多元微积分基础课件

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1、多元微积分基础PPT课件1多元微积分基础PPT课件2硕士研究生入学统考数学试卷分为四种：硕士研究生入学统考数学试卷分为四种：工学：工学：数学一、数学二数学一、数学二经济学和管理学：经济学和管理学：数学三、数学四数学三、数学四l数学一：数学一：高等数学，线性代数，概率论与数理统计高等数学，线性代数，概率论与数理统计l数学二：数学二：高等数学，线性代数高等数学，线性代数l数学三：数学三：微积分，线性代数，概率论与数理统计微积分，线性代数，概率论与数理统计l数学四：数学四：微积分，线性代数，概率论微积分，线性代数，概率论数学一内容比例：数学一内容比例：高等数学高等数学 约约56%线性代数线性代数 约

2、约22%概率论与数理统计概率论与数理统计 约约22%多元微积分基础PPT课件3第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用第四节第四节 多元复合函数的求导法多元复合函数的求导法第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法多元微积分基础PPT课件4|0,00PPPPU 称为称为点点 0P的的 去心邻域去心邻域.若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径,用用0PU表示点表

3、示点0P 的的邻域。邻域。0P1.邻域邻域:,0 00,PPPPU即即.,20200 yyxxyxPU 称为称为点点0P的的 邻域邻域。设设 000y,xP为为面上一定点面上一定点,xOy0P多元微积分基础PPT课件52 2区域区域EP开集开集：若点集若点集E的点都是内点的点都是内点,则称点集则称点集E为为开集开集.EP边界边界：E边界点的全体称为边界点的全体称为的的边界边界.是平面上一点，是平面上一点，P若存在若存在 ,E,PU 设设是平面上一个点集是平面上一个点集,E称点称点P为点集为点集E的的内点内点。内点内点：显然内点显然内点 .EP 例如例如41,221yxyxE是开集。是开集。1E

4、的边界是圆周：的边界是圆周：122 yx和和.yx422 边界点边界点：E称称P为为的的边界点边界点.若点若点P的任一邻域内既有属于的任一邻域内既有属于的点的点,E也有不属于也有不属于的点的点,E多元微积分基础PPT课件641,222yxyxE连通连通：设设D是开集，是开集，若对若对D内任意两点，内任意两点，都可用包含于都可用包含于D 内的内的折线连结起来折线连结起来,则称则称D是是连通的连通的。区域区域或或开区域开区域：连通的开集连通的开集称为称为区域区域或或开区域开区域.41,221yxyxE为区域或开区域为区域或开区域开区域连同它的边界一起，开区域连同它的边界一起，闭区域闭区域：称为称为

5、闭区域闭区域。yOxyOx为闭区域。为闭区域。0,3yxyxE及及 AB AB 多元微积分基础PPT课件7AK3.n维空间维空间有界的闭区域。有界的闭区域。例如例如,0,4yxyxE无界的开区域。无界的开区域。有界点集与无界点集有界点集与无界点集：,E对于点集对于点集,K0 若若使得使得,EP P与某一定点与某一定点A间的距离间的距离,KAP 则称则称E为为有界点集有界点集，否则称为否则称为无界点集无界点集。41,222yxyxE41,221yxyxE有界的开区域。有界的开区域。0,3yxyxE无界的闭区域。无界的闭区域。数轴上：数轴上：点点实数实数平面上：平面上：点点 y,x空间中：空间中：

6、点点zyx,EP多元微积分基础PPT课件8设设n为取定的一个自然数，为取定的一个自然数，nx,x,x21的全体为的全体为维空间维空间。n称称元有序数组元有序数组n维空间维空间：n数数ix称为该点的称为该点的第第i个坐标个坐标维空间记为维空间记为n称为称为 维空间中的一个点。维空间中的一个点。n nx,x,x21维空间中的两点维空间中的两点nnxxxP,21及及 ny,y,yQ21间间的距离为的距离为 2222211nnxyxyxyPQ 设设,RPn 0,0 维空间中点集维空间中点集n则则nRPPPPPU,00 0P为点为点的的 邻域。邻域。相应的可以定义点集的内点、边界点、区域等概念。相应的可

7、以定义点集的内点、边界点、区域等概念。多元微积分基础PPT课件9例如：圆柱体的体积例如：圆柱体的体积 hrv2 长方体的体积长方体的体积abcv 类似可定义三元、四元函数，类似可定义三元、四元函数，二元以上的函数称为二元以上的函数称为多元函数多元函数 记为记为yxfz,Dyxyxfzz,定义定义 设设D是平面上一点集，是平面上一点集，,y,xP若对若对D内每一点内每一点变量变量按照一定法则总有确定的值与之对应，按照一定法则总有确定的值与之对应，z则称则称是变量是变量y,xz的的二元二元函数函数（或点（或点P的函数），的函数），点集点集D为其为其定义域定义域y,x为其为其自变量自变量，z也称为也

8、称为因变量因变量数集数集称为该函数的称为该函数的值域值域。（或（或 Pfz）多元微积分基础PPT课件10例求下列函数的定义域：例求下列函数的定义域：;1122yxz;ln12yxxz.arcsin322yxz解解;1122 yx;002yxx .yx1322 (1)yOx()yOx()yOx0 yx多元微积分基础PPT课件11D二元函数的几何意义：二元函数的几何意义：y,xfz 在几何上表示在几何上表示空间曲面空间曲面.如如,cbyaxz 平面平面;221yxz 上半球面上半球面;22yxz 旋转抛物面旋转抛物面;22yxz 上半锥面上半锥面;yOxzx z,y,xM y,xfz y P 多元

