理论力学13动能定理

《理论力学13动能定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学13动能定理（71页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十三章 动能定理 力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率功率方程机械效率 前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的联系。在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功与动能。引言13.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图，则力所作的功W定义为cosWFs F s功是代

2、数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应，因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J(焦耳),1J1 Nm。力的功13.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。力F在微小弧段上所作的功称为力的元功,记为dW,于是有cosdWFs13.1 力的功MM1M2dsMdrF力在全路程上作的功等于元功之和0cos dsWFs上式称为自然法表示的功的计算公式。dW Fr21dMMW Fr称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中ddddxyzFFFxyz Fijk,rijkdddxyzWF xF yF z21(ddd)MxyzMWF xF yF z13.1 力的功上两式可写成矢量

3、点乘积形式上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。1)重力的功 设质点的质量为m，在重力作用下从M1运动到M2。建立如图坐标，则0,0,xyzFFFmg 代入功的解析表达式得211212()d()zzWmgzmg zz13.1.3 常见力的功13.1 力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz对于质点系，其重力所作的功为1212121212()()()()iiiiiiiCCCCWm g zzm zm zgMzMzgMg zz 由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。常见力的功2)弹力的功 物体受到弹性力的作用,作用点的轨迹为图示曲线A1A2,在弹簧的弹性

4、极限内,弹性力的大小与其变形量d 成正比。设弹簧原长为l0,则弹性力为00()k rl Fr22111200d()dAAAAWk rlFr=rrA1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr常见力的功于是212212010201()d()()2rrWk rlrkrlrl或)(21222112ddkW因为2011ddd()dd22rrrrrrrrrr r弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。常见力的功3)定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,将该力分解为Ft、Fn和Fb，常见力的功当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为tcosFF

5、ddsRjR为力作用点A到轴的垂距。力F的元功为ttddddzWFsF RMjjFr=FtFrFbFnOzO1A力F在刚体从角j1转到j2所作的功为2112dzWMjjjMz可视为作用在刚体上的力偶a例1 如图所示滑块重P9.8 N，弹簧刚度系数k0.5 N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N，滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。先计算T 的功：在运动过程中，T 的大小不变，但方向在变，因此T 的元功为cosdTWT

6、xa2215)20()20(cosxxaT15 cmBA20 cmTPFN因此T在整个过程中所作的功为再计算F的功：由题意：12.55cm0.5d252025cmd因此F在整个过程中所作的功为22221211()0.5(525)150N cm22FWkdd 因此所有力的功为200 15050N cmTFWWWT15 cmBA20 cm2020220020cosd20d200 N cm(20)15TxWTxxxa1.质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为221mvT 动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。2.质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即

7、221iivmT13.2 质点和质点系的动能 刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动形式不同时，其动能的表达式也不同。(1)平动刚体的动能13.2 质点和质点系的动能222212121CiCiiMvmvvmT (2)定轴转动刚体的动能22222211221122iii ii izTmvm rm rJ (3)平面运动刚体的动能212PTJ因为JPJC+md 2所以2222)(2121)(21dmJmdJTCC因为dvC,于是得222121CCJmvT平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能的和。13.2 质点和质点系的动能dCPC221122CCTmvI21,2CCImR v

8、R243CmvT 牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:均质圆环在地面上作纯滚动时的动能见 P183。vABC解：II 为AB杆的瞬心234ATMvsinlv222111223IlImlmml22221126sin3ABIABmvTImv219412TMm v总例2 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。vIAAABTTT总aOrdrO1PABC例3 长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角速度 绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线

9、的交角为a，求杆的动能。1sinrvO Bra1ddPmrlg22221ddsind22rPrTm vrgla杆OA的动能是22222200dsindsin26llPrPlTTrglgaa解：取出微段dr到球铰的距离为r，该微段的速度是微段的质量微段的动能O1例4 求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为，j=60。解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:12 cosAABvO Aaaj 222122AAAmaTm vABOCjvCvBvAA

10、B12 sin3BABvO Baaj 2221322BBBmaTm v1cABvOCOCA BABvAvCOCjO1vBAB对于曲柄OC：2213OOCImama规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式求动能：211222181232(2)2OCABIImOCmam ama22222222221314226372ABOCABTTTTTmamamamama2221126OCOTIma22211423ABOABTIma系统的总动能为：BjA例5 滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。解：AB杆作

