结构力学讲稿三

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1、第三章静定梁与静定刚架内容：单跨静定梁、多跨静定梁、静定刚架的内力图 3-1单跨梁本节主要是复习材料力学所学过的知识。1、内力的符号规定轴力：拉为正，压为负，轴力图标出正负。剪力：使截面所在的隔离体顺时针转动者为正，否则为负；对于梁，就是左上右下为正，剪力图标出正负世M曜弯矩：对于梁，上压下拉为正，弯矩图画在受拉侧，凹凸方向：弯矩图包住外荷载，或弯矩图凸方向和荷载同方向;对于刚架，一般不分正负（对于一些简单的问题，内侧受拉为正），弯矩图画在受拉侧，同样弯矩图包住外荷载，或弯矩图凸方向和荷载同方向。注意：所有内力图均画在垂直于轴线方向。例如：简支梁受集中力作用，简支梁受均布力作用，弯矩图如图:例

2、如：受集中力和分布力作用的刚架，弯矩图如图:例如：受分布力作用的刚架，弯矩图如图:2、分布荷载和内力间的关系1）微分关系FN其中，M :弯矩，F s :剪力， 轴向分布荷载。轴力，q(x):横向分布荷载，p(x):注意：q(x)和p(x)的方向，以及M的转向 用途：利用第一式，由线性的弯矩图画剪力图(在结构力学中，一般是先画 弯矩图)。2) 增量关系掌握：集中力作用处，左右两侧截面剪力发生突变，突变值是集中力的大 小；集中力偶作用处，左右两侧截面弯矩发生突变，突变值是集中力偶的 大小。注意：P的方向和m转向用途：(1)集中力作用处左右两截面剪力间的关系；(2 )集中力偶作用处左右两截面弯矩间的

3、关系；(3)由剪力图求支反力。3）积分关系（略）3、直梁内力图的形状特征（刚架直线段也适用）梁上情况无横向外力区 段横向均布力q （x）作用区段横向集中力F作 用处集中力偶M作 用处铰处剪力 图水平线斜直线为零处有突变（突变值 为F）变号无影响无影响弯矩 图一般为斜直线抛物线（凸出方向同q的指向有极值有尖点 （尖点指 向同F 指向）有极 值有突变（突变值为M）为零实例J r八*1hi 1 缶 ii II1|一一一一剑，TelKU,4、叠加法作弯矩图任意一段梁AB受力如图，其受力情况可等效为一简支梁如图对于两端受弯矩作用的简支梁，其弯矩图可用叠加法来画。优点：可以很快地求出一些特殊点的弯矩值，如

4、集中力作用点、均布力的中点的弯矩值。例：受弯矩吃,气以及集中力F作用的简支梁，用叠加法画出其弯矩图。Fab注意:1、斜三角形的垂直方向上的高度为-7LFab Fl2、集中力作用在梁的中点时，4另外：不同的形状图形要体现出来Mb例：受弯矩七气以及均布力q作用的简5，用叠加法画出其弯矩图。q注意：斜抛物线的垂直方向上的高度为胃另外：不同的形状图形要体现出来MaMbMb对于其它的一些弯矩作用形式，也都可以类似的叠加方法画出弯矩图5、绘制内力图的一般步骤（1）求支力（一些特例除外）；（2）定点：计算出集中力作用点两侧、集中力偶作用点两侧、分布力的起止 点、分布力的中点的内力值，并标在图上，即图形发生突

5、变，或斜率发生 变化的点，或图形曲线形式发生变化；连线：根据实际情况，定点之间的内力值用直线或曲线相连。6、计算内力的方法（支反力已知）剪力：1、弯矩图未知1）研究左、右两侧部分2）逐段分析2、弯矩图已知：1）研究左、右两侧部分2）逐段分析3）取任意一段分析 弯矩：1、剪力未知1）研究左、右两侧部分2、剪力已知1）研究左、右两侧部分；2）逐段分析；3）取任意一段分析?例3-1外伸梁尺寸及荷载如图，画剪力图和弯矩图。注意：B点处力偶的作用位置：在铰的左边，而不是正好在铰上。5 kN/m剪力图和弯矩图形状定性分析10kN m 16 kN-m.1m1m ,4 m十 i|H解：剪力图：CA、AD、DE

