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1、文山学院热力学与统计物理期末考试一. 填空题 1. 设一多元复相系有个j相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足条件： T=T=ab=T 、 P=P=jabj=P 、 mi=mi=ab=mij(i=1,2,k) 2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做： 能特斯定律 和 绝对零度不能达到定律 。 3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为：10 。 4.均匀系的平衡条件是 T=T0 且 a=a+bePP=P0 ；平衡稳定性条件是 CV0 且(V)T0 。 w5玻色分布表为 e-1 ；费米分布表为 a=ea+bew+1 ；玻耳兹曼
2、分布表为a=we-a-beS(V)-a 。当满足条件 e0。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即DG0。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 DS0 4.玻尔兹曼关系与熵的统计解释。 由波耳兹曼关系S=klnW 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小
3、。故，熵是系统内部混乱度的量度。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？ 因为双原子分子的振动特征温度v10K，在常温或低温下 kTqv时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。 Tqr时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结” Tqv时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。 Tqr时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。 11.气体的非简并条件是 D 分子平均动能远远大于kT 分子平均距离极大于它的尺度 分子数密度远远小于1 分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长 12.不考虑粒子自旋，在边长L的正方形区域内运动的二维自由粒子，其中动
4、量的大小处在pp+dp范围的粒子可能的量子态数为 B 4pL22pL22pL2pL22dp 2pdp2pdp 2pdp hhh2h 4 五. 推导与证明 1.试用麦克斯韦关系，导出方程TdS=CVdT+T体的绝热过程方程TVg-1=C。 解：dS=TdS=TpdV，假定CV可视为常量，由此导出理想气TVSSdT+dV， TVVTSSSdT+TdV=CdT+TVdV TVVTVTSpp=TdS=CdT+T，VdV VTTVTVnRnRpT，= VTVV由麦氏关系绝热过程dS=0，理想气体p=CVdTdV+nR=0积分得CVlnT+nRlnV=C TVCp/CV=g，nR=Cp-CV=CV(g-1
5、) 故：lnTVg-1=C，即：TVg-1=C 2. 证明: =nPT,nT,P证明：选T, V 为独立变量，则 m(V)dG=-SdT+Vdp+mdn m=GnG而p()T,nT,p,m(p)T,n=Gnp=Vn() T,nT,p()=V， 故 ()mpT,n()T,p3.证明焓态方程：HV=V-T。 TppT证：选T、p作为状态参量时，有 HSHS dH=dT+dpdS=dT+dp TpTppTpT而， dH=TdS+Vdp 5 SS代入得： dH=TdT+V+Tdp TppT比较、得：HS=T TpTpSH=V+T VTpT将麦氏关系SV，即得 =-代入pTpTHV=V-T VTTp4.
6、导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式： NwU=3Nw+32ebw-1qE/TqEe CV=3NkTqE/T2e ， -12()解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：e=(n+1/2)w则，振子的配分函数为：Z1=lnZ1=-(n=0,1,2) en=0-bw(n+1/2)=e-bw/2(en=0-bwne-bw/2 )=-bw1-e1bw-ln(1-e-bw) 2lnZ133Nwe-bw33NwU=-3N =Nw+=Nw+-bwbwb21-e2e-11UebwUw CV=-2bw=3Nk2TkTbVkT(e-
7、1) VqE/TqEe引入爱因斯坦特征温度qE：w=kqE，即得：CV=3Nk 2q/TTeE-122()5. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：S=3Nkbwbwe-1-ln1-e(-bw) 解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为： e=w(n+1),(n=0,1,2,2则，振子的配分函数为： ) 6 Z1=en=0-bw(n+1)2=e1-e-bw-1bw2lnZ1=-1bw-ln(1-e-bw),2lnZ1w =-1w-bwb2e-1lnZ1bw-bw)=3Nkbw-ln(1-e) be-16.证明，对
