华南理工大学高数答案第9章

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1、华南理工大学高数答案第9章 院 系 班级 姓 名 作业编号 第九章 曲线积分与曲面积分 作业13 对弧长的曲线积分 2 1．计算Ñòxds，其中L为直线y=x及抛物线y=x所围成的区域的整个边界． L 解：L可以分解为L1:y=x,y¢=1,xÎ[0,1]及L2:y=x,y¢=2x,xÎ[0,1] 2 1 1 Ñòxds= L 1 ò L1 xds+ ò L2 xds= ò 0 x×1+1dx+ 2 ò 01 x×1+(2x)dx 1

2、2 = 2òxdx+ 0 18 1 ò 0 1+4xd(1+4x 2 2 ) = 2x2 2 0 122 +×(1+4x)2 83 3 = 0 22 + 5512 - 112 4 æ4ö 2．òçx3+y3÷ds，其中L为星形线x=acos3t, y=asin3t在第一象限内的弧 Lèø πöæ0£t£ç÷． 2èø 解：L为x=acos3t, y=asin3t,tÎê0, ë dxdt =-3acostsint, p 2 4 2 é pù , 2úû dydt =3asintcost,ds=3asi

3、ntcostdt p 2 2 原式= ò 0 a3(cost+sint)×3asintcostdt= 4 4 ò 0 3 æ21ö2 a3ç1-sin2t÷sin2tdt 22èø p 2 7 7 =- 38 7 p 2 a 3 ò 0 1æö (1+cos2t)dcos2t=-8açcos2t+3cos32t÷ èø0 2 3 3 7 =a3 3．计算òxyzds，其中G折线ABC，这里A，B，C依次为点(0,0,0),(1,2,3),(1,4,3)． G 解：AB: x1 = y2 = z3 ,x

4、=t,y=2t,z=3t,tÎ[0,1],ds= 14dt BC:x=1,z=3,y=t,tÎ[2,4],ds=dt CA: x1=y4=z3 ,x=t,y=4t,z=3t,tÎ[0,1],ds= 1 4 26dt ò G xyzds= ò AB xyzds+ ò BC xyzds= òt×2t×3t×14dt+ò1×t×3dt= 0 2 32 14-18 1 《高等数学》同步作业册 4．ò G (x 2 +y 2 )zds，其中G为螺线x=tcost, y=tsint,z=t上相应于t从0变到1 2+tdt 2

5、 2 的一段弧． 解：G为x=tcost, y=tsint,z=t,tÎ[0,1],ds= 1 2 ò(x G 2 +y 2 )zds=òt 0 2 ×t×2+tdt= 1 2 1 1 2 ò(t2 0 +2-2)2+td(t+2) 53 ù1é2222 22 =ê(t+2)-2×(t+2)ú2ë53û = 0 93-42 5 2 - 63-42 3 = 8215 - 35 5．计算Ñò L x+yds，其中L：x+y 222 =ax,a>0． 解：将L参数化，x=rcost,y=rsintÞr2=a

6、rcost,r=acost,x=acos2t, éppù y=acostsint,tÎê-,ú,dx=-asin2tdt,dy=acos2tdt,ds=adt ë22û p 2 p 2 Ñò L x+yds= 22 -p ò 2 acostadt=2 22 ò 0 acostdt=2asint 22 p 0 2 =2a 2 6．计算Ñòe L x+y 22 ds，其中L为圆周x+y 22 =a，直线y=x及x轴在第一象限内 2 所围成的扇形的整个边界． 解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分 épL1:y=0

7、,xÎ[0,a],ds=dx;L2:x=asint,y=acost,tÎê0, ë4é L2:y=x,xÎê0, ë a x+y 2 2 ù ú,ds=adt; û 2aù ú,ds=2û p x 4 a 2dt;L=L1+L2+L3 2a 2 从而Ñòe La ds= a òedx+ 0a ò 0 e×adt+ a ò 0 e 2x ×2dx=e x a0 + ap4 2a e+e a2x 0 2 =e-1+ ap4 e+e-1=2e+ ap4 e-2 a 2 院 系

8、 班级 姓 名 作业编号 作业14 对坐标的曲线积分 1．计算下列第二型曲线积分： (1) x 22 Ñò(x+y)dx+(x-y)dy，其中L为按逆时针方向绕椭圆a L + yb 22 =1一周； 解：L为x=acost,y=bsint,t:0®2p 2p 原式= 2p ë-asint(acost+bsint)+bcost(acost-bsint)ùûdt òé 0 2p = ò 0 22æöæabsin2ta2+b2öa+babcos2t-sin2tdt=

9、+cos2tç÷ç÷ 224èøèø =0 0 (2) ò G xdx+ydy+(x+y-1)dz ，其中G是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； x-12-1 =y-13-1 =z-14-1 ,x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,t:0®1 解：G是 1 原式= 1 ë(1+t)+2(1+2t)+3(1+t+1+2t-1)ùûdt òé 0 10 = ò(6+14t)dt=(6t+7t 0 2 ) =13 (3) ò G ydx-xdy+dz，其中G是圆柱螺线x=2cost,y=2sint,z=3 t从t=0