6、、FGB段为水平线，EHF段为斜直线，点C、A、D、B有突变弯矩图：CA、AD、DE、FG、GB段为斜直线，EHF段为抛物线，点C、A、D、B有尖点，点G、B有突变由Z MB = 0，得F x 8 +16 - 20 x 9 - 30 x 7 - 5 x 4 x 4 -10 = 0A厂-16 +180 + 210 + 80 +10 -16 +180 + 300 464=58kNF = _a88 丁由Z F= ,得F + F - 20 - 30 - 5 x 4 = 0F = 20 + 30 + 20 - 58 = 12kNB计算关键点的剪力值，注意：在有集中力作用处，集中力两侧截面上的剪力都要计算

7、。C点的右侧，以及A点的左侧:I20kN 就f = A=-20kN注意：FC设为沿正的剪力方向，计算结果为负时表示剪力为负。A点的右侧，以及D点的左侧：A IF我二 Rd =忌+号=- 20+58=38kN汗忌%D点的右侧，以及E点:喘=辰=总-30=38-30=8kN AdSDF点，以及B点左侧：IF B压 =-Fb=-1 2kN J 日B点右侧：SB = 0标出上述各个关键点的剪力值，用直线连线，得到剪力图。器EE 8怵皿 Iff WIWIIMIII 印 INI 乓图杞N)2012总结：后一关键点剪力的计算是以前一相邻关键点的剪力为基础(逐段分析)优点：外荷载较少缺点：前边的计算结果出错会

8、影响后面的计算结果(3) 计算关键点的弯矩值，注意：在有集中力偶作用处，集中力偶两侧截面 上的弯矩都要计算。C 点：MC 0A点：MA=-20kND点:/WD =-20 x2+58x1=18kNmE点:kNo2kNo3/WE=-20x3+58x2-30x1=26kN-m%58kNF点:/WF=12x2+10-16=18kN-mG点左侧:MG=12x1+10-16=6kN-mG点右侧:/Wg=12x1-16=-4 kNQ=12kNB点左侧:/=12kNMg=-16kN-m标出上述各个关键点的弯矩值，用CA、AD、DE、FG、GG、GB间用直 线连接，EF之间的弯矩图用叠加法绘出，最终的弯矩如图。

9、注意：标出抛 物高度即可，不必标最大值，因为最大值(32.4)和抛物线中点(32)的值彳艮 接近。完整图:26 kN*m=0, F = 8kN例如，求18 kNmFsdR M (F) = 0, F -1 +18 - 26或者Fs 图(kN)10kN m 16 kN m利用弯矩图求剪力图30 kN20 kN*m26 kNm M (F) = 0, F - 2 + 30 -1 - 20 - 26 = 0, F = 8kN1、多跨静定梁：由若干根梁用铰相联，并有若干个支座的静定结构。例如：多跨公路桥2、多跨静定梁的组成：基本部分和附属部分基本部分：能独立存在，并能保持其几何不变性，即这一部分就是一个

10、单跨静定梁（外伸梁或悬臂梁）。如上图中的AB部分和CD部分。附属部分：独立存在时，不能保持几何不变性的部分，如上图中的BC 部分。另外，（从传力关系上说）还有部分结构具有双重作用，对于一部分结构 而言是附属部分，但对于另一部分结构而言又是基本部分，例如:F I4 1图中的DCB部分，对于AB部分是附属部分，而对于DEF部分又是基本 部分。3、支承关系：基本部分相当于附属部分的弹性支承，例如上图中多跨公路 桥的BC段相当于架在弹簧上。BC4、传力关系：附属部分上的力通过铰传给基本部分，这是由支承关系所决 定的（因为力的传递是杆件向支承传递，而不能由支承向杆件传力）。5、分析顺序：先附属部分，后基