11、平面运动，其质心C的速度为CACAvvv 速度合成矢量图如图。由余弦定理222221122222142cos(180)()2coscosCACAA CAAAAAvvvv vvlvlvll vjjj则杆的动能221122222221111242122221123(cos)()(cos)CCAAAATmvJm vll vmlm vll vjjvAjBAlvAvCAvCvA1.质点的动能定理 取质点运动微分方程的矢量形式ddmtvF在方程两边点乘dr，得ddddmtvrFr因drv dt，于是上式可写成ddm vvFr或21d()2mvW13.3 动能定理质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。积

12、分上式，得212121d()2vvmvW或1221222121Wmvmv在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。13.3 动能定理21d()2mvW2.质点系的动能定理 设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速度为vi，根据质点的动能定理的微分形式，有21d()2iiimvW式中dWi表示作用在第i个质点上所有力所作的元功之和。对质点系中每个质点都可以列出如上的方程，将n个方程相加，得21d()2iiim vW 13.3 动能定理21d()2iiimvW 于是得diTW 质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力所作的元功之和。对上式积分，得1212WTT质

13、点系在某一运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和。13.3 动能定理13.3 动能定理3.理想约束及内力作功对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。滑动摩擦力作负功。当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功；刚体所有内力作功的和等于零。例6 一长为l，质量密度为的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初

14、始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。bbl 解得lblgv)(222解:链条在初始及终了两状态的动能分别为01T22221lvT 在运动过程中所有的力所作的功为)(21)(21)()(2212blgblblgblgbW由1212WTT例7 已知：m，R,f，j。求纯滚动时盘心的加速度。jCFNmgvCF解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移 s时速度达到vc。s10T 力的功：jsin12mgsW由动能定理得：jsin0432mgsmvC2243CmvTjsin32ga 解得：例8 卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m

15、1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S 时的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为sgmRsMWasin2112系统在初始及终了两状态的动能分别为01T22221122111222CCTIm vIaFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中2111Im R22212CIm R11RvC22RvC于是)32(42122mmvTC由1212WTT得sgmRsMmmvCasin0)32(421212解之得)32()sin(221112mmRsgRmMvCaaFNFSm2

16、gm1gFOxFOyMOC例9 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。解：分析系统，初瞬时的动能为01T 设连杆OA运动到水平位置时的角速度为，由于OAAB，所以杆AB的角速度也为，且此时B端为杆AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为零，vB=0。系统此时的动能为22222222211221 11 11()()2 32 33OBTIImlmlmlOaAFBvAvB 系统受力如图所示，在运动过程中所有的力所作的功为122(sin)sin2()sinlWmgFlmgF laaa22

17、10()sin3mlmgF la解得3()sinmgFlmaOaAFBmg mgFSFNm1gFOxFOy1212WTT由得例例 10 已知：已知：J1，J2，R1，R2，i12=R2/R1 M1 ，M2。求轴。求轴的角加速度。的角加速度。M1M2解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象2222112121210JJTT21121221jjRRi由运动学可知：由运动学可知：21212212)(21iJJT主动力的功：主动力的功：11221221112)(jjjiMMMMW由动能定理得：由动能定理得：112212121221)(0)(21jiMMiJJ将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并

18、注意1111,jadtddtd解得：解得：)()(2122112211iJJiMMaM1M2例11 两根完全相同的均质细杆AB和BC用铰链B连接在一起，而杆BC则用铰链C连接在C点上，每根杆重P10 N，长l1 m，一弹簧常数k120 N/m的弹簧连接在两杆的中心，如图所示。假设两杆与光滑地面的夹角 60时弹簧不伸长，一力F10 N作用在AB的A点，该系统由静止释放，试求 0时AB杆的角速度。ACBODvAvDvBFBCAB解：AB杆作平面运动，BC杆作定轴转动，找出AB杆的速度瞬心在O点，由几何关系知OBBCl，因此由BABBCvOBBC得ABBC同时还可以得出结论，当0时O点与A点重合，即