10、到 t=2π的一段弧； 解：G是x=2cost,y=2sint,z=3 t,t:0®2p 2p 原式= 2p ë2sint(-2sint)-2cost(2cost)+3ùûdt òé 0 = ò(-4+3)dt=(-t)0 0 2p =-2p (4) 计算曲线积分ò(12xy+e)dx-(cosy-xe)dy,其中L为由点A (-1, 1)沿抛物线 L yy y=x到点O (0, 0), 再沿x轴到点B (2, 0)的弧段． 2 解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分 AO:y=x,x:-1®0；OB:y

11、=0,x:0®2 2 3 《高等数学》同步作业册 0 2 0 (12xx+e)dx-(cosx-xe)2xdx+ò(e)dx 0 2 3 2 x 2 原式= 0 ò -1 2x 2 = ò(12x -1 4 +e x 2 -2xcosx+2xe)dx+òdx 0 0 0 x 2 22x 2 =(3x-sinx 2 ) 0-1 + òe -1 dx+ òxde -1 x 2 +2=-1+sin1+xe x 2 0-1 =sin1+e-1 2． 设力F的大小等于作用点的横坐标的平方

12、，而方向依y轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线1-x=y2从点(1,0)移动到点(0,1)时，力F所作的功． 解：F=x2{0,-1}={0,-x2},ds={dx,dy},L:x=1-y2,y:0®1 rr Fds= 1 r r W= ò L ò(-x)dy=-ò(1-2y 2 L 0 2 +y 4 )dy=-çy- è æ2y3 3 + yö8 =-÷ 5ø15 0 5 1 3．把对坐标的曲线积分òP(x,y)dx+Q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中L L 为： (1) 在xOy平面内沿直线从点(0,0)到点(

13、1,1)； (2) 沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)． 解：L:y=x,x:0®1,dx>0;ds=1+12dx=P(x,y)dx+Q(x,y)dy= 2dx éëP(x,x)+Q(x,x)ùû L ò L ëP(x,x)+Q(x,x)ùûdx=òLé ò 2 ds L:y=x2,x:0®1,dx>0;ds=1+4x2dx P(x,y)dx+Q(x,y)dy= éP(x,x2)+2xQ(x,x2)ùdx= òLëû éëP(x,x)+2xQ(x,x)ùû L ò L ò 1+4x 2 ds 4 院 系 班级

14、 姓 名 作业编号 作业15 格林公式及其应用 1．填空题 (1) 设L是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界, (2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy= 12 ． Ñò L (2) 设曲线L是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形边界， dx+dyx+y Ñò L 不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_． 相应于曲线积分òP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz的第一型的曲

15、线积 L 分是ò P(x,y,z)+3R(x,y,z) L 5 ds． 其中L为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算I= 2 ò L (esiny-y)dx+(ecosy+x)dy,其中L是沿半圆周 x3x3 x=-a-y 从点A(0,-a)到点B(0,a)的弧． 2 解：L加上BA:x=0,x:a®-a构成区域边界的负向 -a I= ò L (esiny-y)dx+(ecosy+x)dy=-òò3(x+y x 3 x 3 2 D 2 a a 3 2 )ds-òcosydy a 3p =-

16、3 p ò 2 dqòrdr+ 0 òcosydy=- -a 3pa4 4 +2sinav xy ùéxyù3．计算ÑòLéëye+3x-y+1ûdx+ëxe+3x-y+3ûdy,其中L为椭圆 xa 22 + yb 22 =1正向一周． 解：原式== é¶ù¶xyxy xe+3x-y+3-ye+3x-y+1()()údxdy òòê¶x ¶yûDë òò4dxdy=4pab D 5 《高等数学》同步作业册 4．计算曲线积分I= ò L f¢(x)sinydx+[f(x)cosy-πx]dy, 其中f¢(x)为连续函 数

17、，L是沿圆周(x-1)2+(y-π)2=1+π2按逆时针方向由点A(2,2π)到点 O(0,0) 的一段弧． 解：令L1:y=px,x:0®2 则，原式I= ò L+L1 -ò=òò(-π)dxdy- L1 D 2 ò L1 f¢(x)sinydx+[f(x)cosy-πx]dy =-π× p 1+p)-òé(ë2 2 0 2 f¢(x)sinpx+pf(x)cosπx-πxùûdx é2xù =-π×(1+p)-êf(x)sinpx-πú 22ûë p 2 2 2 =-π× 0 p 2 (1+p)+2p 2 2 = 3