11、本部分。目的：避免解联立方程组，使每一部分的求解和一个单跨静定梁一样。例3-2画出图中多跨静定梁的弯矩图和剪力图解：1）分解:基本部分：AB （悬臂梁），CDEF （外伸梁）附属部分：BC （简支梁）等效结构如图2）分析附属部分:3）分析基本部分:基本部分受力如图:AB段的弯矩图和剪力图如图:fk9分析CDEF段：(1)支反力：如图所示(2)计算各关键点的弯矩和剪力C点右侧：FR = -5 kN, MC = 0D点左侧：Fld = -5 kN, M d =-10 kN - mD点右侧：FRD =-5 + 7.5 = 2.5kN, MD =-10 kN - mH点：Fsh =-5 + 7.5 =

12、 2.5kN, M h = 7.5 x 2 - 5 x 4 = -5kN - mE点左侧:以=6，2-21.5 = -95kN,M广-嶷 x2-12kN mE点右侧:F = 6 X2 = 12kN，ML 26 x 22 =-12kN m5 kN9.5最后，将三个内力图组合在一起，得到多跨静定梁的内力图:4 kN 10 kN59.5例3-3详细过程略了解：比较图可知：多跨静定梁的最大弯矩比多跨简支梁的最大弯矩小，因 此多跨静定梁可节省材料，但构造要复杂一些（例如配筋）。例3-4画出图示多跨梁的内力图，并求出各支座反力。解：对于本题，先求支反力比较复杂，要依次分析FGH段的平衡、DEF段的平衡、以

13、及ABCD段的平衡，才能将所有支反力求出。本题先绘弯矩图，再绘剪力图，最后通过剪力图来求各支力。1、先绘弯矩图利用铰处弯矩为零勺特点，从C到H之间无外荷载即在此范围内弯矩是 线性的，再通利用叠加法，本题可不必求支反力，先画出弯矩图，步骤如下: 1）利用GH段的可平衡求得G点的弯矩为4kN m（上拉），而且由于GH间无外力，弯矩图为线性的；2）利用铰F处弯矩为零的特点，以及EFG间无外力，可确定EFG间弯矩图;3）同上一步一样，可确定CDE间弯矩图；4）利用AB段的平衡求得B点的弯矩为2kNm（上拉），由于AB段内有均布力作用，所以弯矩图为抛物线，并注意下凸；5）最后利用叠加法绘出BC间的弯矩图

14、。最后的弯矩图如图所示。2、再绘剪力图对于梁上弯矩为非线性的部分，由于弯矩已知，利用隔离体的平衡条件可建立两个平衡方程，从而求出两个未知剪力。1）、求B点左侧的剪力：分析从A到B左侧的平衡，根据力的平衡得，2）、求B点右侧和C点左侧的剪力:由z M (F) = 0得Fl X 4 + 4X 4x 2 + 4kN - m - 2kN - m = 0,Fl = 8.5kNBSCSC由z Y = 0得Fr - Fl -16 = 0,Fr = 16-8.5 = 7.5kN SB SCSB3) 、求C点右侧到E点左侧的剪力： 利用微分关系，可得:4 - (-4)Fr = Fl =( ) = 2kNSC S

15、E 44) 、求E点右侧到G点左侧的剪力:同样，利用微分关系可得:FrSE=FlSG= -2kN5) 、求G点右侧到H点左侧的剪力: 同样，利用微分关系可得：0 - (-4)Fr = Fl =( ) = 4kNSG SH1将各关键点的剪力标出，用直线连接得剪力图如图。3、求支力首先，可根据弯矩图或剪力图判断各支反力的方向:B处的支反力的方向：FB向上C处的支反力的方向：FC向上E处的支反力的方向：Fe向下G处的支反力的方向：Fg向上利用剪力图求各点支反力：B处的支反力：F=7.5 + 4 = 11.5kN （向上）就是B处剪力的跳跃值。同理，C处的支反力：FC = 2 + 8.5 = 10.5

