抽象函数的对称性与周期性

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1、抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (bx)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= a+b对称。 2推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax) ，则函数y=f (x) 的图象关于点(a+bc 对称。 ,)22推论1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (ax)=0，则函数y=f (x) 的图象关于点对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (bx)两函数的图象关于

2、直线x=b-a对称。 2定理4.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=cf (bx)两函数的图象关于点(b-ac对称。 ,)22a+b,0）对称。2性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= f(bx)成立，则y=f(x)的图象关于点对称。 2二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)=f (xb)，则y=f (x) 是以T=ab为周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (xa)= f (xb)，则y=f (x) 是以T=2为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线

3、x=a与 x=b 且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (ab,ab0)，则函数有周期4(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) 且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。 1 例1已知定义在上的奇函数2 满足 ，则的值为 3 4 5 6 例2已知函数是周期为的函数，当 7 时， 8 当 时，的解析式是 9 为是上周期的定义函数在以，例3. 设 10 在内单调递减， 11 且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 12 13 14 15 例4.设是定义在上1知定义为满R的函数足已 16

4、，且函数上在单调区递增间.如果 17 C可能为0 D 可正可负. 的值18 例5.在R上定义的函数是偶函数，且.若 19 在区间上是减函数，则( ) 20 A.在区间上是增函数，在区间上是减函数 21 B.在区间C.在区间上是增函数，在区间上是减函数 22 上是减函数，在区间上是增函数 23 D.在区间上是减函数，在区间 24 上是增函数 25 例6已知函数的图象关于直线和都对称，且当 26 时，.求的值. 27 13设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，且f(1)= ()求()证明是周期函数； 练习： ，都有； 28 ，29 对任意都有1.设偶函数 ，且当时， 30 ，则 31

5、32 33 34 2是定义在为周35 上期的奇的函数，以且 个数的36 在 最小区间值是内解的 37 38 39 既是奇函数，是它的一个正周期40 上的函数又是周期函数，3定义在 上41 根在个闭区数记间为若将方程的的 ，则可能为 42 43 44 45 上， 46 的奇函数，且为满足4 .已知函数 等于( ) 47 时，则当 48 49 50 5.函数对于任意实数满足条件 51 则，若， 52 6.已知是周期为的53 奇函时数，当， 设则 54 55 56 57 8.设是定义在上58 奇函数，且的 对称，则的 59 图象关于直线 60 广东）设函上满数在足9试判断函数的奇偶性； 试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论 63