《选修11：椭圆的标准方程》教案

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1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点椭圆的标准方程教学目标1经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程2理解椭圆的定义 ,明确焦点、焦距的概念3能由椭圆定义推导椭圆的方程 ,初步学会求简单的椭圆的标准方程教学重点标准方程的推导及椭圆的判断教学难点椭圆标准方程的推导及应用【教学建议】本节课主要内容是椭圆的标准方程学生在前面已经学习了解析几何的两种根本曲线：直线和圆 ,初步掌握了解析几何的思维方法利用代数的方法描述平面图形及性质；根本上掌握了解析几何的解题根本格式 ,数形结合的思想比以前有了质的飞跃 ,因此在教学过程中 ,采用了引导发现法和感性体验法进行教学引导发现法属

2、于启发式教学 ,有利于充分调动学生的积极性和主动性 ,表达了认知心理学的相关内容在教学过程中 ,教师采用启发、引导、点拨的方式 ,创设各种问题情景 ,使学生带着问题去主动思考 ,动手操作 ,交流合作 ,进而到达对知识的“发现和“接受 ,完成知识的内化 ,使书本的知识真正成为自己的知识【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】在生活中 ,我们对椭圆并不陌生油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上 ,地面上形成的影子也是椭圆形的在学习中 ,椭圆其实比圆更加让我们熟知 ,无论是数学中的0 ,还是字母中的O ,我们都能看到椭圆的踪影那么它们究竟是不是

3、椭圆？它们有什么性质？借助椭圆的方程 ,我们就可以答复这个问题1给你两个图钉 ,一根无弹性的细绳 ,一张硬纸板 ,你能画出椭圆吗？【提示】固定两个图钉 ,将绳子两端固定在图钉上且绳长大于图钉间的距离 ,用笔尖把绳子拉紧 ,使笔尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆2求曲线的方程通常分为几步？【提示】四步：建系、设点、列式、化简二、知识讲解考点1 椭圆的定义考点1 单调函数的定义胞平面内与两个定点F1 ,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆两个定点F1 ,F2叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 思考 (1)椭圆定义中 ,将“大于F1F2改为“等于F1F2或“小于F1F2

4、的常数 ,其他条件不变 ,点的轨迹是什么？ 答案当距离之和等于F1F2时 ,动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时 ,动点的轨迹不存在 (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？ 答案a ,b的值及焦点所在的位置 考点2 椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1 (ab0)1 (ab0)图象焦点坐标(c ,0) ,(c ,0)(0 ,c) ,(0 ,c)a ,b ,c的关系a2b2c2【教学建议】 教学时 ,应从回忆椭圆定义入手 ,回忆曲线方程的求解方法 ,通过建立坐标系 ,推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程 ,从而得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程 ,且通过推导 ,得出根本量a

5、,b ,c之间的根本关系 ,化解难点注意要让学生动手化简三 、例题精析例题1类型一 椭圆的定义及应用以下说法中不正确的选项是_F1(4 ,0) ,F2(4 ,0) ,到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；F1(4 ,0) ,F2(4 ,0) ,到F1 ,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；到F1(4 ,0) ,F2(4 ,0)两点的距离之和等于点M(5 ,3)到F1 ,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；到F1(4 ,0) ,F2(4 ,0)距离相等的点的轨迹是椭圆【思路探究】判定是否为椭圆回忆椭圆定义分析距离满足条件【解析】中F1F28 ,故到F1、F2两点的距离之和为常数8的

6、点的轨迹是线段F1F2中到F1、F2两点的距离之和6小于F1F2 ,故这样的轨迹不存在中点(5 ,3)到F1、F2的距离之和为4F1F28 ,故中是椭圆的轨迹中是线段F1F2的垂直平分线【答案】【总结与反思】1判断动点P的运动轨迹是否为椭圆 ,关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数； (2)该常数是否满足大于两定点间的距离如果满足以上两条 ,那么动点P的轨迹便为椭圆2椭圆定义不仅可以用来判定动点轨迹形状 ,也可由椭圆求解其他问题例题1类型二 待定系数法求椭圆的标准方程求适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为(3 ,0) ,(3 ,0) ,且椭圆上的一点到两个焦点的距离

7、之和等于10；(2)焦点坐标分别为(0 ,2) ,(0 ,2) ,并且过点( ,)【解析】(1)由焦点坐标和椭圆定义分别求出c ,a ,代入b2a2c2求出b2即可；(2)此题有两种思路：一是先由焦点坐标和椭圆定义分别求出c ,a ,再求解；二是将点的坐标代入椭圆方程 ,结合b2a2c2求解【解答】(1)由题意 ,设椭圆的标准方程是1(ab0) ,那么2c6 ,2a10 ,所以a5 ,c3由a2b2c2 ,得b216 ,所以椭圆的标准方程是1(2)因为椭圆的焦点在y轴上 ,所以设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知2a 2 ,所以a又由题意知c2 ,所以b2a2c21046因此 ,所