16、kN （向上）E处的支反力：F = 2 + 2 = 4kN （向下）EG处的支反力：Fg = 2 + 4 = 6kN （向上）11.5kN10.5kN44kN/m4 kN练习：绘结构弯矩图2kN-m3kN/m2kNm3kN/m1kN3kN/m2m4m30kNm4kN 4kN2kN/m 3-3静定平面刚架1、刚架：由直杆组成的具有刚结点的结构。刚结点：两杆间的夹角在变形前和变形后是一样的。变形前例如：雨棚、渡槽、屋架2、绘内力图步骤：求支反力、定关键点（集中力作用点、集中力偶作用 点、分布力的起止点、分布力的中点的、以及结点）的内力值、连线。3、内力的表达方式内力符号后有两个下标，第一个下标表示

17、内力所属的截面，而第二个下标，表示该截面所属杆件的另一端。例如：AECMea ( -|e )MecB拓FSEDSECFSEB例3-5绘图示刚架有内力图解：1）计算支反力 F = 0, FA = 6 x 8 = 48kN MA = 0, FBx 6 - 20 x 3 - 6 x 8 x 4 = 0, FB =贝；92 = 42 kN F = 0, FA + 20 - 42 = 0, FA = 22kN2)绘弯矩图：分别分析三根杆CD杆：受力如图利用平衡关系，得：、=2 x 6 x伞=48kNm佐侧受拉）BC杆：分为两段，受力图如图:20 kN孔=42 kN LI由CEB段平衡:由 EB 段平衡:

18、MeB = 42x 3 =126kN m（下拉）M = 42 x 6 - 20 x 3 = 192 kN m （下拉） CE弯矩图如图:AC杆: 考虑结点C的弯矩平衡，得：Mca= 192 - 48 =144kN m （右拉）A点是铰，弯矩为零，利用叠加法，绘出AC杆的弯矩图如图将各杆件上的弯矩图合成，得结构的弯矩如图:3）绘剪力图：同样分别对各根杆CD 杆：F = 24 kNCEB 杆：FCc = 20 - 42 = -22 kN，F = -42 kNAC杆:将各关键点剪力值标出，用直线连接组成结构剪力图如图所示:FCA = 48 - 24 = 24 kN，FCA = 48 kN4）绘轴力图

19、：同样分别对各根杆，但因CEB段不受水平力，DC段不受铅垂力作用，只有AC段有轴力，Fy = fnac = 22 kN轴力图如图:都应满足平衡5）校核：因结构中的任何一部分（一段杆件，或一个结点）， 关系，所以可利用平衡关系校核计算结果是否正确。例3-6绘三铰刚架的内力图10 kN/m1) 求支反整体：受力FAx，FAy，FBx，FBy以及均布荷载，注意：这里均布荷载的含 意是沿水平方向单位长度上的荷载为10 kN。由z MB = 0,得10 v 4 v 6FA x 8 -10 x 4 x 6 = 0, FA = - = 30 kN (1)由z Fy= 0,得Fa + FB -10x4 = 0

20、,Fb = 40-30 = 10kN (1)由zF = 0,得F - FBx = 0*rBECl :受 力 F , F , F , FLBEC：受力 CxCy Bx By由zMc = 0,得10x4、Fb x 4 - Fb x 6 = 0, Fb = 6 = 6.67 kN ()再利用式(淤)可得：F = 6.67kN (一)2) 绘弯矩图、剪力图和轴力图方法：将各关键点的内力值求出，再根据关键点间的荷载情况连线。本题关键点：C、D、E处各两个截面 求内力值的三种方式: 从支座处(一个点)开始研究，再研究一段，如此重复下去;研究包括支座在内的隔离体;Q先弯矩图，然后剪力图，最后轴力图。本例采用

21、第一种方式得-6.67 kN-30 kN-30 kN(1)分析结点A，(3)分析结点D，得(2)分析AD段，(左侧或外侧受拉)Mdc = MA (外侧受拉)Fsdc = Fsda sin以-Fnda cos以=6.67 x 土 - (-30) x 彳=23.8 kNFNDC SDA=F cos 以 + Fd sin 以=-6.67 x 土 + (-30) x_1_ = 19.4 kN(4)分析DC段，得M = 0F = F一 10 x 4 x cos aF = F +10 x 4 x sin a=23.8-40x 2 =-11.9kN1= -19.4 + 40 x =-1.5kN10 kN/m

