值。ujk根据上式，结构位移响应的均方根值为各振型

13、位移响应均方根值的平方和开平方，结构速度、加速度及动应力响应的均方根值也 存在类似的振型组合关系。结构动力响应最大值的期望值与响应均方值之间存在近似的比例关系，因此结构响应最大值可由各振型响 应最大值的平方和再开平方获得。这就是国内外广为使用的振型组合“平方和开平方法”，其理论基础来源于此。根据结构速度响应、加速度响应与结构位移响应功率谱密度函数之间的转换关系，容易推求结构速度响应及加速度响应功率谱密 度函数和响应均方值的计算公式。3 地震动力响应最大值应用随机振动理论，将地震动输入过程模拟成均值为零的平稳随机过程，进行结构地震动力响应分析，结构响应也是均值为零的 平稳过程。因均值为零，结构随

14、机响应过程的均方值是其最重要的统计特征量。在平稳高斯过程的假设下，均方值给出了随机响应过 程的完整描述。根据结构响应过程及其导数过程的均方值可以计算结构最大响应的期望值及其方差。对应于结构随机响应过程，结构地震最大响应为随机变量。其期望值和方差是描述结构最大响应概率分布特征的主要统计参数。结构地震最大响应的期望值和方差对 结构抗震可靠度分析及结构工程设计具有重要参考价值。随机过程最大值的计算方法通学采用 Davevport1963 年提出的一个近似算法结构地震响应过程y(t)超过限值b的事件，当b足够大时，可认为是稀有事件，它的概率分布符合Poission分布。那么有(19)p(n,T)=(N

15、 T)n/n!exp(-N T)bb式中p(n,T)代表随机过程y(t)在T时段内n次超过限值b的概率；T为强震持时；N表示随机过程单位时间内超过限值b的平均次数。 b根据 Rice 公式(20)式中。和分别为随机过程y(t)和随机导数过程(t)的均方根值。y由式(19)，最大地震响应小于 b 的概率为 F(b)=p(0,T)=exp(-N T)(21)上式即为最大响应的概率分布函数。对其进行积分运算可得到最大响应概率密度函数p(b).再由概率统计理论期望值计算公式吶&，可以得到最大地震响应期望值计算公式为式中系数Eb=o (C+0.5772/C)y根据方差计算公式O 2=Eb2-(Eb)2,

16、可得到最大地震响应均方差的计算公式y(23)采用公式(22)和(23)可方便地计算结构最大地震响应的均值及方差，计算公式形式十分简捷。4 算例选取某实际工程FM混凝土重力坝进行随机地震动力分析。重力坝坝高77.5m，坝体混凝土质量密度2.35t/m3，动弹模30.0GPa, 泊松比0.20；坝基动弹模ll.OGPa,泊松比0.27为消除坝基的放大作用，按无质量坝基进行分析。库水的影响采用附加质量矩阵计 算，库水附加质量按Wetergaard公式换算。工程设计地震烈度7度，根据我国新的地震烈度表，7度地震对应的地面最大地震动加速 度为125cm/s2。坝基地震动加速度模拟为均值为0的高斯平稳随机

17、过程，坝基地震加速度输入采用金井清过滤白噪声模型，取3 =5n g rad/s，g =0.60.按本文介绍的方法计算，水平向地震动加速度谱强度S =34.6cm2/s3,竖直向地震动加速度谱强度S =15.38cm2/s3,ggHgV二方向地震动加速度互谱强度 S =23.07cm2/s3.gHVFM重力坝坝体特征部位地震动力响应均方根值及最大值的计算成果列于表1-表3,图1图3绘出重力坝地震动力响应最大值的 分布。表1 FM重力坝坝体地震动位移响应计算成果表均方根响应最大响应特征部位坝顶坝踵坝趾下游折坡特征部位坝顶坝踵坝趾下游折坡水平位移/mm3.0900.2610.2642.172水平位移