8、于一维自由粒子，在长度L内，能量在+d的范围内，可能的量子态数为S=3Nk(lnZ1-bD(e)de=L(2m)1/2e-1/2de。 h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdpx内的可能dxdpx。 h 因此，在长度L内，动量大小在pp+dp范围内粒子的可能的量子态数为 的量子态数为2Ldp hm12p，dp=de 2m2e故，在长度L内，能量在+d范围内，可能的量子态数为 而，e=D(e)de=TV 7. 证明: =PSSP证明： L(2m)1/2e-1/2de。 hS0VUdH=TdS+VdP， 由全微分条件得：证明： 由()() TP=SVSP
9、dU=TdS-PdV， 令 dU=0 得：S(V)=UP TP0,T0 8.导出普朗克黑体辐射公式。 S(V)0 U解：在体积V内，动量在pp+dp 范围的光子的量子态数为 8pVp2dp 3h7 因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为 f=1ew/kT-1又 p=ec=wc所以，在体积V内，圆频率在ww+dw范围内的光子的量子态数为 32D(w)dw=8pVh3wc3dw=Vp2c3w2dw 在此范围内的光子数为 ND(w)dw=Vw2wdw=fp2c3ew/kT-1dw 故，在此范围内的辐射能量为： 3U(T,w)dw=wNwwdw=Vp2c
10、3ew/kT-1dw 9.对于给定系统，若已知 pT=R，T=T-2a(v-b)，求此系统的物态方程。 vv-bvpv-bRv3解：设物态方程为p=p(T,v)，则 dp=pTdT+pdv vvTpTVT=-1 vvppTppTv=- TTvvp将pT=R和TT2a(v-b)代入得 pv=-pT=-RT-2a(v-b)=2a-RT TTvvpv-bv-bRv3v3(v-b)2将pT=Rvv-b和代入得 dp=Rv-bdT-RT2aRTaRTa(v-b)2dv+v3dv=dv-b-dv2=dv-b-v2 积分得： p=RTv-b-aav2，即：p+v2(v-b)=RT 8 11.已知气体系统通常
11、满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。 解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为 Z1=wlel-bel=es-besxx+dx，当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用m空间积分替代。因为，在6维m空间中，yy+dy，zz+dz，pxpx+dpx，pypy+dpy，pzpz+dpz范围内的粒子，其可能的量子态数为 1h3dxdydzdpxdpydpz 且，粒子的能量为：e=12m(p2x+p2y+p2z)。所以 23Z-b2m(px+p22y+pz)1b21=ehdxdydzdpdpdp=Vhe-2mpxdx3xyz3- 即 3/2
12、ZV2pm2pm1=h3b而 lnZlnV+3ln， 231=h2b-lnb2 由内能的统计表达式 U=-NlnZ1b，得： U=-3N2b=-32NkT 12. 证明: CPVP-CV=TT VTP证：CSP-CV=TT-TS PTV S(T,p)=S(T,V(T,p) ST=S+SVT PTVVTP代入 CCSVP-V=TV P将麦氏关系：SV=P代入得 TTV CPVP-CV=TT VTP9 13. 证明，理想气体的摩尔自由能为： 证明：选T, V 为独立变量，则 pdu=cVdT+TT()V-pdv,ds=cVpdT+TT()Vdv 理想气体的物态方程为：pv=RT ()pTVcVR
13、， ，du=cdTds=dT+Rdv =VTvvcVTdT+Rlnv+s0 cf=u-Ts=cvdT-TvdT-RTlnv+u0-Ts0 T214.证明，对于二维自由粒子，在面积L内，能量在+d范围内，可能的量子态数为故: u=cVdT+u0 ，s0=2pmL2D(e)de=de。 2h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元dxdydpxdpy内的可能的量子态数为2dxdydpxdpyh2。 因此，在面积L内，动量大小在pp+dp范围内粒子的可能的量子态数为 2pL2pdp 2h12p，pdp=mde 2m2故，在面积L内，能量在+d范围内，可能的量子态数为 而，e=2pmL2D(e)de=de。 h2说明：上面给出的是往届出现过的考题，仅作为复习参考和题型示例。实际考试难度和内容与这些题类似，。对于推到证明题给出解题示例，为的是规范解题步骤，答卷时一定要按照示例一步步求解，否则会扣分的。简答题一定要回答完整。 10
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