18、p2 2 - p 4 2 5．计算Ñò xdy-ydxx+y 2 2 L ,其中L为 2 圆周(x-1)+(y-1)=1； öx+y-x×2x¶æxy-x¶æ-yö ===解：，而且原点不在ç2ç2222÷2÷2222¶xèx+yø(x+y)(x+y)¶yèx+yø 2 2 2 2 2 该圆域内部，从而由格林公式，原式=0 闭曲线x+y=1． öx+y-x×2x¶æxy-x¶æ-yö===解：，但所围区域内ç2ç2222÷2÷2222¶xèx+yø(x+y)(x+y)¶yèx+yø 2 2 2 2 部的原点且仅有该点不满足格林公式

19、条件，从而可作一很小的圆周x+y=0.01，在圆环域上用格林公式得， 原式= 22 Ñò xdy-ydxx+y 2 2 L1 = Ñò xdy-ydx0.01 L1 =100òò(1+1)dxdy=2p D 6．证明下列曲线积分在xOy平面内与路径无关,并计算积分值： ò (a,b) (0,0) e x (cosydx-sin x ydy)； 解：由于 ¶¶x (-esiny)=-esiny= x ¶¶y (e x cosy)在全平面连续，从而该曲线积分 6 院 系 班级

20、 姓 名 作业编号 在xOy平面内与路径无关，沿折线(0,0)®(0,b)®(a,b)积分即可， b a xaa -sinydy+ecosbdx=cosb-1+e-1cosb=ecosb-1 ()()òò0 0 原式= ò (2,1) (1,0 (2xy-y) ¶ 4 +3)dx+(x-4xy 2 3 )dy； 解：由于 ¶x (x 2 -4xy 3 )=2x-4y 3 = ¶¶y (2xy-y = 4 +3)在全平面连续，从而该曲线 积分在xOy平面内与路径无关，沿直线 2 x-12-1

21、y-01-0 ,y=x-1,x:1®2积分也可， 原式= 2 é2x(x-1)-(x-1)4+3+x2-4x(x-1)3ùdx òëû 1 = é3x2-2x+3-5(x-1)4-4(x-1)3ùdxòëû 1 5432 =éx-x+3x-(x-1)-(x-1)ù=5 ëû1 2 ò (π,2) (0,0 (e ) ¶ y cosx-m)dx+(esinx-my)dy． y 解：由于 ¶x (esinx-my)=ecosx= y y ¶¶y (e y cosx-m)在全平面连续，从而该曲 线积分在xOy平面内与路径无关，沿折线

22、(0,0)®(p,0)®(p,2)积分即可， p 2 0 原式= ò(e 0 cosx-m)dx+ ò(e 0 y sinp-my)dy=(sinx-mx) p 0 æmyö+ç-÷ 2èø0 2 2 =-mp-2m 7．设f(x)在(-¥,+¥)上具有连续导数，计算 1+yf L 2 ò 其中L为从点ç3, èæ (xy) y dx+ éy2f yë 2 x (xy)-1ùûdy， 2ö ÷到点(1,2)的直线段． 3ø ü (xy)-1ùûý=f þ ¶ìx2 解：由于yfí2éë¶xîy (xy)

23、+xyf¢(xy)- 1y 2 2 ¶é1+yf=ê¶yëy (xy)ù ú在 û 右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线 7 《高等数学》同步作业册 L1:xy=2,y= 2x ,x:3®1积分即可， 1 1+4 原式ò 3 x2 2 f(2) dx+ éx2êëx () 2 f(2)-1 2 ù úû-2dx x 2 1 x (x) 2 = ò 3 æx2ö1-9 ==-4 xdx=ç÷ 22èø3 1 8．验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数的全

24、微分,并求出它的一个原函数： xy éùdx+éex-(x+1)eyùdy； x+ye-e()ëûëû 解：由于 ¶ éex-(x+1)eyù=ex-ey=é(x+y)ex-eyù在全平面连续，从而ëûû¶x¶yë ¶ 该曲线积分在xOy平面内是某一函数的全微分，设这个函数为u(x,y)， ¶u¶x ¶u¶y ¶u¶y =e-(x+1)e, x y 则du=dx+dy, ¶u¶x xy =(x+y)e-e 从而u= ¶u¶x òéëe x yxy -(x+1)eùûdy=ey-(x+1)e+g(x) =(x+y)e-e=ey-e+g¢(x

25、)Þg¢(x)=xe x y x y x xxxxx g(x)=òxde=xe-òedx=xe-e+c，u=(x+y-1)e-(x+1)e+c xy (3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy； 解：由于 ¶¶x (x 3 +8xy+12ye 2y )=3x 2 +16xy= ¶¶y (3x 2 y+8xy 2 )在全平面连续， 从而该曲线积分在xOy平面内是某一函数的全微分，设这个函数为u(x,y)， 则原式=ydx+4ydx+xdy+4xdy+12yedy =ydx+xdy+4ydx+4xdy+d=d(yx 33

26、 3 2 2 2 2 322322y (ò12yde) y y )+d(4x 3 2 y 2 )+d(12ye y y -ò12edy=d(yx3+4x2y2+12yey-12ey) y ) 可取u=yx+4xy+12ye-12e (2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy 解：可取折线(0,0)®(x,0)®(x,y)作曲线积分 22 8 院 系 班级 姓 名 作业编号 x y 2 u= ò(2x)dx+