19、此时A为AB杆的速度瞬心，所以10T 22222111223AABCBCPTJJlg主动力做功(22 cos)FWFsFllFl重力做功132sin22PWPlPl弹簧力做功222212111()0()2228ElWkklkldd 外力所做总功2123128FPEWWWWFlPlkl由动能定理的积分形式得：2 22131328PlFlPlklg311()/3.28 rad/s283WPWkllg 因为系统属理想约束，所以约束反力不做功，做功的力有主动力F，重力P和弹簧力，分别求得如下：解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为 例12 如图，重物A和B通过动滑轮D和定滑轮而运动。如果重物A开始时向下

20、的速度为v0，试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。设重物A和B的质量均为m，滑轮D和C的质量均为M，且为均质圆盘。重物B与水平面间的动摩擦系数为f，绳索不能伸长，其质量忽略不计。2012ATmvDAB2v0Cv02220021 1()()2 2CCCvTMrMvr22001(2)22BTmvmv2107104ABCDMmTTTTTv222200011 13()()22 24DDDvTMvMrMvr 系统受力如图所示，设重物A下降h高度时，其速度增大一倍。在此过程中，所有的力所作的功为122(1 2)WmhMhf mghMfm hg由1212WTT得203(710)(1 2)4Mm vMfm

21、 hg解得203(710)4(1 2)vMmhg Mfm速度增大一倍时的动能为220(710)TMm vDABCmgMgMgmgFNFSFOyFOx 例13 图示机构，均质杆质量为m10 kg，长度为l60 cm，两端与不计重量的滑块铰接，滑块可在光滑槽内滑动，弹簧的弹性系数为k360 N/m。在图示位置，系统静止，弹簧的伸长为20 cm。然后无初速释放，求当杆到达铅垂位置时的角速度。解：以系统为研究对象，则运动初瞬时的动能为01T 当杆运动到铅垂位置时，其速度瞬心为杆端B，设此时杆的角速度为，则系统的动能为222222211 1()22 31 1(10 0.6)0.6N m2 3PTJml3

22、0BACmg30 cm 在系统运动过程中，只有重力和弹力作功，所以在系统运动过程中所有的力所作的功为221212221(cos30)()2220.630.6110 9.8()360(0.20.1)22221.46 N mllWmgkdd1212WTT由得46.16.02所以1.461.56rad s0.630BACmg30 cm力的功率力所作之功对时间的变化率vFttWPdvFrFddd力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。jdMdtdMtWPd 作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积。质点系动能定理的微分形式iiWTdd 等式两边同除以dtiiiiPtW

23、tTdddd 质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。功率方程无用有用输入PPPtTdd输入P有用P无用P 输入功率 有用功率，输出功率 无用功率，损耗功率输入功率输入功率有效功率有效功率dtdTP有用有效功率有效功率n21 系统的总效率例 题 19 车床电动机的功率P输入5.4 kW。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30。工件的直径d100 mm。求：转速n=42 r/min 和 n=112 r/min 的允许最大切削力。解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化0ddtT无用输入有用PPPkW45.输入PkW62130.%输入无用PPkW783.无用输入

24、有用PPP切削力F 与工件在切削力作用点的速度v 同向302ndFFvPvF有用有用PdnF60切削力F 与工件在切削力作用点的速度v 同向302ndFFvPvF有用有用PdnF60当 n=42 r/min 时kN1917783420.160.F当 n=112 r/min 时kN4567832110.160.F1.势势 力力 场场 如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场（保守力场）。2.势势 能能 在势力场中，质

25、点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能，以V 表示为00)(MMMMZdzYdyXdxdVrFa.重力场中的势能重力场中的势能b.弹性力场中的势能弹性力场中的势能取取M0为零势能点，则点为零势能点，则点M 的势能为：的势能为：)(00zzmgmgdzVzz)(2202ddkV取弹簧自然位置为零势能点，则有：取弹簧自然位置为零势能点，则有：22dkV c.万有引力场中的势能万有引力场中的势能)11(122022100rrmmfdrrmfmdrmfmdV1rr21AAAA1rrrF取无穷远处为零势能点，则有：取无穷远处为零势能点，则有：rmmfV12有势力所作的