22、(5)同理，分析结点B得21+ 6.67 x=-6.0 kN= -10.4 kNM抨=0Fsbs Fb = 6.67 kNP F 10 IcN1 NBE 1 By a 心、（6）分析BE段，得川跖=FBx x4 = 6.67x4 = 26.7 kN-m（右侧或外侧受拉）Fseb = F皿=%, = 6.67 kN, NEB NBE By （7）分析结点E,得MEc=MEB （外侧受拉）F = F cosoc + F since = -10 xSEC NEBSEB12F = F sina - F cosoc = -10 x - 6.67 xNEC NEBSEB(8)最后，分析EC段，得M = 0

23、F = F =-6.0 kNF = F =-10.4 kN得到所有关键点的弯矩值、剪力图和轴力值后，连线得到各内力图。弯矩图如图:注意：抛物线中点，和杆垂直方向的高度计算方式。绘剪力图和轴力图如图:或，米用第三种方式求出支反力后，可画去弯矩图如图求剪力，两根竖支杆上的剪力267kNm267kNmF一sdaDF SEB EFsadFsbeFSDA = FDAD = -26-7/4 = -6-7kNFSDA = FDAD = 26-7/4 = 6-7kNDC杆剪力10kN/mM = 0, 10 x 4 x 2 + F x 4/cos a- 26.7 = 0SCD53.3 2m= -11.9kND厂

24、 80 - 26.7F =- 耳 cos aZY = 0, F -10 x 4cosa - F = 0F = 40 cos a + F = 40 2 -11.9 = 23.9kN同理，EC杆剪力Z Y = 0, Fsce26.726.7 2ZMe = ，Fsec =47 = 一二丁 = -6-0kN求轴力，两竖直杆轴力FNAD=F = -30kN, F = F = -10kN研究结点DF F SDC NDCNDA X = 0, Fcos a + F sin a F = 0NDCSDCSD16.7 23.8_F = sda SDC sma =3 = 19.4kNNDC cosa2/ 5研究DC杆

25、10kN/m X = 0, F F 10 x 4sin a= 0I . *1F = F + 40sin a = 19.4 + 40 _ = 1.5kN同理，研究E结点，Fnec FsecFSEB V一Fneb X = 0, F cos a- F sin a + F = 06.0_ 6.7F sin a F5F = SECSFB = 疽 = 10.5kNNECcos a研究 EC 杆，Fnce= fnec = -10.5kN例3-7绘出图示刚架的弯矩图解: 1）几何构造分析类似于两跨静定梁，这是个两框的静定刚架，F点以左为附属部分，F点以右为基本部分。将结构的基本部分和附属部分分开如图:12kN

26、1）求支反力以及铰之间的作用力附属部分：由 F= 0，得： F = 2 x 6 = 12 kN由 M = 0，得：FFxHx 6 - F x 4 - 2 x 6 x 3 = 0, 12 x 6y-12 x 3=9 kN4。不必求也可以画出弯矩图基本部分整体：由 M = 0，得：FByFFyFByAx 8 + (12 - F ) x 4 - F x 6 = 012 x 6 - 3 x 60 v=7.5 kN88由 F广0，得:二 m2CEB部分:由2M广。，得:F x 4 - F x 6 = 07.5 x 4F = 5kNBx6一再利用式（淤）得：FAx =12-FBx = 12-5 = 7kN

27、 绘弯矩图用到的内力和支反力用数值表示如图:12kN注意铰的特点以及在结点处弯矩要平衡的特点，可绘出弯矩图如图:弯矩图(kNm) 3-4少求或不求支反力绘制弯矩图对于一些特殊情况，可以不必求反力，或不必求出所有反力就可以绘 出弯矩图，有了弯矩图可根据隔离体的平衡求出各点的剪力，最后再根据结点的平衡求出轴力。注意：在这类问题中，充分利用结点的平衡关系、叠加法、弯矩图的 形状特征、以及铰的特点。例3-8绘出图中刚架的内力图解： 1)首先分析只需那些支反力就可以绘出全部弯矩图 A点没有水平支反力，所以AEC段不需支反力就可以绘出弯矩图; DB段只需B点的水平支反力就可以绘出弯矩图; CFD段只要知道