18、均值/mm9.9420.8470.8546.975速度/(mm/s)63.0755.8725.71143.502均方差/mm1.3100.1090.1110.922竖向位移/mm0.8400.3730.2630.302竖向位移均值/mm2.7161.2170.8541.016速度/(mm/s)18.1108.7155.9979.908均方差/mm0.3540.1560.1100.122表2 FM重力坝坝体地震加速度响应计算成果表均方根响应最大响应特征部位坝顶坝踵坝趾下游折坡特征部位坝顶坝踵坝趾下游折坡水平加速度/(m/s2)1.5500.4610.4501.010水平均值 /(m/s2)2.2

19、581.5351.4783.292导数 /(m/s3)56.0013.6011.4023.20均方差/(m/s2)0.6200.1880.1860.423竖向加速度/(m/s2)0.6620.5090.4620.616竖向均值 /(m/s2)2.2431.6971.5222.106导数 /(m/s3)23.8015.2012.2024.60均方差/(m/s2)0.2640.2070.1960.244表3 FM重力坝坝体地震动应力响应计算成果表均方根响应最大响应特征部位坝踵坝趾下游折坡处坝体上部上 游面应力集中处特征部位坝踵坝趾下游折坡处坝体上部上游 面应力集中处仅宀工十召。/MPa导数 竖向正

20、应力 y宀 值0.1590.1750.1220.204竖向正应力均值/MPa1.6760.5640.4110.665(MPa/s)11.03.644.074.77均方差/MPa0.2190.0740.0490.085主应力d /MPa导数1 值0.5490.3120.1900.205主应力均值/MPa1.7731.0031.0320.668(MPa/s)/均方差/MPa0.2080.0780.0470.085由随机地震动力分析得到的 FM 重力坝地震动位移分布规律，与常规动力分析方法所得规律是一致的。最大动位移出现在坝顶上游侧，坝顶均方根水平动位移3.090mm，坝顶水平最大动位移均值9.94

21、2mm，均方差1.310mm，变异系数0.132.根据 FM 重力坝坝体地震加速度随机响应分析结果，自坝基至坝顶，坝体加速度逐渐增大。在重力坝随机地震动力分析成果中，重 力坝的地震放到大效应也得到较好的体现。坝顶水平均方根加速度1.550m/s2,坝顶水平最大加速度均值5.258m/s2,均方差0.620m/s2, 变异系数 0.118. 根据坝体动应力分布图可以看到，坝体竖向地震动应力在坝踵附近存在明显的应力集中，下游坝面折坡处有一定程度 应力集中，坝体上部上游面的应力集中并不太严重。当然这与具体工程重力坝体型设计有关，坝体体型设计合理可使坝体上部的动应 力集中现象得到一定程度的减轻。竖向动

22、应力在坝踵附近出现最大值，坝踵竖向应力均方根值为0.519MPa，其最大值期望值为 1.676MPa，均方差 0.219MPa，变异系数 0.131.图1最大水平动位移均值(mm)分布5 结语本文论述了二维重力坝结构的随机地震动力分析方法，提出了一个考虑水平和竖向二个方向地震动的二维随机地震动输入实用模 型。模型使用方便，并能适当体现二方向地震动的相关关系。针对二维结构情形，本文从实际应用角度详细推导了结构随机地震动力 分析计算公式，给出了二维地震激励功率谱矩阵的具体形式，为实际运用提供了方便。某实际工程重力坝随机地震动力响应分析成果 表明，采用随机振动理论进行结构动力分析，其成果能够较好地体现结构地震响应特征，并能进一步地反映工程结构地震响应的统计 规律。参考文献：1 (日)金井清著。工程地震学M。常宝琦、张虎男译，北京：地震出版社，1987.2 Davenport A G. Note on the Distribution of the Largest Value of a Random Function With Application to Gust Loading J。 Proc. Inst. Civil Engr 1963,28.3 何蕴龙。混凝土重力坝随机地震响应及其动力可靠性研究D。武汉：武汉水利电力大学，1996.