26、功等于质点系在运动过程的初始与终有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。了位置的势能的差。121WVV3.机械能守恒定律机械能守恒定律 保守系统保守系统 仅在有势力作用下的系统。仅在有势力作用下的系统。机械能机械能 系统所具有的动能与势能的总称。系统所具有的动能与势能的总称。机械能守恒机械能守恒 系统仅在有势力作用下运动时，系统仅在有势力作用下运动时，其机械能保持恒定。其机械能保持恒定。2211VTVT常数EVT 前面分别介绍了动力学普遍定理(动量定理、动量矩定理和动能定理)，它们从不同角度研究了质点或质点系的运动量(动量、动量矩、动能)的变化与力的作用量(冲量、力矩、功

27、等)的关系。但每一定理又只反映了这种关系的一个方面，即每一定理只能求解质点系动力学某一方面的问题。动量定理和动量矩定理是矢量形式，因质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，应用时只需考虑质点系所受的外力；动能定理是标量形式，在很多问题中约束反力不作功，因而应用它分析系统速度变化是比较方便的。但应注意，在有些情况下质点系的内力也要作功，应用时要具体分析。13.6 普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用有两方面含义：其一，对一个问题可用不同的定理求解；其二，对一个问题需用几个定理才能求解。下面就只用一个定理就能求解的题目，如何选择定理，说明如下：(1)与路程有关的问题用动能定理，与时间有关的问题用

28、动量定理或动量矩定理。(2)已知主动力求质点系的运动用动能定理，已知质点系的运动求约束反力用动量定理或质心运动定理或动量矩定理。已知外力求质点系质心运动用质心运动定理。13.6 普遍定理综合应用 (3)如果问题是要求速度或角速度，则要视已知条件而定。若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上的投影为零，则可用动量守恒定律求解。若质点系所受外力对某固定轴的矩的代数和为零，则可用对该轴动量矩守恒定律求解。若质点系仅受有势力的作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解。若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解。(4)如果问题是要求加速度或角加速度，可用动能定理求出速度(或角速度)，然后再对时间求

29、导，求出加速度(或角加速度)。也可用功率方程、动量定理或动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，不作功的未知力在方程中不出现，给问题的求解带来很大的方便。13.6 普遍定理综合应用 (5)对于定轴转动问题，可用定轴转动的微分方程求解。对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。有时一个问题，几个定理都可以求解，此时可选择最合适的定理，用最简单的方法求解。对于复杂的动力学问题，不外乎是上述几种情况的组合，可以根据各定理的特点联合应用。下面举例说明。13.6 普遍定理综合应用 例14 如图，均质杆质量为m，长为l，可绕距端点l/3的转轴O转动，求杆由水平位置静止开始转动到任一位置时的角

30、速度、角加速度以及轴承O的约束反力。解：本题已知主动力求运动和约束反力。01T杆作定轴转动，转动到任一位置时的动能为222222181)32(1212121mlllmmlJTO在此过程中所有的力所作的功为jsin6112mglmghWjCOmg解法1：用动能定理求运动以杆为研究对象。由于杆由水平位置静止开始运动，故开始的动能为零，即22110sin186mlmglj由2112TTW 得23singlj 将前式两边对时间求导，得d3d2cosddgtltjj3cos2glaj3singljjCOmg解法2：用微分方程求运动CO()OOJMa Fmg由定轴转动微分方程003dcosd2glj j

31、j即jj002sin2321lg所以jsin3lg21cos96lmlmgaj得3cos2glaj即ddddddddttjajj又d3cosd2gljj所以FOyFOxajCOaxyaCxaCy 现在求约束反力。tn23cossin(1 3sin)4CyCCgaaajjj tn3sincossincos4CxCCgaaajjjj 质心加速度有切向和法向分量：atCanCtcos4CgaOCajn2sin2CgaOCj将其向直角坐标轴上投影得：COmgxyaCxaCyFOyFOx23(1 3sin)4OymgFmgj3sincos4OxmgFjj由质心运动定理得：解得：3sin28OxmgFj

32、2(1 9sin)4OymgFj,CxxCyymaFmaF BA 例15 物块A和B的质量分别为m1、m2，且 m1m2，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。解一：取单个物体为研究对象。分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得21()(3)2ABmrFF ram1gFAam2gFBaABOr11(1)Am am gF22(2)Bm aFm g0(4)OxF0(5)OyABFFFmgFBFAFOxFOyOmga

