毕业论文(设计) 一元函数极限的求法

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1、编号： 南阳师范学院2011届毕业生毕业论文（设计）题 目： 一元函数极限的求法 完 成 人： 齐红妍 班 级： 2007- 02 学 制： 4 年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 杨运平 完成日期： 2011-03-9 目 录摘要（1）0 引言（1）1利用初等函数的连续性求函数极限（直接代入法）（1）1.1连续的性质（1）2利用函数极限的四则运算求函数极限（2）直接运用法则（2）间接运用法则利用恒等变形化简表达式，然后再用四则运算（2）约分法（2）2通分法（3）（3）（3）3利用迫敛性求函数极限（4）4利用两个重要极限公式求函数极限（4）5利用无穷小量的性质求函数极限（5）6利用替换法

2、函数极限（6）（7）（7）定理（7）（7）麦克劳林展式（8）7利用洛必达法则求函数极限（1）定理（9）型或型直接使用法则（10）8利用对数运算求函数极限（1）9利用极限的定义验证极限（1）“”定义（5）10利用导数的定义求函数极限（1）10.1导数的定义（5）11利用左右极限法求函数极限（1）12利用定积分的定义求函数极限（1）13利用级数收敛的必要条件求函数极限（15）（15）14利用微分中值定理和积分中值定理求函数极限（15）14.1拉格朗日中值定理（15）14.2积分中值定理(16）15 总结（17）参考文献（17）ABSTRACT（18）一元函数极限的求法作 者：齐红妍指导教师：杨运平

3、摘要：本文对一元函数极限的常见求法进行了归纳总结，并在某些具体求解方法就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便我们了解函数的各种极限，以及对各类函数极限进行计算.关键词：一元函数；极限；求法0引言一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一。为了能熟练准确地计算各种极限，就必须掌握其各种极限的求法，解题时要针对不同函数极限的特点采用相应的求法，同时还要注意每种求解方法的适应范围，这样才能达到事半功倍的效果。. 1 利用初等函数的连续性求函数极限（直接代入法） 连续的性质8如果是初等函数的定义区间内一点，则，如果点是初等函数的可去间断点，那么由复合函数连续性可知：例 1 求解：= 例 2 求解：因

4、为是可去间断点所以 2 利用函数极限的四则运算法求函数极限极限四则运算法则的条件是充分非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则的条件，满足条件者，方能利用极限四则运算法则求之；不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。为了叙述方便把自变量的某个变化过程略去不写，用记号表示在某个极限过程中的极限，因此，极限的四则运算法则可确切地叙述如下：定理1 在同一变化过程中，设，都存在 则（1） （2） （3）当分母时

5、，有 直接运用法则例 3 求解： 2.2间接运用法则利用恒等变形化简表达式，然后再用四则运算法则求极限 约分法例 4 求分析：由于当时，。因此，不符合四则运算法则条件，需进行恒等变形：即消去当时，分子、分母为0的因子后方可利用极限四则运算法则求之。解： 通分法例 5 求分析：当时，因此，不符合四则运算法则条件，需要进行恒等变形再求之。解：22.3 根式有理化法：分子或分母有理化例 6 求分析：当时，分子，分母，因此不符合四则运算法则条件，需进行恒等变形再求之。解： 分子分母同除以无穷大量或根据结论求之 例 7 求解： 3 利用迫敛性求函数极限3定理2 设，且在某内有，则例 8 求解：因为，所以

6、当时，而，由迫敛性定理得， 4 利用两个重要极限公式求函数极限4.1 例 9 求解： 或例 10 求解：令，则当时，因此5 利用无穷小量的性质求函数极限25.1 相关性质（1）设在某内有定义。若，则称为当时的无穷小量。（2）有限个无穷小量的代数和为无穷小量。（3）有限个无穷小量的差为无穷小量。（4）有限个无穷小量的乘积为无穷小量。（5）有界函数与无穷小量的乘积为无穷小量。（6）无穷大量的倒数是无穷小量。例 11 求分析：因为不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形。解: ,因为当时，即是当时的无穷小，而，即是有界函数，由无穷小量的性质得 例 12 求解：6利用替换法求函数的极限

7、例 13 求解：令，当时，故6.2 等价无穷小量替换 定理 3：设，是某一变化过程中的无穷小量，且，若存在，则 常见的等价无穷小量时 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换，否则，将导致的出错误的结果。例 14：求解：当时，故 例 15：求 解：由于 ，而时，故有 6.3 泰勒公式的等价代换麦克劳林展式1 泰勒定理定理 4：若函数在存在阶导数，则有（1）其中，即是的高阶无穷小。（1）式称为在处展开的泰勒公式。当时（函数在0处存在阶导数），（1）式可化为： 此式被称为麦克劳林公式 常见函数的麦