27、ò(2ysinx-x 0 0 siny)dy=ysinx+xcosy 2 2 9．设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关． 证：F={x+y2,2xy-8}， 质点在此场内任意曲线L移动时，场力所作的功为w= ¶¶x ¶ r ò(x+y)dx+(2xy-8)dy 2 L 由于 (2xy-8)=2y= éx+y2ù在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场û¶yë 力所作的功与路径无关． 9 《高等数学》同步作业册 作业16 对面积的曲面积分 1．计算

28、下列对面积的曲面积分： (1) òò(xy+yz+zx)dS å ,其中å为锥面z=2222 x+y被柱面x+y=2ax所截得 的有限部分； 解：å为z= x+y,zx= 2 2 xx+y 2 2 ,zy= yx+y 2 2 , dS= 1+zx+zydxdy= 2 22 2dxdy，D:0£r£2acosq,- p 2 2acosq p 2 £q£ p 2 原式= p òò å2 zxdS= òò D xx+y 4 2 2dxdy=2 p -p 2 ò 2 dq ò 0 3 rcosqdr

29、 =2 -p ò 2 cosq 2 (2acosq) 4 2 2 dq=82a 4 ò(1-2sin 0 2 2 2 q+sinq)dsinq= 4 2 642a15 4 òò(x+y+z å )dS,其中å为球面x a-y-z,xy= 2 2 2 +y+z=2ax． 解：å为两块x=a± ±ya-y-z 2 2 2 ,xy= ±za-y-z 2 2 2 dS= 1+zx+zydxdy= 22 aa-y-z 2a 2 222 dxdy，D:0£r£a,0£q£2p 原式= òò2axdS+

30、 å12 òò2axdS= å2 2 2 òò D (a+ 2 a-y-z 2 2 222 )dxdy 2p 2 a a-y-z 2a+òò D (a- 2a3 a-y-z 2 2 2 )dxdy=4a 3 2 3 a-y-z d(a-r 22 2 òò D2a0 dxdya-y-z 2 2 =4a 3 ò 0 dqò 0 2rdr2a-r 2 2 =-8pa ò 0 ) 2a-r 2 =-8pa×a-r=8pa 4 22 2．计算òòydS，S是平面x+y+z=4被圆柱面x

31、+y=1截出的有限部分． S 解：å为两块z=4-x-y,zx=-1,zy=-1，dS= D:0£r£1,0£q£2p 1+1+1dxdy=3dxdy， 10 院 系 班级 姓 名 作业编号 2p a 2p0 原式= òò D 3ydxdy=3 ò 0 sinqdqòrdr=-3cosq 0 2 × r 3 1 3 =0 0 3．求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积． 解：å为两块z=±a2-x2-y2,zx=

32、 aa-y-zadxdya-x-y p 2 ±xa-x-y 2 2 2 ,zy= ±ya-x-y 2 2 2 dS= 1+zx+zydxdy= 22 222 dxdy，D:0£r£a,0£q£2p p 2 acosq 原式= p òòdS+ å12 acosq òòdS=2òò å2 D 222 =2a -p ò 2 dq ò 0 2rdr2a-r 2 2 =2a -p ò 2 dq ò 0 2rdr2a-rha 2 22 =4a ò 0 ö2æp2 a-asinqdq=4a()ç-1

33、÷=(2p-4)a è2ø 4．设圆锥面z= x+y (a为圆锥面的底面半径，h为高),其质量均匀分布, 2 求它的重心位置． 解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为(0,0,z0) h 2 2 òòzdS=òòa S D x+y1+ ha 22 dxdy= ha+h a 2 22 2 òò D x+ydxdy 22 = ha+h a 2 2 22pa 2 òdqòr 0 0 dr= 2paha+h 3 2 2 22p a òòdS= S òò D 1+ ha 2 dxdy=2 2

34、 a+ha 22 òòdxdy= D a+ha 2hö÷ 3ø ò 0 dqòrdr=paa+h 0 22 z0= 2paha+h3paa+h 2 2 2 = 2h3 2 ，故重点坐标为ç0,0, è 2 æ 5．求抛物面壳z= 1 (x 2 +y )(0£z£1)的质量，此壳的密度按规律r 2 =z而变更． 解：m= òòrdS= S òò2(x D 1 2 +y ) x+y+1dxdy== 22 12 3 2p2 ò 02 dq ò 0 r 3 r+1dr 2 = p2

35、2 ò(t+1-1)t+1dt= 0 pé22êë5 (t+1)2- 5 ù (t+1)2ú3û 2 0 æ432ö =ç-p÷ç5÷15øè 11 《高等数学》同步作业册 作业17 对坐标的曲面积分 1．òòzdxdy+xdydz+ydzdx，其中S是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截 S 得的在第一卦限内的部分前侧． 解：x= 1-y,Dyz:0£y£1,0£z£3,cosa>0,xy= 2 -y1-y 2 ,xz=0 原式=òòzdxdy+ S òòxdydz+òòydzdx=0+òò S S Dyz 1-ydy