8、求椭圆的标准方程为1法二：因为所求椭圆过点( ,) ,所以1又a2b2c24 ,解得a210 ,b26 ,故所求椭圆的标准方程为1【总结与反思】 1在本例(2)的解答中 ,利用椭圆定义求a较为简洁 ,也是我们常用的一种方法2在椭圆的类型求椭圆的标准方程时 ,一般采用待定系数法求解 ,步骤如下：(1)根据条件判断焦点所在的坐标轴 ,设出对应的标准方程；(2)将条件代入 ,求出a ,b(注意隐含条件a2b2c2 ,ab0) ,此时注意椭圆定义的应用；(3)写出椭圆的标准方程例题2其主要步骤可归纳为“先定型 ,再定量求焦点在坐标轴上 ,且经过A( ,2)和B(2 ,1)两点的椭圆的标准方程【解答】方

9、法一：(1)当焦点在x轴上时 ,设椭圆的标准方程为1(ab0) ,依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1(2)当焦点在y轴上时 ,设椭圆的标准方程为1(ab0) ,依题意有解得此时不符合ab0 ,所以方程组无解故所求椭圆的标准方程为1方法二：设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0 ,B0且AB) , 依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1【总结与反思】 当所求椭圆的焦点位置不能确定时 ,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论 ,但要注意ab0这一条件当椭圆经过两点 ,求椭圆的标准方程时 ,把椭圆的方程设成Ax2By21(A0 ,B0 ,AB)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨

10、论焦点所在的坐标轴 ,从而简化求解过程例题1类型三 椭圆标准方程的应用(1)假设方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆 ,求k的取值范围；(2)椭圆1中 ,点P是椭圆上一点 ,F1 ,F2是椭圆的焦点 ,且F1PF260 ,求PF1F2的面积【思路探究】(1)化为标准方程 由条件列不等式 求k的范围；(2)椭圆的定义 PF1PF24 由PF1 ,PF2 ,F1F2关系 用余弦定理求PF1PF2面积【自主解答】(1)原方程可化为1 ,因为表示焦点在y轴上的椭圆 ,所以解得0k1所以k的取值范围是0kn0时 ,方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时 ,方程表示焦点在y轴上的椭圆特别注意 ,当nm0

11、时 ,方程表示圆心在原点的圆2椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形 ,解关于椭圆的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识例题1类型四 与椭圆有关的轨迹问题假设ABC的三边a ,b ,c成等差数列 ,且abc ,A ,C的坐标分别为(1 ,0) ,(1 ,0) ,求顶点B的轨迹方程【思路探究】利用椭圆定义分析出B点的轨迹是椭圆 ,再利用待定系数法求解【自主解答】由得b2 ,又a ,b ,c成等差数列 ,所以ac2b4 ,即ABBC4 ,所以点B到定点A、C的距离之和为定值4 ,由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一局部 ,设椭圆的标准方程

12、为1(ab0) ,其中a2 ,c1 ,所以b23又abc ,所以顶点B的轨迹方程为1(2x0)【总结与反思】 1本例解答过程中 ,不要忽略abc这个条件 ,而误认为轨迹为整个椭圆2解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是：四 、课堂运用【根底】1动点P到两定点F1(3 ,0) ,F2(3 ,0)的距离的和为10 ,那么动点P的轨迹方程是_2椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3 ,那么点P到另一个焦点的距离为_3假设方程1表示椭圆 ,那么k的取值范围是_4设P是椭圆1上的一点 ,F1 ,F2是椭圆的两个焦点 ,那么|PF1|PF2|等于_答案与解析1【解析】因为2a10 ,所以a5 ,因为c3

13、,所以b2a2c216 ,又因为焦点在x轴上 ,所以轨迹方程为1【答案】12【解析】由题意 ,得a6 ,不妨设PF13 ,又PF1PF22612 ,所以PF21239【答案】93【解析】因为 ,所以k(3 ,4)(4 ,5)【答案】(3 ,4)(4 ,5)4【解析】由标准方程得a225 ,所以2a10 ,由椭圆定义知|PF1|PF2|2a10【答案】10【稳固】1椭圆经过点( ,)和点( ,1) ,求椭圆的标准方程2求经过点M(2 ,3)且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程答案与解析1【解】设椭圆方程为mx2ny21(m0 ,n0 ,mn) ,因为点( ,) ,( ,1)在椭圆上 ,所

14、以解得所以椭圆方程为x212【解】解法一：椭圆方程可化为1 ,所以c ,所以F1(0 ,) ,F2(0 ,) ,所以2aMF1MF22 ,所以a ,所以b2a2c210 ,所以椭圆方程为1解法二：椭圆9x24y236的焦点为(0 ,) ,那么设所求椭圆的方程为1(0)又椭圆过点(2 ,3) ,所以1 ,解得10或2(舍去)所以所求椭圆方程为1【提高】1(1)方程(2k)x2ky22kk2表示焦点在x轴上的椭圆 ,求实数k的取值范围(2)如下图 ,点P为椭圆1上一点 ,假设点P在第二象限 ,且PF1F2120 ,求PF1F2的面积2动圆与定圆C：x2y24y320内切且过定圆内的一个定点A(0

