第六章 自相关

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1、第六章自相关第一节自相关的概念一、自相关的概念1. 自相关的概念在经典假定中，要求线性回归模型中随机误差项功满足无自相关，即Cov（,勺）=0（i 人 j ； 很= 1,2,，/?）自相关就是指回归模型中随机误差之间相关，即Cov（9）。0（i n j ）也可以称为序列相关。2. 一阶自相关与一阶自回归若Cov（与,与_。0 ,则称为随机误差序列存在一阶自相关。这里主要讨论与，满足下列关系的情况：公=P切-1 +匕其中，-1VQV1, K为误差项，且满足所有经典假定，即珂满足下列条件:（1）零期望（匕）= 0;（2）同方差Var（匕）= b：=常数；（3）无序列相关Cov（匕，匕）=0 （逐s

2、 ）；（4）与1不相关Cov（%i,匕）=0则称为与为一阶线性自相关，也称与为一阶自回归。3. 在切满足一阶自回归的形式下，关于印的特点Var() =b；=常数1p-Cov(q_s) = pb；可见当Cov（与，与_1）主0时，且st= p与_1 +匕，即在功满足一阶自回归的形式时，St满足零期望假定，满足同方差假定，但不满足Cov（与点_s） = 0（S”）的无自相关的假定。令 =（句点），将（6.1.5）式和（6.1.6）式用矩阵表示为:_27 pP瑚一 1.Pc 一 2.p其中，是自相关系数,p =Co件T)_ Cov(%，i)JVai(与)JVarg)二、自相关产生的原因自相关产生的原

3、因是多方面的，主要有：1. 经济变量的惯性作用2. 模型设定不当的影响3. 一些随机干扰因素的影响4. 数据处理的影响自相关性产生的原因很多，比如，农产品供给反映出的一种“蛛网现象”，即供给对价 格的反应滞后了一个时期，因为供给决策的实现需要时间。这种现象也会产生自相关性。另 外，还要注意，自相关性一般出现在时间数列中，但在横截面数据中也可能产生自相关现象, 这需要具体情况具体分析。第二节自相关的后果一、存在自相关时OLS估计的性质1. 屁，腐仍然为线性估计量。2.00,腐仍是回,肩的无偏估计。3.参数估计值不再是方差最小的。二、自相关性的后果1. 参数OLS估计的方差增大。2. 参数的显著性

4、f检验失效。3. 区间估计和预测精度下降。第三节自相关的检验一般有两种方法：一种，计算与&T，然后绘制&与的坐标图，若与机的图形 存在系统反映，则可以判断随机项切可能存在自相关，如图6.2所示，近似认为图（a）为 正相关，图（b）为负相关。(b)(d)另一种，可以绘制&与时间，的二维坐标图，如图（c）, （d）所示，图（C）为循环型。 &不是频繁改变符号，而是连续几个正值之后跟着几个负值，表明存在正相关。图（d）为 锯齿型。&随时间变化逐次改变符号，说明存在负相关。二、DW检验DW检验是J.Durbin QS.Watson于1951年提出的，是检验序列相关常用的方法。1. D-W检验有其适用条

5、件（1）解释变量是】为非随机的。（2）随机项与满足一阶自回归形式，艮L切二匕，巳为误差项，且满足经典假定。（3）样本容量一般要求比较大。（4 ）线性回归模型中不含有之滞后被解释变量作为解释变量。2. D-W检验的步骤DW检验的步骤一般为：（1）提出假定。H。：日=0,即不存在一阶自相关；Hi :日。0,即存在一阶自相关。（2）计算D-W检验的统计量d。一 $1）（广 + 2&h）1 -心 矿- r=lr=lN矿 +- 2甬富_11=2t=2t=2f=l当样本容量很大时，有：、父 2、父 2、二 22片 r声，t=2t=2r=l2卒/-2卒切=2 1-p=由(6.3.4)式结合(6.1.8)式，

6、可以看出月是q的估计值，即样本自相关系数。因|小1，d = 2(l ) = 2(l-p),所以0 J4(3) 判断。首先从直观上，我们可以认为：若QtI,贝以0,表明切存在正相关;若月t0,则d 2,表明切无自相关；若0 TI ,则1t4,表明&存在负相关。其次，Durbin和Watson根据样本容量，解释变量的个数显著水平a ,确定统计量d的上限临界值如和下限临界值力。这样，对于原假定Ho,确定判断一阶自回归区域：当0 ddt时，表明存在一阶正相关，且相关程度随着d接近0而逐渐增强；当dtddu或4-亿vdv4-儿时，表明不能确定存在自相关，此时DW检验失效；当dudwlj定1定0c/ 24