36、dz+ 2 òò Dzx 1-xdzdx 2 1 2 3 2 1 2 =2òò1-ydydz=2òdyò1-ydz=6ò1-ydz= Dyz 0 0 0 32 p 2．计算曲面积分òò(z+x)dydz-zdxdy，其中S为旋转抛物面z= S 2 12 (x+y)下 22 侧介于平面z=0及z=2之间的部分． 解：z= 12 (x+y),zx=x,zy=y,Dxy:x+y£4; 22 2 2 2 x=±2z-y,Dyz:0£z£2,-2z£y£ 2z. 原式=òò(z2+x)dydz+ S1 òò(z S1 2

37、 +x)dydz- òòzdxdy S = òò( Dyz z+ 2 2z-y 2 ) dydz- òò( Dyz2 z- 2 2z-y 2 ) dydz+ Dzx 2 2z òò2 1 (x+y)dzdx 22 =2òò Dyz 2z-ydydz+ 2 Dzx òò2 1 (x+y)dzdx=2òdz 0 - 2 ò 2z 2z-ydy+ 2 12 2p2 ò 0 dqòrdr 0 3 2 =2ò 0 2pz2 2 dz+pòrdr=pz 0 32 20 +p× 2

38、4 4 =8p 3．计算 Ñòò å xydydz+yzdzdx+xzdxdy 其中å是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧． 解：分片积分。S1:x=0,cosa<0;S2:cosb<0,y=0;S3:z=0,cosg<0; S4:z=1-x-y,cosg=cosb=cosa= 13>0 12 院 系 班级 姓 名 作业编号 原式=òò+òò+òò+òò=-0-0-0+ å1 å2 å3 å4 òò=3òò(1-y-z

39、)ydydz å4 Dyz 11-y1 =3òdy 0 ò 0 y(1-y-z)dz=3òy 0 (1-y) 2 2 (1-y)3é(1-y) dy=-ê- 2ê34ë 34 ùúúû 1 = 0 18 4．把对坐标的曲面积分 òòP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy S 化为对面积的曲面积分： S是平面3x+2y+23z=6在第一卦限的部分的上侧； S是抛物面z=8-(x2+y2)在面上方的部分的上侧． rroìï3223üï 解：Qcosg>0,n=3,2,23,n=í,,ý, 5

40、55ïïîþ {} 原式=òò S 3P(x,y,z)+2Q(x,y,z)+23R(x,y,z) 5 dS rro Qcosg>0,n={2x,2y,1},n= {2x,2y,1} 1+4x+4y 2 2 原式=òò S 2xP(x,y,z)+2yQ(x,y,z)+R(x,y,z) 1+4x+4y 2 2 dS 5．计算曲面积分I= z= 12 2 2 òò(z å 2 +x)dydz-zdxdy,其中å为旋转抛物面 (x+y)下侧介于平面z=0及z=2之间的部分． rro 解：Qcosg<0,n={x,y,-1},n= {

41、x,y,-1} 1+x+y 2 2 ,D:x+y£4 22 原式=òò S x(z+x)-(-z)1+x+y 2 2 2 dS= òò(xz+x+z)(-1)dxdy 2 2 S 12é122222ù =-òòêx(x+y)+x+(x+y)ú(-1)dxdy 42ûDxyë 2p 2 3 4 = òò(x Dxy 2 +y)dxdy= 2 òdqòr 0 0 dr=2p× 2 4 =8p 13 《高等数学》同步作业册 6 ．已知速度场v(x,y,z) ={x,y,z}，求流体在单位时间内通过上半锥面

42、z= 22 x+y与平面z=1所围成锥体表面向外流出的流量． 解：S1:z=1ìroïn=í 2ïî F= S rìï x+y,Qcosg<0,n=í ïî 2 2 xx+y 2 2 , üï22 ,-1ý,D:x+y£4 22x+yïþy xx+y 2 2 , ürï ,-1ý;S2:z=1,Qcosg>0,n={0,0,1},D同样。 22x+yïþy S1 S2 S1 S2 òòxdydz+ æ =òòç çS1è 2 ydzdx+zdxdy=òò+òòxdydz+ydzdx+zdxdy=òò+òòdxdy x+y2

43、 zö ÷dS+p=- 22 2÷x+yø 2æ òòççS1è x+y2 22 - 22x+yö ÷dS+p=p÷2 ø 14 院 系 班级 姓 名 作业编号 作业18 高斯公式和斯托克斯公式 1．利用高斯公式计算曲面积分： (1) Ñòò å xdydz+ydzdx+zdxdy，其中å是平面x=0，y=0，z=0及 222 x+y+z=1所围成的立体的表面外侧； 2 11 解：原式= 1 òòò(2x+2y+2z)dv=6òòòzdv=6

