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1、 第八章第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法隐函数的求导方法 第五节第五节1)方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数.例如例如,方程方程20 xyC当当 C 0 时时,不能确定隐函数不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、连续性、可微性可微性及及求导方法求导方法问题问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节讨论本节讨论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个
2、方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数设函数00(,)P xy(,)F x y00(,)0;F xy 则方程则方程0(,)0F x yx 在在点点确定一个单值连续函数确定一个单值连续函数 y=f(x),00(),yf x 并有连续导数并有连续导数ddxyFyxF (隐函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内某邻域内可唯一可唯一在点在点的某一邻域的某一邻域00(,)0yFxy 满足条件满足条件内满足内满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin10 xyexy 在点在点(0,0)某邻域可某邻域可确定一个确定一个单值可
3、导隐函数单值可导隐函数(),yf x 22dd,dd00yyxxxx并求并求例例1.验证方程验证方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数若函数 000(,)P x y z(,)F x y z,yxzzFFzzxFyF 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程则方程(,)0F x y z 在点在点00(,)xy并有连续偏导数并有连续偏导数000(,),zf xy 可唯一确定一个单值连续函数可唯一确定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足000(,)0F xy z 000(,)0zF xy z 在点在点满足满足:某一邻域内某一邻域内定理定理2.机动 目录 上页 下页 返
4、回 结束 22240,xyzz22.zx 求求例例2.设设设设F(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数,已知方程已知方程(,)0,x yFzz d.z求求例例3.隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.(,)0(,)0F x y u vG x y u v (,)(,)uu x yvv x y 由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式(,)(,)uvuvFFF GJGGu v 称为称为F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即即雅可比 目录 上页 下页 返回 结
5、束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 0000(,)0,F xy u v 的某一邻域内具有的某一邻域内具有设函数设函数0000(,)P xy u v(,),(,)F x y u vG x y u v则方程组则方程组(,)0,(,)0F x y u vG x y u v 00(,)xy在在点点的的单值连续函数单值连续函数(,),(,),uu x yvv x y且有偏导数公式且有偏导数公式 :在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足确定一组满足满足满足:(,)0(,)PF GJu vP 0000(,)0;G xy
6、 u v 连续偏导数；连续偏导数；000(,),uu xy 000(,)vv xy 定理定理3.3.条件条件1(,)(,)uF GxJx v 1(,)(,)uF GyJy v 1(,)(,)vF GxJu x 1(,)(,)vF GyJu y 1vuvvuvFFFGGG 1vuvvuvFFFGGG 1uuvuuvFFFGGG 1uuvuuvFFFGGG (P34-P35)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxFGyyFGxxFGyyFG机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点在点(u,v)的某一的某一(,),(,)xx u vyy u v(,)0(,)x yu v 1)证明函数组证明函数组(
7、,)(,)xx u vyy u v 点点(x,y)的某一邻域内唯一确定一组单值、连续的某一邻域内唯一确定一组单值、连续(,),uu x y 2)求求(,),(,)uu x yvv x y 对对 x,y 的偏导数的偏导数.在与点在与点(u,v)对应的对应的邻域内有连续的偏导数邻域内有连续的偏导数,且且 且具有连续偏导数的反函数且具有连续偏导数的反函数例例5.5.设函数设函数(,).vv x y 0,1,xuyvyuxv ,.uuvvxyxy求求例例4.设设cos,sinxryr 的反变换的导数的反变换的导数.(,)(,)x yJr rx x 同样有同样有22ryyxy 22xyxy 所以所以由于
8、由于1cosrr 1sinr cossinsincosrr r 1yJ cos 22xxy 1yJr 22yxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5的应用的应用:计算极坐标变换计算极坐标变换1.隐函数隐函数(组组)存在定理存在定理2.隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.利用微分形式不变性利用微分形式不变性;方法方法3.代公式代公式思考与练习思考与练习设设(,),zf xyz xyz求求,.zxxxzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结作业作业 P37 3,6，7,9,10(1);(3)德
9、国数学家德国数学家.他在数学方面最主要他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独立地奠定了椭圆函数论的基础立地奠定了椭圆函数论的基础.他对行他对行列式理论也作了奠基性的工作列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分在偏微分方程的研究中引进了方程的研究中引进了“雅可比行列式雅可比行列式”,并应用在微并应用在微积分中积分中.他的工作还包括代数学他的工作还包括代数学,变分法变分法,复变函数复变函数和微分方程和微分方程,在分析力学在分析力学,动力学及数学物理方面动力学及数学物理方面也有贡献也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教他在柯尼斯堡大学任教18年年,形成了形成了以他为首的学派以他为首的学派.雅可比雅可比(1804 1851)机动 目录 上页 下页 返回 结束
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