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1、-函数及其表示考纲知识梳理 一、函数与映射的概念 函数 映射 两集合 设AB、是两个非空数集 设AB、是两个非空集合 对应关系:fAB 如果按照*种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应。如果按*一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。名称 称:fAB为从集合A到集合B的一个函数 称:fAB为从集合A到集合B的一个映射 记法()yf x，xA 对应:fAB是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是
2、非空数集。二、函数的其他有关概念 1函数的定义域、值域 在函数()yf x，xA中，x叫做自变量，x的取值围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值()|f xxA的集合叫做函数的值域 2一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 3相等函数 如果两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：假设两个函数的定义域与值域一样，是否为相等函数.不一定。如果函数 y=*和y=*+1,其定义域与值域完全一样，但不是相等函数；再如 y=sin*与 y=cos*，其定义域为 R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关
3、系 4函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。5分段函数-假设函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个局部组成，但它表示的是个函数。函数及其表示测试题 1、设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是 A A.),3()1,3(B.),2()1,3(C.),3()1,1(D.)3,1()3,(解析由，函数先增后减再增 当0 x，2)(xf3)1(f令,3)(xf 解得3,1xx。当0 x，3,36xx
4、 故3)1()(fxf，解得313xx或 2、试判断以下各组函数是否表示同一函数.1f*=2x，g*=33x；2f*=xx|，g*=;01,01xx 3f*=1212nnx，g*=12 nx2n1nN*；4f*=x1x，g*=xx2；5f*=*22*1，gt=t22t1。解：1由于 f*=2x=|*|，g*=33x=*，故它们的值域及对应法则都不一样，所以它们不是同一函数；2由于函数 f*=xx|的定义域为，00，+，而 g*=;01,01xx的定义域为 R，所以它们不是同一函数；3由于当 nN*时，2n1 为奇数，f*=1212nnx=*，g*=12 nx2n1=*，它们的定义域、值域及对应
5、法则都一样，所以它们是同一函数；4由于函数 f*=x1x的定义域为*|*0，而 g*=xx2的定义域为*|*1 或*0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；5函数的定义域、值域和对应法则都一样，所以它们是同一函数-注：对于两个函数 y=f*和 y=g*，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都一样时，y=f*和 y=g*才表示同一函数假设两个函数表示同一函数，则它们的图象完全一样，反之亦然。3、求以下函数的值域：1232yxx；2265yxx；3312xyx；44 1yxx；521yxx；6|1|4|yxx；722221xxyxx；82211()212xxyxx；解：1配方法22123233
6、23()61212yxxx，232yxx的值域为23,)12 2求复合函数的值域：设265xx 0，则原函数可化为y 又2265(3)44xxx ，04，故0,2，265yxx的值域为0,2 3法一反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为|3xR x，原函数312xyx的值域为|3yR y 法二别离变量法：313(2)773222xxyxxx，702x，7332x，函数312xyx的值域为|3yR y 4换元法代数换元法：设10tx，则21xt，原函数可化为2214(2)5(0)ytttt ，5y，-原函数值域为(,5 注：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2
7、yaxbcxd 5三角换元法：21011xx ，设cos,0,x，则cossin2sin()4y 0,，5,444，2sin(),142，2sin()1,24，原函数的值域为 1,2 6数形结合法：23(4)|1|4|5(41)23(1)xxyxxxxx ，5y，函数值域为5,)7判别式法：210 xx 恒成立，函数的定义域为R 由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy 当20y 即2y 时，即300 x，0 xR 当20y 即2y 时，xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，22(1)4(2)0yy，15y且2y，原函数的值域为1,5 82121(21)11112121
8、2121222xxxxyxxxxxx，-12x，102x，1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立 122y，原函数的值域为1 2,)2 4、求函数的解析式 13311()f xxxx，求()f x；22(1)lgfxx，求()f x；3()f x是一次函数，且满足3(1)2(1)217f xf xx，求()f x；4()f x满足12()()3f xfxx，求()f x；解：1配凑法：3331111()()3()f xxxxxxxx，3()3f xxx2x 或2x；2换元法：令21tx 1t，则21xt，2()lg1f tt，2()lg
9、(1)1f xxx；3待定系数法：设()(0)f xaxb a，则3(1)2(1)333222f xf xaxabaxab5217axbax，2a，7b，()27f xx；-4方程组法：12()()3f xfxx 把中的x换成1x，得132()()ff xxx，2 得33()6f xxx 1()2f xxx。5.设 a 是正数，a*+y=2(*0,y0)，记 y+3*21*2的最大值是 M(a)，试求：M(a)的表达式；解 将代数式 y+3*21*2表示为一个字母，由 a*+y=2 解出 y 后代入消元，建立关于*的二次函数，逐步进展分类求 M(a)。设 S(*)=y+3*21*2,将 y=2a*代入消去 y，得：S(*)=2a*+3*21*2 =21*2+(3a)*+2 =21*(3a)2+21(3a)2+2(*0)y0 2a*0 而 a0 0*a2 下面分三种情况求 M(a)(i)当 03a0)，即 023302aaa时 解得 0a1 或 2a0)即 02302aaa时，解得：1a2，这时-M(a)=S(a2)=2aa2+3a2212)2(a =22a+a6(iii)当 3a0；即 a3 时 M(a)=S(0)=2 综上所述得：Ma=)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222aaaaaaaa
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