44、òzdzòòdxdy=6òz× W W 0 Dz 0 (1-z) 2 dz =3òé(1-z)-(1-z)ë 0 23 11 ùdz=3é(z-1)3+(z-1)4ù ê3úû4ëû 1 0 æ-11ö1 =0-3ç+÷= 4ø4è3 z=3 其中å为柱面x2+y2=1及平面z=0，Ñòòx(y-z)dydz+(x-y)dxdy， å 所围成的立体的表面外侧； 3 3 解：原式= 2 y-z+0dv=-zdv=-zdzdxdy=-z×p×1dz ()òòòòòòòòòòW3 W0 Dz 0 é12ù =-pêzú ë2û

45、 =- 0 92 p (3) 计算 òò(8y+1)xdydz+2(1-y å 2 )dzdx-4yzdxdy, 其中，å是由曲面í ìïz=ïîx=0 y-1 (1£y£3)绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量 与y轴正向的夹角恒大于 π2 ． 22 解：加上S1:y=3,x+z£2右侧，构成封闭区域的外侧。 3 原式= òò-òò=òòòdv-òò(-16)dzdx=òdyòòdzdx+16òòdzdx S+S1 S1 W3 S1 1 Dy D1 2ùé1 =pê(y-1)ú+32p=34p ë2û1 15

46、 《高等数学》同步作业册 2．设函数f(m)有一阶连续导数，利用高斯公式计算曲面积分 2y 1x 13 I= òò å f(xy)dydz- 2 f(xy)dzdx+(xz+yz+ 222 z)dxdy，式中å是 3 下半球面x2+y2+z2=1(z£0)的上侧． 解：加上S1:z=0,x2+y2£1下侧，构成封闭区域的内侧。 2p p1 4 原式= òò S+S1 -òò=- S1 òòò(x W 2 +y+z 22 )dv-0=-òdqòdjòr 0 0 0 sinjdr =-2p×(-cosj) p 0

47、15 1 r 50 =- 45 p 3．利用斯托克斯公式计算曲面积分： 22ìx+y=2z2 Ñ式中是圆周，从Oz轴正向看去, G G3ydx-xzdy+yzdz,íòG z=2î 取逆时针方向． 解：原式= òò(-z-3)dxdy+(z S1 2 +x)dydz= z=2 òò(-5)dxdy=-5òòdxdy=-20p S1 D1 222 Ñòydx+3zdy+2xdz，其中G为圆周x+y+z=4,x+y+z=0,从Oy G 轴的正向看去，G 取逆时针方向．． 解：原式 = òò(0-1)dxdy+(0-3)dydz+(0-2)d

48、zdx S1 = òò S -1-3-2 3 dxdy= -63 ×p×2=-83p 2 16 院 系 班级 姓 名 作业编号 作业19 场论初步 1．求下列向量场A通过曲面å指定一侧的通量： A=zi+yj-xk，å为由平面2x+3y+z=6与x=0，y=0，z=0所围成立体的表面，流向外侧； 解：F= òò S zdydz+ydzdx-xdxdy=òòò(0+1-0)dv= W 16 ×3×2×6=6 A=(2x+3y)i-(xz+y)j+(y2

49、+2z)k，å为以点(3,-1,2)为球心，半径 R=3的球面，流向外侧． 2 2x+3ydydz-xz+ydzdx+y+2z)dxdy=òòò(2-1+2)dv ()()(òòS W 解：F= =3× 4p3 ×3=108p 3 2． 求向量场A=(x-z)i+(x3+yz)j-3xy2k沿闭曲线G的环流量(从z轴正向看G 依逆时针的方向),其中G为圆周z=2-x2+y2,z=-2． rr32Adl=x-zdx+x+yzdy-3xydz 解：Ñ()()òÑò G G z=-2 = òò(-6xy-y)dydz+(-1+3y)dzdx+(3x 2 S 2

50、 -0)dxdy= òò3x S 2 dxdy = 3 òò(x2 S 2 +y 2 )dxdy=2òdqòr 0 0 3 2p4 3 dr=3p× 14 ×4=192p 4 r 3．求向量场A={4xyz,-xy2,x2yz}在点M (1, -1, 2)处的散度和旋度． rr2 解：divA=4yz-2xy+xy,divA M =-8+2-1=-7 ={2,0,-9} rr22 rotA={xz,4xy-2xyz,-y-4xy},C=rotA M r 4．证明向量场A={-2y,-2x}为平面调和场，并求势函数．

51、 rrìür¶¶¶¶ 解：由于divA=(-2y)+(-2x)=0,rotA=í0,0,(-2x)-(-2y)ý=0, ¶x¶y¶x¶yîþ r 因此A是无源场且为无旋场从而为调和场 由ux=-2y,uy=-2xÞu=-2xy+g(y),g¢(y)=0,u=-2xy+c为势函数 17 《高等数学》同步作业册 5．验证下列向量场A为保守场，并求其势函数： A=yzi+zxj+xyk； rì¶ür¶¶¶¶¶ 解：由于rotA=í(xy)-(zx),(yz)-(xy),(zx)-(yz)ý=0, ¶y¶z¶z¶x¶x¶yîþ r 因此A为无旋场从而为有势场

