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1、求函数解析式的若干方法 已知一个关于函数 f(x)的等式求 f(x)是一种常见题型。求解这类问题，关键是要深入理解函数记号 f(x)的含义。现将处理这类问题的方法现介绍如下：一、拼凑法 通过拼凑成适当的形式，寻求函数的对应法则和定义域。例1 已知 f(2x1)=4x+1,1x3,求函数 f(x).解析：f(2x1)=4x+1 f(2x1)=2(2x1)+3 函数好比一台机器，放入一个自变量，通过对应法则的作用，生产出唯一的函数值。这里，放入 2x1，得到了 2(2x1)+3。所以对应法则是：2自变量+3 f(x)=2x+3 只有对应法则还不够，定义域是函数的另一个要素。求定义域，我们应该关注以
2、上过程中“放入机器的原材料”2x1 的范围。1x3 12x15 f(x)=2x+3，1x5 说明：该问题与下面这个更常见的问题恰好相反：已知：f(x)=2x+3，1x5,计算 f(2x1)，并标明相应 x 的取值范围。可以看到，以上过程实质上是将 f(2x1)中的 2x1 看作一个整体。因此，也可以使用换元法优化上述解答过程。二、换元法 例2 题目同例 1：已知 f(2x1)=4x+1,1x3,求函数 f(x).解：令 t=2x1,则 1t5 且12tx。代入已知等式得：1()41232tf tt 所求函数为 f(x)=2x+3，1x5 说明：解题过程中容易漏掉定义域导致出错，应予以重视。有时
3、试卷上也会单独考察定义域，比如例 1 可摇身变为：已知 f(2x1)的定义域为(1,3,求函数 f(x)的定义域.只要弄清楚上面的解题过程，解这样的问题就不会出错了。三、待定系数法 只要清楚函数解析式的类型，就可以设出函数解析式，再设法求出其中的系数。例3 已知一次函数 f(x)满足 ff(x)=4x+3,求 f(x).解：f(x)一次函数 设 f(x)=ax+b 从而 ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b 又已知 ff(x)=4x+3，比较得：2224133aaabbabb 或 f(x)=2x+1 或 f(x)=2x3 思考：如果题目中已知 f(x)是二次函数，可
4、设 f(x)=已知二次函数 f(x)两根为 2 和 3，可设 f(x)=四、方程组法 例4 如果函数 f(x)满足方程12()()2,f xfx xRx，求()f x。解：12()()2f xfxx 将 x 换成1x，则1x换成 x，得：112()()2ff xxx 把1(),()f xfx当作未知数，由解方程组得：242()(0)3xf xxx 五、特殊值法 例 5：设 f(x)是 R 上的函数，且满足 f(0)=1,并且对任意实数 x,y 有 f(y x)=f(x)y(2xy+1).求 f(x)的表达式。解：取 x=0 得：f(y)=f(0)y(y+1)=1+y2y=y2y+1 f(x)=
5、x2x+1 练习：1.已知 f(x+2)=x23x+5,则 f(x)=2.已知 f(2x)=x23x+5,则 f(x)=3.如果21()1xfxx,则 f(x)=4.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)2f(x1)=2x+17,则 f(x)=5.已知 f(x)是二次函数,且满足 f(x+1)+f(x1)=2x24x+4,则 f(x)=6.已知 2f(x)+3f(x)=3x,则 f(x)=7.已知 2f(4x3)+3f(34x)=3x,则 f(x)=8.已知:对任意 x,y,f(x)满足 f(x)+f(y)=12f(x+y),求 f(2).（作者通讯地址：四川省雅安市芦山中学高中部数学组 付正员 625600）
求函数解析式的若干方法