7、-九 4 - 44DW检验是常用的一种自相关检验方法，其优点就是计算简便。在EVIEWS软件中， 可以直接输出d统计量的值。当然，D-W检验也有不足之处：（1）只适用一阶自回归。（2）不适用随机解释变量模型。3. 不能确定的区域有两个不能确定的区域，一旦出现这种情况，一般可以增大样本容量，或者选取其他样 本，要么改变函数的形式，采用其他的检验方法。这里需要指出，当样本容量足够大，不能 确定区域是比较小的，例如，a =5%,样本容量n=100,解释变量的个数灯1,查表得：上限临界值d=L59和下限临界值儿=1.63,匕和儿只差0.04,占整个区域范围的万分之几。第四节自相关的处理方法1. 广义差

8、分法的概念以一元线性回归模型为例r=“o+x?+与其中，切是存在序列相关的，即Cov（&qT）0,且满足一阶自回归形式St=p 切1 +吗满足经典假定，艮P E（yt） = o ； Vat（匕）= E=常数；Cov（y/?vj = 0 （逐s）；Cov（与 匕）=0滞后一期，则匕_1 = /?o + 同 Xi + 1式两边乘以Q可得：pK-i = P.0 + pDiXi + ph变换为：*+X； +匕我们称为广义差分模型，这种消除自相关性，求参数估计量的方法称为广义差分法。2. 广义差分法注意事项：（1）对（6.4.6）式进行OLS估计，可以直接得到岛的估计值0和的估计值扈，但为的估计值需要换

9、算,由庇=星-得到。1一日（2）在广义差分过程中，损失了一个观测值，为了避免损失自由度，可以将丫与X的 第一个观测值作变换*= xji 而加以补充。3. 一阶差分模型与移动平均模型当曰=1时，由（645）式可得一阶差分模型：yt-yl-i=/3i（xl-xl_）+vt）令M FTiAXH则一阶差分模型可以统一写为：匕=扃+ vt当p=-l时，可得（两期）移动平均模型：X+K-1 R K+Xi-= A + A -+ 匕人v* 匕 + X-iXf + X/-i22则移动平均模型可以统一写为：站=为+时,+匕二、自相关系数未知1.利用D-W统计量d来求，的值在样本容量比较大的情况下，利用D-W统计量

10、：d = 2(1-月)求出-1 dP = -2然后利用广义差分法对模型进行OLS估计。2. 杜宾两步法(Durbin)这种方法是先估计,再作差分变换，然后利用OLS估计参数。其步骤为：(1) 将(6.4.5)式写成：匕=坊(1 - Q)+q匕-1 + A (Xi - pXt_)+ vt即匕=0o(1 /?) + pYt_ + /3Xt - PQ1X-1+ 匕设% = 0o (1p %= pP则可以写成：X = a。+ Q匕-1 + aA - a2Xt_l + vt式中，u,是满足经典假定的，所以可以直接进行OLS估计，从而得到日的估计值月。(2) 利用月来代替的Q代入式中，可得： -=S) +

11、 A(X, DX-) + 匕令/ = K -列一】，x： = Xl , X =A0- P)则变换为：+匕利用OLS估计，可以得到参数的估计值。杜宾两步法的最大的特点是能将该方法推广到较高阶自相关模型；其不足之处是的估 计精确度比较低。3. 科克兰内一奥克特法（CochraneOrcutt）迭代要进行一系列地反复迭代计算，寻找出一个更好的估计值p ,或者直到消除序列自 相关为止，所以又称科克兰内一奥克特法为迭代法。其基本步骤如下：（1）利用样本数据，进行OLS估计，得到样本回归函数：2=腐+础（2）计算残差&，作为随机项功的估计：总=匕一，=r （腐+EiX）（3）将&代入式中，可得到残差的一阶

12、自回归方程：瓦=P &-1+匕利用OLS估计，可以求出日的初次估计值皿，即（4）利用皿建立广义差分模型:匕-PYt- = ”o（iQD+0i（x. 月iXi）+匕进行OLS估计，并检验其残差序列0 （屿的估计值）是否存在自相关性。若无自相关, 则计算结束，求得参数的估计值A，A；若存在自相关性，则需要继续计算Q的第二次估计值6。即利用式估计出的新的残差序列之，求出6曰2= b2跖(5) 利用两对原模型进行广义差分变换，作第二次迭代，即yt-P2 匕一】=A(1-A)+ A(-A Xi ) + V；如上方法，经过多次计算估计，可求出若个万值，一直到满足给定的万精确度为止。在 实际处理中，一般只要进行两次迭代基本能满足要求了。迭代的优点是可以经过多次计算得 到较精确的万值，能有效地消除自相关性。第五节实例分析根据我国2004年统计年鉴所提供资料，分析1989年2003年国内生产总值X与进出口 总额V的关系，数据如表6.1所示。试建立一元回归模型匕=”o + X, + 与在EVIEWS软件中具体分析如下：一、用0LS估计方法求模型的参数估计二、自相关的检验三、自相关的处理