导数的求导法则PPT课件

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1、第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则内容要点内容要点一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则二、应用举例二、应用举例作为变化率的导数作为变化率的导数.三、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数三、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、初等函数的求导法则五、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则2.2 函数的求导法则函数的求导法则1.基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式2.分段函数求导分段函数求导时，时，分界点导数用左右导数定义求分界点导数用左右导数定义求.3

2、.初等函数的求导问题初等函数的求导问题4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理 1若函数若函数 在点在点 处可导处可导,x)(),(xvxu则它们则它们的和、差、积、商的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)并且并且(1);()()()(xvxuxvxu (2);()()()()()(xvxuxvxuxvxu (3).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu证证(1)、(2)略略.x在点在点 处也可导处也可导,证证(3),0)()()()(xvxvxuxf 设设hxvxuhxvhxuh

3、xfhxfxfhh)()()()(lim)()(lim)(00 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 ,)()()()()(2xvxvxuxvxu 推论推论(1);)()(11 niiniixfxf(2);()(xfCxCf (3)(1xfini)()()()()()(2121xfxfxfxfxfxfnn ).()(11xfxfkininikk 注注:法则法则(1)、(2)均可推广到有限多个函数运算均可推广到有限多个函数运算的情形的情形.例如例如,可导可导,则有则有)(xuu 设设

4、、)(xvv 、)(xww 均均即即wuvwvuvwuuvw )(若在法则若在法则(2)中中,令令Cxv)(为常数为常数),C则有则有).()(xuCxCu 若在法则若在法则(3)中中,令令Cxu)(为常数为常数),C则有则有.)()()(2xvxvCxvC 例例1 求求xxxysin223 的导数的导数.解解)(sin)2()(23 xxxy.cos432xxx 例例2解解求求xxysin2 的导数的导数.)sin(2)sin2(xxxxy)(sinsin)(2 xxxx xxxxcossin212.cos2sin1xxxx 例例3 求求xytan的导数的导数.二、反函数的导数二、反函数的导

5、数定理定理 2 若函数若函数 在某区间在某区间 内单调、可内单调、可)(yfx yI导导则它的反函数则它的反函数 在对应在对应)(1xfy 区间区间 内也可导内也可导,xI且有且有)(1)(1yfxf 或或dydxdxdy1 即即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,0)(yf且且反函数的导数反函数的导数证证任取任取,xIx 给给 以增量以增量x),0(xIxxxx 由由 的单调性可知的单调性可知)(1xfy ,0 y于是于是,1yxxy )(1xf 连续连续,),0(0 xy又又,0)(yf,)(11limlim)(001yfyxxyxfyx 证毕证毕.例

6、例5 求函数求函数 的导数的导数.xyarcsin 解解yxsin 在在 内单调、可导内单调、可导,2,2 yI且且,0cos)(sin yy在对应区间在对应区间 内有内有)1,1(xIyyxcos1)(sin1)(arcsin .11sin1122xy ,11)(arccos2xx 同理可得同理可得例例6解解求函数求函数 的导数的导数.xyalog 且且yax 在在 内单调、可导内单调、可导,),(yI,0ln)(aaayy在对应区间在对应区间 内有内有),0(xI.ln1ln1)(1)(logaxaaaxyya 特别地特别地.1)(lnxx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理

7、定理 3若函数若函数 在点在点 可导可导,)(xgu x而而)(ufy 在点在点 可导可导,)(xgu 则复合函数则复合函数 在点在点)(xgfy 可导可导,x且其导数为且其导数为)()(xgufdxdy 或或dxdududydxdy 链式法则链式法则证证由由 在点在点 可导可导,u)(ufy ),(lim0ufuyu 复合函数的求导法则复合函数的求导法则故故)0lim()(0 uufuy,)(uuufy xuxuufxyxx)(limlim00).()(limlimlim)(000 xgufxuxuufxxx 注注:例如例如,则复合函数则复合函数)(xfy 的导数为的导数为.dxdvdxdu

8、dudydxdy 复合求导法则可推广到多个中间变量的情形复合求导法则可推广到多个中间变量的情形.),(),(),(xvvuufy 设设例例7求函数求函数 的导数的导数.xysinln 解解设设,lnuy .sin xu 则则dxdududydxdy xucos1 xxsincos.cot x 完完例例9求函数求函数 的导数的导数.102)1(xy解解设设.1,210 xuuy则则xudxdududydxdy2109 .)1(202)1(109292 xxxx注注:复合函数求导既是重点又是难点复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函在求复合函数数)(xfy 的导数时的导数时,要从外层要从外层,逐

9、层推进逐层推进.先求先求 对大括号内的变量对大括号内的变量 的导数的导数fu),(xu 再求再求 对中括号内的变量对中括号内的变量 的导数的导数 v),(xv 后求后求 对小括号内的变量对小括号内的变量 的导数的导数.x最最在这里在这里,首先首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量管是自变量还是中间变量管是自变量还是中间变量)求导时求导时,不设中间变量的字母不设中间变量的字母,(不不的导数的导数;其次其次,在逐层在逐层不要遗漏不要遗漏,也不要重复也不要重复.熟练之后可以熟练之后可以心中记住心中记住,一气呵成一气呵成.例例9求函数求函数 的导数的导数.