9、微积分基础PPT课件12定义定义2 2若对若对 ,0 ,0 当当 20200|0yyxxPP时时,恒有恒有|,|Ayxf成立成立.记作记作 ,lim00Ayxfyyxx或或 0,Ayxf.|0PP 设函数设函数 y,xfz 在区域在区域内有定义内有定义,D 000y,xP是是 D的的内点或边界点内点或边界点。则称常数则称常数 yxfz,当当00yy,xx时的极限时的极限,为为 A二元函数的极限称为二元函数的极限称为二重极限二重极限。注：注：1、2 二元函数的极限概念可以推广到二元函数的极限概念可以推广到 n元函数（自己推）。元函数（自己推）。多元微积分基础PPT课件13例例2设设 01sin,

10、222222yxyxyxyxf求证求证 .0,lim00yxfyx证证0-22221sinyxyx,0 对对当当 2222000yxyx时时,恒有恒有 成立成立,0-22221sinyxyx所以所以 .0,lim00yxfyx,取取22221sinyxyx要使要使 22yx 只要证只要证 ,0 对对 ,0 使得使得 当当 22000yx时时,成立成立,0-22221sinyxyx多元微积分基础PPT课件14例例3证明证明 .0lim2200yxxyyx证证022 yxxy222221yxyx2221yx ,0 对对 2222220021210yxyxyxxy成立成立.,2取取所以所以 .0li

11、m2200yxxyyx当当 2222000yxyx时时,多元微积分基础PPT课件15例例4.讨论讨论 2200limyxxyyx是否存在是否存在?解解220limkxxkxxx21kk 极限值与极限值与 k有关，有关，当点当点 y,xP沿直线沿直线 kxy 时，时，趋于点趋于点 00,O2200limyxxykxyx2200limyxxyyx所以所以 不存在不存在 2200limyxxyyx二重极限的存在，二重极限的存在，时，时，函数值都接近于函数值都接近于.A注：注：反之，反之，当当 y,xP以不同方式趋于以不同方式趋于 000y,xP 时，时，函数值函数值 趋于不同的值，趋于不同的值，则则

12、函数的极限不存在函数的极限不存在。y,xP以任何方式趋于以任何方式趋于 000y,xP是指是指 多元微积分基础PPT课件16例求极限例求极限 xxyyxsinlim20解解221 xxyyxsinlim20yxyxyyxsinlim20例例6求极限求极限 22222200cos1limyxyxeyxyx解解22222200cos1limyxyxeyxyx2222222002sin2limyxyxeyxyx222sin22sinlim22222200yxyxeyxyxyx0多元函数的极限运算，多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法有与一元函数类似的运算法则。夹逼准则，重要极限都则。夹逼准则

13、，重要极限都可以应用于多元函数的极限可以应用于多元函数的极限运算。运算。多元微积分基础PPT课件17若函数若函数 y,xf在点在点 00y,x处不连续，处不连续，则称点则称点 00y,x为为 yxf,的的间断点间断点 则称函数则称函数 yxf,若函数若函数 yxfz,内每一点连续，内每一点连续，在区域在区域 D在在 D内连续，内连续，或称或称 y,xf内的连续函数。内的连续函数。是是 D定义定义 00,lim00yxfyxfyyxx若若 则称函数则称函数 yxf,在点在点 00y,x处连续处连续 设函数设函数 y,xfz 在区域在区域 内有定义内有定义,D 000y,xP是是 D的的内点或边界

14、点内点或边界点,且且 .DP 0间断点间断点 (1)无定义的点无定义的点 00,lim300yxfyxfyyxx 不不yxfyyxx,lim200多元微积分基础PPT课件18例如，函数例如，函数 间断点为：间断点为：1,22 yxyx,11sin22yxz .yx,yx,yxxyy,xf000222222所以，点所以，点 00,是函数的间断点。是函数的间断点。再如，函数再如，函数 （孤立点）（孤立点）（函数无定义的点）（函数无定义的点）21kk2200limyxxyyx (极限不存在极限不存在)（曲线）（曲线）多元微积分基础PPT课件19在在有界闭区域有界闭区域上上多元连续函数多元连续函数具有

15、性质：具有性质：性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在有界闭区域在有界闭区域 D上的连续函数，上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值。一定能够取得最大值和最小值。性质性质（介值定理）（介值定理）在有界闭区域在有界闭区域 D上的连续函数上的连续函数 ，一定能够一定能够 取得介于最大值和最小值之间的任何数值。取得介于最大值和最小值之间的任何数值。多元初等函数多元初等函数（能用一个式子表示的函数）（能用一个式子表示的函数）在其在其定义区域定义区域 内连续。内连续。设函数设函数 Pf为多元初等函数，其定义域为为多元初等函数，其定义域为,D且且 ,0DEPE为一区域或闭区域，则为一区域

16、或闭区域，则 00limPfPfPP定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。多元微积分基础PPT课件20例例7求下列极限：求下列极限：;lim121xyyxyx .42lim200 xyxyyx 解解.232121 42lim00 xyxyxyyx421lim00 xyyx.41 xyyxyx21lim1 xyxyyx42lim200 多元微积分基础PPT课件21小结：小结：1.平面点集平面点集：邻域、内点、开集、边界点、连通、：邻域、内点、开集、边界点、连通、区域（开区域）、闭区域、有界点集、无界点集、区域（开区域）、闭区域、有界点集、无界点集、2.多元函数的定义多元函数的定义、二元函数的定义、二元函数的定义 3.二重极限二重极限的定义的定义，计算，计算 4.二元函数的连续性定义、间断点二元函数的连续性定义、间断点 5.有界闭区域上多元连续函数的性质有界闭区域上多元连续函数的性质 维空间维空间n