15、,2) ,求动圆圆心P的轨迹方程答案与解析1【解】(1)由(2k)x2ky22kk2表示椭圆 ,知2kk20 ,且有1因为方程表示焦点在x轴上的椭圆 ,所以k2k0 ,即1k2 ,故实数k的取值范围是1kAC因此 ,动圆圆心P到两定点A(0 ,2) ,C(0 ,2)的距离之和为6 ,所以P的轨迹是以A ,C为焦点的椭圆 ,且2a6 ,2c4 ,即a3 ,c2 ,五、课堂小结所以b25所以所求动圆圆心P的轨迹方程为11求椭圆的标准方程 ,主要采用待定系数法 ,一般“先定型即先确定标准形式 ,“再定量即由题目条件求根本量a ,b ,c ,求解过程中 ,要注意定义的应用2对方程带有字母系数的椭圆 ,

16、其焦点在哪个坐标轴上要由字母的取值范围确定 ,必要时要进行分类讨论3求与椭圆有关的轨迹问题 ,常见的直接法、代入法、参数法等都同样可用 ,除此以外 ,还要注意利用椭圆的定义求解轨迹问题六、课后作业【根底】1椭圆25x216y2400的焦点坐标为_2对于常数m、n ,“mn0是“方程mx2ny21的曲线是椭圆的_条件(填“充分不必要或“必要不充分或“充要或“既不充分又不必要)3椭圆1的焦距是2 ,那么m的值为_4椭圆y21的两个焦点为F1、F2 ,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交 ,一个交点为P ,那么PF2_5一个焦点坐标是(0 ,4) ,且过点B(1 ,)的椭圆的标准方程为_答案与解析1【

17、解析】椭圆方程可化为1 ,所以c29 ,c3 ,所以焦点坐标为(0 ,3)【答案】(0 ,3)2【解析】由方程mx2ny21的曲线表示椭圆 ,常数m ,n的取值为所以mn0；反过来 ,由mn0得不到方程mx2ny21的曲线表示椭圆【答案】必要不充分3【解析】因为2c2 ,所以c1 ,所以m41或4m1 ,所以m3或5【答案】3或54【解析】如图,c ,所以y1 ,所以yP ,所以PF1因为PF1PF24 ,所以PF2【答案】5【解析】 由一个焦点坐标是(0 ,4)知椭圆焦点在y轴上 ,设椭圆的标准方程为1(ab0) ,由c4 ,得b2a2c2a216 ,那么椭圆方程可化为1(a2160) ,将

18、点B(1 ,)代入 ,得a220(a212舍去) ,从而b2a2164 ,故所求椭圆的标准方程为1【答案】1【稳固】1假设单位圆x2y21上每个点的纵坐标不变 ,横坐标变为原来的 ,那么所得曲线的方程是_2椭圆1上的点M到焦点F1的距离为2 ,N是MF1的中点 ,那么ON(O为坐标原点)的值为_3在平面直角坐标系xOy中 ,ABC顶点A(4 ,0)和C(4 ,0) ,顶点B在椭圆1上 ,那么_4椭圆C经过点A(2 ,3) ,且点F(2 ,0)为其右焦点 ,求椭圆C的标准方程答案与解析1【解析】设所求曲线上任一点的坐标为(x ,y) ,圆x2y21上的对应点为(x1 ,y1) ,由题意可得 ,解

19、得 ,将代入xy1得(3x)2y21 ,即y21所以所求曲线的方程是y21【答案】y212【解析】由题意 ,a5 ,b3 ,所以c4 ,MF12 ,所以MF22528 ,又ON为MF1F2的中位线 ,所以ONMF284【答案】43【解析】因为B在椭圆上 ,所以BABC2a10由正弦定理 ,知【答案】4【解】依题意 ,可设椭圆C的方程为1(ab0) ,且可知左焦点为F (2 ,0)从而有解得又a2b2c2 ,所以b212 ,故椭圆C的标准方程为1【提高】1椭圆1(ab0)上一点P(3 ,4) ,假设PF1PF2 ,试求椭圆的方程2F1 ,F2是椭圆1的两个焦点 ,P是椭圆上任意一点(1)假设F1

20、PF2 ,求F1PF2的面积；(2)求PF1PF2的最大值答案与解析1【解】在RtF1PF2中 ,因为PFPFF1F ,所以(3c)216(3c)2164c2 ,所以c225 ,所以c5 ,所以F1(5 ,0) ,F2(5 ,0) ,又2aPF1PF26 ,所以a3 ,所以b220 ,所以椭圆方程为12【解】(1)设PF1m ,PF2n(m0 ,n0)根据椭圆的定义 ,得mn20在F1PF2中 ,由余弦定理 ,得PFPF2PF1PF2cos F1PF2F1F ,即m2n22mncos 122所以m2n2mn144 ,即(mn)23mn144所以2023mn144 ,即mn又因为PF1PF2sin F1PF2mnsin ,所以(2)由题意知a10 ,所以根据椭圆的定义 ,得PF1PF220因为PF1PF22 ,所以PF1PF2()2()2100 ,当且仅当PF1PF2时 ,等号成立所以PF1PF2的最大值是1009 / 9