抽象函数单调性专题

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1、抽象函数单调性专题抽象函数单调性专项突破 一、一次函数性：f(a+b)=f(a)+f(b)+k 或 f(a-b)=f(a)-f(b)+ k例1、f(x)对任意x,yR都有：f(x+y)=f(x)+f(y)，当x0时,f(x)0时，f(x)2求证:f(x)在R上5,解不等式f(2a-3)0时，f(x)2，f(3)=5， 求不等式f(a2-2a-2)3的解集。 二、对数函数型：a )f(bf(ab)=f(a)+f(b) 或 f=f(a-bab例1、定义在(0,+)上函数y=f(x)对任意的正数a,b均有：f=f(a)-f(b)，且当x0,求f(1)的值;判断f(x)的单调性, 1、定义在(0,+)

2、上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f=f(x)-f(y)且当0x1时，xyf(x)0. 求:(1)f(1)的值. (2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f1时f(x)在(0,+)上是增函数解不等式f(2x2-1)0,又f(2)=1， 求证：f(x)是偶函数； 3、设f(x)是定义在(0,+)上的函数，对任意x,y(0,+)，满足f(xy)=f(x)+f(y)且当x1时，f(x)0。求证：f=f(x)-f(y)； 若f(5)=1，解不等式f(x+1)-f(2x)0时，f(x)1,且对任意x,yR,有解不等式f(3x-x2)4； f(1)=2. 求f(0)的值； 求证：对任意xR都有f(

3、x)0；1、定义在R上的函数y=f(x)对任意的m,n都有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)0；求证：y=f(x)在R上为减函数；解不等式f(x)f(2x-x2)1 2、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b)，且当x1；求证：f(x)0 ；求证：f(x)为减函数 当f(4)= 112时，解不等式f(x-3)f(5-x)； 164四、幂函数型：af(a) f(ab)=f(a)f(b) 或 f=bf(b)例1、已知函数f(x)满足：对任意x,yR，都有f(xy)=f(x)f(y)，f(-1)=1,f(27)=9,且当0x1时，判断f(x)的奇偶性，

4、判断f(x)在0,+)上的单调性，并证明。若a0，且f(x)0,1)。f(a+1)39，求a的取值范围。 五、其它函数类型 例1、定义在-1,1上的奇函数y=f(x)有f(1)=1,且当m,n-1,1时,总有:明:f(x)在-1,1上为增函数,(II)解不等式:f(x+)0,(mn),证m+n121),(III)若f(x)t2-2at+1对所有x-1x+y)，且当1+xyx(-1，0)时，有f(x)0， 试判断f(x)的奇偶性；判断f(x)的单调性； 1、已知定义在(-,-1)(1,+)上的奇函数满足：f(3)=1；对任意的x2，均有f(x)0；对任意的试求f(2)的值；求证：f(x)在(1,

5、+)上是单调递增； x,yR+，均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)； 2、已知函数f的定义域为x| x k，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f= f (x)f (y)1成立，f (y)f (x)且f = 1，当0 x 0判断f奇偶性；证明f为周期函数；求f 在2a，3a 上的最小值和最大值 3、已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f(1)=1，若任意的a、b-1,1，总有(a+b)(f(a)+f(b)0 判断函数f(x)在-1,1上的单调性，并证明你的结论；解不等式：f(x-1)f(1-2x)；若2对所有的x-1,1恒成立，其中p-1,1，求实数m的取值范围 f(x)m-2pm+1