52、 由ux=yz,uy=zx,uz=xyÞu=xyz+g(y,z),g¢=0,Þu=xyz+h(z),h¢=0 y Þu=xyz+c为势函数 A=(2x+y)i+(x+2z)j+(2y-6z)k 解：由于 rì¶(2y-6z)¶(x+2z)¶(2x+y)¶(2y-6z)¶(x+2z)¶(2x+y)ürrotA=í-,-,-ý=0, ¶y¶z¶z¶x¶x¶yîþ r 因此A为无旋场从而为有势场 2 =2z, 由ux=2x+y,uy=x+2z,uz=2y-6zÞu=x+xy+g(y,z),g¢y Þu=x+xy+2yz+h(z),h¢=-6zÞu=x2+xy+2yz-3

53、z2+c为势函数 2 6．设u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数，计算rot(gradu) 解：由于gradu=í从而 ì¶ rot(gradu)=í î¶y æ¶uçè¶z ö¶æ¶uö¶æ¶u ç÷,÷-çø¶zè¶yø¶zè¶x ö¶æ¶u÷-çø¶xè¶z ö¶æ¶uö¶æ¶u ç÷-÷,çø¶xè¶yø¶yè¶x öü÷ý øþ ì¶u¶u¶uü ,,ý ¶x¶y¶zîþ 22222 ì¶2u¶u¶u¶u¶u¶uü=í-,-,-ý î¶y¶z¶z¶y¶z¶x¶x¶z¶x¶y¶y¶xþ r 由于u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数，从而rot

54、(gradu)=0 18 院 系 班级 姓 名 作业编号 第九章《曲线积分与曲面积分》测试题 1．填空题 对坐标的曲线积分 ÑòPdx+Qdy+Rdz G 化成第一类曲线积分是 Ñò(Pcosa+Qcosb+cosg)ds，其中a,b,g G 为有向曲线弧G在点(x,y,z)处的 切向量 的方向角； 设L为取正向的圆周x2+y2=9则曲线积分 Ñò L 2 (2xy-2y)dx+(x-4x)dy=-18p； x ùsinydx-f(x)cosy

55、dy.与积分路径无关，设曲线积分òé其中f(x) f(x)-eûLë 一阶连续可导，且f(0)=0，则f(x)= 2 2 e-e 2 2 x-x ； òò(y+z)dydz+(x+z)dzdx+(y+x)dxdy=_0_，其中å为单位球面 å x+y+z=1的外侧； 222 设A=exsinyi+(2xy2+z)j+xzy2k，则divA|(1,0,1)= 0 ， rotA|(1,0,1)= {-1,0,-1}． 2 2．计算下列曲线积分： 2222 zds计算Ñ，其中为球面与平面x+y+z=0的相交部Lx+y+z=aò L 分(a>0)．

56、 解：由轮换对称性Ñòzds= L 2 Ñò 3 L xds= 2 Ñò L yds= 2 1 Ñò(x 3 L 2 +y+z 22 )ds=3Ñò 1 L ads 2 = a 2 3 Ñò L ds= a 2 3y ×2pa= 23 pa Ñò L 2222 ìïx+y+z=4a ds，其中L是í，z³0,a>0． 22222 x+y+zïîx+y=2ax 2222 ìïx+y+z=4a 解：L用球坐标表达是íÞr=2a,cosq=sinjÞ 22 ïîx+y=2ax x=2acosq,y=

57、2asinqcosq,z=2asinq,qÎ[0,p] 2 19 《高等数学》同步作业册 y p 2 2 0 原式= Ñò4a L 2 ds=2 ò 0 sinqcosq1+cosqdq=-ò1+tdt= 1 2(3 2 2-1 ) ò L (x+2xy)dy,其中L为椭圆 2 xa 22 + yb 22 =1,由点A(a,0)经点C(0,b)到点 B(-a,0)的弧段； 解：L参数表达是x=acosq,y=bsinq,q:0®p p 原式= p ò(acosq+2absinqcosq)bcosqdq

58、0 22 p 2 2 =abò(1-sinq)dsinq-2ab 2 0 òcosqdcosq=0- 0 2 23 ab 2 (-1-1)= 2 2 43 ab 2 Ñò 2 L xydx+(x+y)dy+(x+y+z)dz，其中L是x+y+z=11与 2 2222 z=x+y+1的交线，其方向与z轴正向成右手系； 解：L参数表达是x= 2p 2cosq,y=2sinq,z=3q:0®2p 2p 原式= ò 0 (-4sinqcosq+22cosq)dq= 22 ò 0 ( cos4q-1 2 +22cos