33、 ara由以上方程联立求解得：12122()2()mmagmmm0OxF21212122()()2()OymmFmmm ggmmm注意到 解二：用动能定理和质心运动定理。解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统动能为22221122212111()()2221(22)4vTmvm vmrrmmm v所有力的元功的代数和为1212()d()diWmm gsmm gv t12121(22)d()d2mmm v vmm gv t于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmg由微分形式的动能定理得12122()2()mmagmmm121d(22)d2Tmmm v v 1212()()Cy

34、Oymmm aFmmm g由质心坐标公式1212Cymmaammm 于是可得21212122()()2()OymmFmmm ggmmmBAm1gvm2gvFOxFOyOmg由得,CxxCyymaFmaF 1212iiABOCim ym ym ymyymmmm 解三：用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为212121()21(22)2OLm vrm vrmrmmm vr1212d1(22)()2dvmmm rmmgrt然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力。BAm1gam2gaFOxFOyOmge由得d()dOOLMt

35、F12122()dd2()mmvagtmmm 例16 如图所示，均质圆盘可绕O轴在铅垂面内转动，圆盘的质量为m，半径为R。在圆盘的质心C上连结一刚性系数为k的水平弹簧，弹簧的另一端固定在A点，CA2R为弹簧的原长，圆盘在常力偶矩M的作用下，由最低位置无初速地绕O轴向上转。试求圆盘到达最高位置时，轴承O的约束反力。解：以圆盘为研究对象，受力如图，建立如图坐标。212220(2 22)220.3431kWMmgRRRMmgRkRMOCACAayxMmgFFOxFOyO4510T 22221324OTJmR1322222OJmRmRmR222320.34314mRMmgRkR解得)3431.02(3

36、422kRmgRMmR由2112TTW 得yCAaxMmgFFOxFOyO45再由定轴转动微分方程得232(2 22)22mRMkRR Ra解得222(0.5859)3MkRmRa22(0.5859)3CxMkRaRmRa )3431.02(3422kRmgRMmRRaCycos45CxOxmaFFsin45CyOymaFmgF代入加速度解得20.19533OxMFkRR 3.6671.0434.189OyMFmgkrRyCAaxMmgFFOxFOyO45yxanCatCaCxaCy由质心运动微分方程得 例17 均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚

37、到达地面时的角速度和地面约束力。解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置(与水平方向夹角为)时的角速度为2cosCCvvCPl此时杆的动能为2222)cos311(212121CCCvmJmvT初动能为零，此过程只有重力作功，由)sin1(2)cos311(2122lmgvmC当0时解出glvC321lg32112TTW PACvCvA 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得(1)ACmgFma21(2)212AClFJmlee 杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为tnCACACAaaaa沿铅垂方向投影，得t(3)2CC

38、Alaaa联立求解方程(1)(3)，得14AFmgACaaCmgFAACaCa anCAaAatCAOD(b)例18 图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为，求三棱柱体的加速度。ACBOvr DavvevDvODvDa 解：整体系统在水平方向上受力为零，所以系统的动量在水平方向上守恒。设某瞬时三棱柱的速度是v，圆柱体的角速度是。求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度，该速度可用两种方法求得：基点法：取圆柱体与三棱柱的接触点D为基点，分析圆柱体中心O点的速度，如图(b)所示,ODODDODvv v

39、rvvv复合运动法：取圆柱体中心O为动点，动系与三棱柱固连，则O点的速度分析如图(a)所示,aerervv vrvvv(a)cosOxvvr cosOxvvr xya araem2gFSFNOD01120,(cos)xxppm vmvr 由动量守恒定理:1012(cos)0 xxppmvmvr 两边对时间t求导得122()cos0(*)mm am ra欲求a需先求出a，取圆柱体分析如图(c)所示，由平面运动微分方程得()OOJMa F2212Sm rF ra从中解出2 cos2 sin3agra22122sin232sinm gammm求出系统动量的水平分量：22()sincosSmmragFa2Oxxm aF xy代入(*)式得coscosOxreaaaraa