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1、1 题目：方程的根与函数的零点 一、教材分析 1、教学的地位与作用 方程的根与函数的零点是高中数学必修 1 第三章函数的应用第一节函数与方程的内容。本节课是在学生学习了基本初等函数（）的基础上，学习函数与方程的第一课时，并为下一节用二分法求方程的近似解做准备。本节内容蕴含了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，通过函数与方程的联系体验转化思想的意义和价值，感受函数和方程是描述宏观世界变化规律的基本数学模型和重要的数学工具。2、教学的重点和难点 本节教学的重点是掌握函数零点的概念，理解方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断，并运用数学软件几何画板绘制简单函数的图像。本节课的难
2、点是应用函数零点判定定理判断零点的存在或确定零点，理解判定定理的充分非必要性。二、教学目标 1、知识与技能 运用数学软件几何画板绘制二次函数的图像，观察二次方程实数根与二次函数图像之间的关系，由具体到抽象，掌握函2 数零点的概念，理解函数零点与相应方程实数根之间的关系，掌握函数零点存在性的判断。2、过程与方法 通过对现实生活中的过河问题的分析，体会函数和方程之间的转化关系，使学生理解动与静的辩证关系，经历从系统的角度去思考局部问题，领会具体到抽象、数形结合等重要的数学思想，在应用数学软件几何画板绘制函数图像的过程中，感受现代数学信息技术的魅力，体验应用数学软件解决数学问题的科学和快捷。3、情感
3、态度与价值观 通过探索学习活动，激发学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，发展数学思维，提升运用函数和方程这两个基本数学工具解决问题的能力。三、学情分析 1、零点概念的认识和确定。零点的概念是在分析了众多函数图像的基础上，由图像与 x 轴的位置关系得到的一个形象的概念，即利用函数图像研究零点问题，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以学生在概念的接受上和确定上存在障碍和困难 2、零点存在性的判断。因为 f（a）f（b）0 且图像在区间a,b上连续不断，是函数 f(x)在区间a,b上有零点的充分而非必要条件，容易引起学生思维上的混乱。3 3、函数与方程的区别和联系。函数和方程是两个重要的数
4、学模型和工具，通过函数零点和方程根的角度理解函数与方程之间的区别和联系，学生在理解和掌握上会存在一定障碍，需要时间和练习调整思维模式。四、教学方法与教学手段 运用问题教学法和启发教学法，辅助现代数学信息技术几何画板完成教学任务，帮助学生理解和掌握方程的根与函数的零点的内容。五、教学过程（一）引入课题 教师提出问题：求方程 x2-2x-3=0 的实数根 求 lnx+2x-6=0 的实数根 学生思考回答：方程 x2-2x-3=0 的实数根可以通过公式求解，而 lnx+2x-6=0 的实数根很难下手 设计意图：寻求新的角度函数来解决方程的问题，从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进
5、一步的探究。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。（二）新知探究 1、零点的概念（1）教师提出问题 1 求方程 x2-2x-3=0 的实数根，要求学生运4 用几何画板画出函数 y=x2-2x-3 的图像；学生思考回答：方程 x2-2x-3=0 的实数根为-1，3。函数 y=x2-2x-3的图像如图所示 （2）教师提出问题 2 观察形式上函数 y=x2-2x-3 与相应方程x2-2x-3=0 的联系。学生思考回答：函数 y=0 时的表达式就是方程 x2-2x-3=0（3）教师提出问题 3 由于形式上的联系，则方程 x2-2x-3=0 的实数根在函数 y=x2-2x-3 的图像
6、中如何体现？学生思考回答：y=0 即为 x 轴，所以方程 y=x2-2x-3 的图像与 x轴的交点横坐标（4）教师初步提出零点的概念：-1,3 即是方程 x2-2x-3=0 的根，又是函数 y=x2-2x-3 在 y=0 时 x 的值，也是函数图像与 x 轴交点的横坐标。-1,3 在方程中称为实数根，在函数中称为零点。（5）引导学生提出零点的定义：对于函数 y=f(x)，把使 f(x)=0成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。8642246105510153-15 研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图像与 x 轴的交点情况。设计意图：以学生熟悉的二次函数图像和二
7、次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。（6）教师提出问题 4 函数 y=x2-2x+1 和函数 y=x2-2x+3 零点分别是什么？学生思考回答：函数 y=x2-2x+1 的零点是 1。函数 y=x2-2x+3 不存在零点。设计意图:应用定义，加深对概念的理解。2、函数零点的判定：教师提出问题 5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头，有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片段。现在有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河。（）()6 学生思考回答：第 组能说明
8、他的行程中一定曾渡过河，而第组中他的行程不一定曾渡过河。设计意图：从现实生活出发，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。教师提出问题 6 将河流抽象成 x 轴，将前后的两个位置视为 A,B两点。请问 A,B 与 x 轴怎样的位置关系时，A、B 间的一段连续不断的函数图像与 x 轴一定会有交点？学生思考回答：A、B 两点在 x 轴的两侧。设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，让学生把函数图像理解为一种动态的过程。教师提出问题 7 A、B 与 x 轴的位置关系，如何用数学符号表示 学生思考回答：A、B 两点在 x 轴的两侧。可以用 f(a)f(b)0来表示 设计意图：将图像语言转化为数学
9、语言，培养学生运用数学语言表达问题的能力。通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理。（三）新知应用与深化 例题 1 观察下表，分析函数 f(x)=3x5+6x-1 在定义域内是否存在零点？X-2-1 0 1 2 f(x)-109-10-1 8 107 学生思考回答：函数 f(x)=3x5+6x-1 图像是连续不断的，又因为7 f(0)f(1)0,所以在区间（0，1）上必存在零点。教师通过几何画板验证学生的分析和猜想。设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题，同时借助几何画板作函数图像，验证结论，对函数形成一个直观认识。例题 2 求函数 lnx+2x-6=0 的零点个数。
10、分析:让学生用计算器或计算机做出 x 和 f(x)的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)-4-1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 由表可知 f(2)f(3)0，这说明函数 f(x)在区间（2，3）内有零点。函数 f(x)的单调性为增，f(x)零点是只有唯一一个。用几何画板画出函数的图像，验证结论。86422468105510153-18 设计意图：学生应用例题 1 来解决例题 2 的零点存在性问题，并结合函数的单调性判断零点的个数问题，并让学生应用计算器和计算机技术，体验教学的信息技术。（四）总结归纳设计 引导学生回顾零点概念以及零点存在性
11、判断，鼓励学生积极回答，老师进行总结。（五）布置作业 必做题：1、求下列函数的零点（1）y=x2-5x-4 （2）y=-x2+x+20(3)y=（x-1）(x2-3x+1)(4)y=(x2-2)(x2-3x+2)2、已知 f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m-1（1）m 为何值时，函数的图像与 x 轴有两个零点（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值。选做题：108642246105510153-19 设函数 f（x）=2x-ax+1(1)利用计算机探求 a=2 和 a=3 时函数 f(x)的零点个数（2）当 a 是实数，函数 f(x)的零点是怎样分布的？六、板书设计 课题：方程的根与函数的零点 基础概念和知识 探究过程 例题 1 例题 2
教学设计(方程的根与函数的零点)6092