59、q)dq=-p ò L (esiny-2y)dx+(ecosy-2)dy，其中L 2 2 xx 为上半圆周 (x-a)+y=a,y³0，沿逆时针方向； 2 解：加上L1:y=0,x:0®2a形成半圆区域的正向边界 原式= ò L+L2 -ò(esiny-2y)dx+(ecosy-2)dy= L2 xx òò2ds D -0=pa 2 Ñò L dx+dy|x|+|y| ，其中L是以点为定点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)的 正方形的整个边界． 解：L:x+y=1正向 原式= 20 Ñòdx+dy=òò0

60、ds L D =0 院 系 班级 姓 名 作业编号 3．计算下列曲面积分： òò å e 2 z 2 dS,å为锥面z=22 x+y介于1£z£2之间的部分． x+y e x+y2 22 2p 2 2 解：原式= òò D 2ds= x+y òdqò 0 1 e r r 2rdr=22p(e-e) 2 计算 2 x+y+z=R 2 òò dS 2 2 x+y+(z-h) 2 2 2 ,其中h¹R． 解：å为z=

61、±R2-x2-y2两片zx=± -xR-x-y 2 2 2 ,dS= RdsR-x-y 2 2 2 令t=R-x-y 222 =R-r,dt= 22 -rdrR-r 2 2 原式= æòòçDè R 1R+h-2ht 2 2 + ö÷22 R+h+2htø 1 RdsR-x-y 2 2 2 2p = ò 0 ædqòç0è R 1R+h-2ht 1R+h-2ht 2 2 2 2 + ö÷22 R+h+2htø 11 RrdrR-r 2 æ =2pRòç 0è å + ö2pRdt=é÷ë

62、R+h-R-hùû 22 hR+h+2htø òòyzdzdx+2dxdy,其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。是上半球面 z= 4-x-y的上侧； 2 2 解：å为z= ro 4-x-y,cosg>0;D:x+y£4,n= 2 2 2 2 {x,y,z} x+y+z 2 2 2 原式= æöcosb2yz+2÷cosgdS=òòå(y+2)dxdy òòåçcosgèø 2 = òò(y å +2)dxdy= 1 x(òò2 D2 2 +y 2 )dxdy+8p 2 = 12 2p2 ò 0 dqòrdr+8p

63、=12p 0 3 òò(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy，其中å为锥面z= å 2 x+y 22 (0£z£h)的外侧； 222 解：加上S1:z=h,x+y£h上侧，构成封闭区域的外侧。 21 《高等数学》同步作业册 原式= òò-òò=òòò(0+0+0)dv-òò(x S+S1 S1 W S1 2 -y)dxdy=0- òò(x D 2 -y)dxdy =-òò D (x-y)dxdy=- 2 12 òò(x+y 2 D 2 )dxdy+0=- 12 2ph ò 0 dq

64、òrdr=- 0 3 p4 h 4 ìx2+y2+z2=9 Ñ，若正对着Oz轴正ò2ydx+3xdy-zdz，其中G是圆周í z=0îG 2 向看去，G取逆时针方向； 解：由STOCHS公式，原式= òòdxdy=òòdxdy=9p S D òò å ìz=y2 xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是曲线í,(z£1)绕z轴旋转所得旋 îx=0 转曲面的上侧． 解：加上S1:z=1,x2+y2£1下侧，构成封闭区域的内侧。 2p 1 1 原式= òò-òò=-òòò(1+1+1)dv-òòdxdy=-3òdqòrdròdz-(-1)

65、òòdxdy S+S1 1 S1 W S1 2 4 1 00r 2 D =-6p òr(1-r 0 2 )dr+p ærröp =-6p×ç-+p=-÷ 242èø0 4．设曲线积分òxydx+yj(x)dy与路径无关，其中，且j(0)=0 L 2 求ò (1,1)(0,0) xydx+yj(x)dy． 2 2 解：曲线积分òxydx+yj(x)dy与路径无关，j(x)连续可导 L 从而2xy=yj¢(x),j¢(x)=2x,j(x)=x+c,，又j(0)=0Þc=0,j(x)=x (1,1)(0,0) 2 (1,1

66、)(0,0) 2 2 (1,1)(0,0) 22 故ò xydx+yj(x)dy= òxydx+yxdy=ò d ()= xy2 22 (1,1) = (0,0) 12 5．设f(x)具有连续的导数，f(0)=0，且使表达式[xe+f(x)]ydx+f(x)dy是某函数m(x,y)的全微分，求f(x)，并求一个m(x,y)． 解：由已知，[xe+f(x)]ydx+f(x)dy是某函数m(x,y)的全微分， 从而xe+f(x)=f¢(x),ee -x x -x x x ¢-x-x f¢(x)-ef(x)=(ef(x))=x,， 2 æx2öxxx f(x)=+c,f(x)=ç+c÷e，又f(0)=0Þc=0,f(x)=e 222èø x 2 22 院 系 班级 姓 名 作业编号 2 æx2xöxx 故dm(x,y)=[xe+e]ydx+edy=dçey÷,m(x,y)=ey+c 2222èø x x 2 x