28、了 Mcf，Mdf，就可利用叠加法绘出弯矩图，而Mcf,Mdf可以利用点C和点D的平衡关系得到。因此，只需求出B点的水平支反力，可以绘出全部的弯矩图。2) 求B点的水平支反力由 F = 0，得：七=5 kN3) 绘弯矩图(1) AEC及DB段的弯矩图如图(2) 根据结点C和结点D的平衡关系，可得:M = 20 kN - mM - 40 kN - m20 kNm20 kNm40 kNm 10 kNm30 kNm(3)利用叠加法绘出CFD段的弯矩图组合各杆段弯矩图，得到结构的弯矩图如图:弯矩图（kNm）4）绘剪力图利用弯矩图和部分杆段的平衡关系，可求出任意关键点的剪力值。（1）由EA段平衡，得:（

29、2）由EC段平衡，得:（3）由CF段平衡，得:将各关键点的剪力值标在图上，然后用直线连接，形成剪力图，如图:(4)由FD段平衡，得:(5)由DB段平衡，得:剪力图(kN)5)绘轴力图利用结点的平衡以杆段的的平衡，可求出各关键点的轴力，但注意: 因为在一个结点处，相当于有一个汇交力系，所以研究一个结点只能解出 两个力。（1）由C结点平衡，得:=-21.7 kNFncd = 5kN由D结点平衡，得:驻=-28.3 kNFndc =-5kN由CA杆段的平衡，以及DB杆段的平衡，得:将各关键点的轴力值标在图上，然后用直线连接，形成轴力图，如图:轴力图(kN)建议：对于剪力图和轴力图都要求画的问题，还是

30、先求支反力，再绘 剪力图和轴力图比较简单。例3-9刚架如图，绘弯矩图1)先绘出三根竖杆的弯矩如图:2)根据结点F、D、B的平衡，得:3) FE段：剪力为0,根据弯矩和剪力的关系(_亍 F ),可知FE段的弯矩为常量Pa；4) ED段：D点为铰，弯矩为0, ED之间弯矩线性过渡，FED段弯矩如图:5) DC段：在EDC段上没有横向力作用，剪力为常量，弯矩图的斜率应一 致，即ED段上弯矩图的斜率和DC段上弯矩图的斜率要一样，所以C点 的弯矩0；6) CB段：同理，在CB段上也没有横向力作用，剪力为常量，弯矩的斜率 应一致，B点是铰，弯矩为0，所以CB段上的弯矩均为0；7) BA段：在CBA段上没有

31、横向力，剪力为常量，弯矩图的斜率应一致， 即CB段上弯矩图的斜率和BA段上弯矩图的斜率要一样，即BA段上弯矩 图和CB段上的弯矩图均为水平线，所以BA段上的弯矩为Pa。弯矩图(kN.m) 3-5静定结构的特性1、唯一性：未知量的数目和平衡方程的数目相等，解答是唯一的，而且和材料的性能无关;2、只有荷载引起内力：其它原因，如温度变化、不均匀支座沉陷(支座位移)、材料收缩、制造误差等，均不引起内力;例如:气一一3、平衡力系的影响：若在静定结构的某一几何不变的部分上作用一个平衡力系，则只有这部分上有力，其它部分上的反力和内力均为零;例如：F4、荷载等效变换的影响：若在静定结构的某一几何不变的部分上对荷载进行静力等效变换，则只有这一部分上的内力受影响，其余部分的内力 不受变换的影响。例如：F F牟UJ IJ I 3-6静定空间刚架（略）截面上的内力数量增多，有两个方向上的弯矩、扭矩、两个方向上的 剪力、和轴力等六个内力分量。作业：3-2、3-4 （单跨梁）；3-8 （多跨梁）；3-12、3-14 （刚架）；3-11（不求反力）；3-24 （多框刚架），3-25 （改错）