8、克劳林公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6）例 16：求解：因为 而 故求得 7 利用洛必达法则求函数的极限7为了下文叙述简便把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限。记作：型或型7.1 定理 5（型）：若函数和满足：（1）（2）在点的空心领域内两者都可导，且（3） （可为实数，也可为或）则定理 6（型）：若函数和满足： （1） （2）在的某右领域内两者都可导，且 （3）（可为实数，也可为或） 则 7.2 对于型或型直接运用法则 对于型，型要通过变形为型或型，再使用法则，对于型，型，型要先取对数变为型，然后再化为型或型等等。如果仍是型不定式极限，只要有可能，则再次用

9、洛必达法则，即考察极限是否存在，此时和在的某邻域内必须满足定理4的条件。对于不是型或型时，则通过结合代数运算，等价无穷小代换，重要极限等方法，尽力使运算简化。洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限的工具。当满足条件时，所求的极限存在（或为），但当条件不满足时，不应当使用这一工具，但这并不等价于极限不存在，因此，必须辩证地理解商式的分子与分母。例 17：求解： 容易检验与在点的邻域内满足定理5的条件（1）和（2），又因为故由洛必达法则得 例 18：求解：这是一个型不定式极限，作恒等变形得 而于是有 例 19：求解：但是不能用洛必达法则来做不存在，因此，不能用洛必达法则来计算。8利用对数运算求

10、函数极限例 20：求解：设，取得对数得因为 所以 9 利用极限的定义验证极限99.1 极限的“”定义：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时，有，则称函数当趋于时以为极限。即定义法通常适用于求抽象函数的极限，多用于证明。例 21：设，证明 证明：由于当时，故对给定的，只要取，则当时有，这就证明了。例 22：设 ，求 解：因为，则对任意的，存在正数，当时，有，从而当时，有，于是有。故。10利用导数的定义求函数的极限10.1 导数的定义：设函数在点的某空心邻域内有定义，若极限存在，则称函数在处可导，即为此方法可常常求自变量趋于零的极限，多用于求抽象函数的极限例 2

11、3：设存在，求极限解：因为存在，由导数的定义知故11利用左右极限法求函数的极限函数在某点处极限存在的充要条件：可先探求点处的左极限和右极限，当两者存在且相等时，该值即为函数在点处的极限值。此方法多用于求解分段函数的极限例 24：求解：表示的整数部分，因此，对任意，都有当时，有即 ，而，故当时，则有即，而， 故综上知，从而例 25：讨论函数， 当时的极限。解：因为，即，所以12利用定积分的定义求函数极限10由定积分的定义我们知道，定积分是一种和式的极限，因此，如果关于的某一和数可以表示成某一积分和形式时，则可以利用定积分，求出这个和式的极限，显然，若要利用定积分求极限，其关键在于将和式化成某一函

12、数的积分形式。例 26：求解：若令，且将等分为等份，则每个小区间长度，取为每一小区间的右端点，有：13 利用级数收敛的必要条件求函数的极限13.1 级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此级数收敛，便有。例 27：求 解：研究级数 ，由于所以级数 收敛，故 14 利用微分中值定理和积分中值定理求函数极限514.1 拉格朗日中值定理：若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续 （2）在开区间内可导则在开区间内至少存在一点，使14.2 积分中值定理：如果在连续，在上可积且不变号，则存在，使得。例 28：求解：设，在上用拉格朗日中值定理，得（其中）故当时

13、，可知：原式=例 29：求，其中，为常数，为自然数。解：由积分中值定理知，在与之间存在，使所以求函数极限的方法较多，本文仅列出了常见的几种。在我们解题过程中首选的方法就是文中介绍的第一种利用函数连续直接代入求极限的方法，其次考虑洛必达法则、等价代换等方法。对于每种方法都有自身的局限性，都不是万能的。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧，故熟练的掌握相关的知识与技巧是非常重要的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简单是方法。参 考 文 献1 华东师大数学系编.数学分析上（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001:31-218 2 尹成国, 常见

14、函数极限的求法 J. 保山师专学报，2009,28（2）:33-353 大学（第5版）M.北京：高等教育出版社4 刘玉琏，付沛主编 数学分析讲义M. 北京：高等教育出版社5 范钦杰，付军，关于极限的求法的进一步探讨J.松辽学刊（自然科学版），1990,3:42-486刘虹，对极限方法的总结J.安徽教育学院学报,1999,1：50-51 7叶志萍，求极限方法的研究J .长春大学学报，2002,9（4）:107-1098赵冬，一元函数极限的求法J.淮北职业技术学院学报，2007,6（5）：43-449郭芳, 求极限的另几种方法J. 数理化学习(高中版），11-1210蒋志强, 函数极限的几种特殊求

15、法J. 牡丹江教育学院学报，2009,5:122-123Solutions to Limits of FunctionQi Hong Yan Abstract: This article summarizes solutions to function limits of higher mathematics and offers some necessary explanations on the detail and the skill in certain concrete solution method so as to familiar with the solutions and computation of every kind of the function in learning.Key words: Function; limit; solution第18页 共 18 页