10、)2(21ln32 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(2131)1(112122 xxxxy)2(31211212 xxx.)2(3112 xxx完完例例10 求函数求函数 的导数的导数.32)sin(xxy 解解)sin(32 xxy)sin()sin(3222 xxxx)(sinsin21)sin(322 xxxx).2sin1()sin(322xxx 例例11求函数求函数 的导数的导数.21,110,2)(2xxxxxf解解 求分段函数的导数时求分段函数的导数时,在每一段内的导数可按在每一段内的导数可按一般求导法则求之一般求导法则求之,但在分段点处的导数要用左但在

11、分段点处的导数要用左右导数的定义求之右导数的定义求之.当当 时时,10 x,2)2()(xxf当当 时时,21 x,2)1()(2xxxf 当当 时时,1 x2122lim1)1()(lim)1(11 xxxfxffxx例例19 求函数求函数 的导数的导数.21,110,2)(2xxxxxf解解当当 时时,10 x,2)2()(xxf当当 时时,21 x,2)1()(2xxxf 当当 时时,1 x)1(f2 例例11求函数求函数 的导数的导数.21,110,2)(2xxxxxf解解当当 时时,10 x,2)2()(xxf当当 时时,21 x,2)1()(2xxxf 当当 时时,1 x)1(f2

12、 121lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx2)1(lim11lim121 xxxxx由由 知知,2)1()1(ff.2)1(f所以所以.21,210,2)(xxxxf完完初等函数的求导法则初等函数的求导法则1.0)(Cxxcos)(sin xx2sec)(tan xxxtansec)(sec aaaxxln)(axxaln1)(log 1)(xxxxsin)(cos xx2csc)(cot xxxcotcsc)(csc xxee )(xx1)(ln 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 基本求导公式基本求导公式211)(arctanxx 211)cot(

13、xxarc 2.设设 可导可导,)(),(xvvxuu uCCu )(2(C是常数是常数),)(3(vuvuuv ).0()(4(2 vvvuvuvu则则1(,)(vuvu 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则3.反函数的求导法则反函数的求导法则)(yfx 若函数若函数 在某区间在某区间 内单调、可导内单调、可导yI,0)(yf则它的反函数则它的反函数 在对应区间在对应区间)(1xfy xI内也可导内也可导,)(1)(1yfxf 或或dydxdxdy1 4.设设),(ufy 为为dxdududydxdy 或或)()()(xgufxy 且且且且复合函数的求导法则复合函数的

14、求导法则),(xgu 而而)(xgfy 则则 的导数的导数1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：;ln41tan2)1(2xxxy ,.)2(bxaxbay 且且ba,(为常数，为常数，).0,0 ba.11ln)3(22xxxxy 课堂练习课堂练习1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：;ln41tan2)1(2xxxy ,.)2(bxaxbay 且且ba,(为常数，为常数，).0,0 ba.11ln)3(22xxxxy 解解xxxxxxy4)1()1(tan2)1()tan2()1(2222 .4)1(tan4)1(sec22222xxxxx 1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：,.

15、)2(bxaxbay 且且ba,(为常数，为常数，).0,0 ba.11ln)3(22xxxxy 解解1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：,.)2(bxaxbay 解解 bxbxaxbaaxbay.)2(.ln.1bbxbxabxbabaaxba 且且ba,(为常数，为常数，).0,0 ba.11ln)3(22xxxxy 1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解.11ln)3(22xxxxy 1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：.11ln)3(22xxxxy 解解(3)先化简，再求导先化简，再求导xxxxy 11ln212222221)1(ln21xxxx ),1ln(2xx )1

16、(1122 xxxxy1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：.11ln)3(22xxxxy 解解(3)1(1122 xxxxy1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：.11ln)3(22xxxxy 解解 11221122xxxx)1(1122 xxxxy11.11222 xxxxx.112 x完完(3)内容小结内容小结1.基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式注注:在导数的四则运算法则中，要注意在导数的四则运算法则中，要注意:);().()().()1(xvxuxvxu .)()()()()2(xvxuxvxu 2.分段函数求导分段函数求导时，时，分界点导数用左右导数定义求分界点导数用左右导数定义求.3.初等函数的求导问题初等函数的求导问题内容小结内容小结3.初等函数的求导问题初等函数的求导问题任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.4.双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数