概率论与数学建模

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1、概率论与数学建模 基础知识部分 一、概率论： 概率论与数学建模 1、概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数。 注：事件指随机事件 例如抛骰子，抛一枚硬币。 2、常见的随机变量：X 离散型： 泊松分布：P=lek-lk！，k=0、1、2、 实际应用：时间t内到达的次数； 一本书中一页中的印刷错误数； 某地区在一天内邮件遗失的信件数； 某一天内医院的急症病人数； 某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数； 一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的粒子数等等 连续型： le-lx，x0指数分布：f=0，其它其中l0为常数 ，记为XExp(l) 特点:无记忆性。即是P(Xs+t/Xs

2、)=P(Xt) 一个元件已经使用了s小时，在此情形下，它总共能使用至少s+t小时的概率，与开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等，即元件对已使用过s小时无记忆。 实际应用：许多“等待时间”都服从指数分布；一些没有明显“衰老”迹象的机械元器件的寿命也可也用指数分布来描述 e-22s2正态分布：f=s2p，-x0 22则有：limnPX1+LXn-nmsnt=F(t) 模型一、轧钢中的浪费模型： 问题：将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序：粗轧，形成刚才的雏形；精轧，得到规定长度的成品材料。由于受到环境、技术等因素的影响，得到钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以通过调整轧机设定，

3、而均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费；而如果粗轧后的钢材长度小于规定长度，则造成整根钢材浪费。如何调整轧机使得最终的浪费最小。 问题概述：成品材料的规定长度已知为l，粗轧后的钢材长度的标准差为s，粗轧后的钢材长度的均值m，使得当轧钢机调整到m进行粗轧，然后通过精轧以得到成品材时总的浪费最少。 问题分析：精轧后的钢材长度记为X，X的均值记为m，X的方差为s，按照题意，XN(m,s2)。概率密度函数记为f，当成品钢材的规定长度l给定后，记x的概率为p， p=p。在轧钢过程中产生的浪费由两种情况构成：若Xl，则浪费量为X-l；

4、若Xl的可能性增加，浪费量同时增加；而当m很小时，XF=1.253时，方程不止一个根，但是可以证得，只有唯一负根Z*=0。由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量都将产生不同的电压时间函数。这样，不断的独立的测量就可以得到一族不同的电压时间函数。 V1(t) t tj V3 tj t V2 tj t 设T是一无限实数集，我们把依赖于参数tT的一族随机变量称为随机过程。记为X(t), tT。这时每一个tT一随机变量，T叫做参数集。 把t看作为时间，称X(t)为时刻t时过程的状态，而X(t)=x或是t=t1时过程处于状态x。对于一切的tT体称为随机过程的状态空间。 ，X(t)的所有可能的一切值的全

5、，X(t)是马尔可夫链及其基本方程： 将时间离散化为n=0，1，2，对每个n，系统的状态用随机变量Xn表示，设Xn可以取k个离散的值Xn=1，2，k，且记a=P即状态概率从Xn=iXn+1=ji的概率记为 Pij=P，即转移概率。如果Xn+1的取值只取决于Xn的取值及转移概率，而与X1，X2，Xn-1的取值无关，则称这种离散状态按照离散的时间的随机转移过程叫做马尔可夫过程。或者说此过程具有马尔可性或无后效性。 注：还可以这样表示 PXnxn|X1=x1，X2=x2，.，Xn-1=xn-1=PXnxn|Xn-1=xn-1，xnR由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马尔可夫链的基本方程为 kn

6、+1）=aPij，i=1，23，.，k (1) a并且a和Pij应满足： ika=1,nii=1kj=1=0,1,2,.Pij0,Pij=1,i,j=1,2,.,k引入状态概率向量和转移概率矩阵 a=，a，.，a），PPijkk 12k则式可表为：a=a(n)p (3) n由此可得 ：a=a(0)p (4) 式表明转移矩阵P是非负矩阵，且P的行和为1，称为随机矩阵。 说明：对于马尔可夫链模型最基本的问题是构造状态Xn及写出转移矩阵P，一旦有了P，那么给定初始状态概率a就可以用和或计算任意时段n的状态概率a 模型一：人寿保险公司对受保人的健康状况特别关注，他们欢迎年轻力壮的人投保，患病者和高龄人

7、则需付较高的保险金，甚至被拒之门外。人的健康状态随着时间的推移会发生转变，且转变是随机的，保险公司要通过大量数据对状态转变的概率做出估计，才可能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理陪金数额，下面分两种情况进行讨论： 健康与疾病： Xn1，健康 =，n=0，1，2，. 2，疾病a=P-状态概率 iPij=P-状态转移概率其中 0.2 0.8 0.7 0.3 =aP11+aP21a112n）=aP12+aP22 a=1，a=012 n 0 1 0 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22 3 0.778 0.222 a 17/9 2/9 a 2=0，a=1， 若开始处于疾病状态，即a12

8、n 0 0 1 1 0.7 0.3 2 0.77 0.23 3 0.777 0.223 a 17/9 2/9 a 2=0.75,a2(0)=0.25，当n时，更一般的l1a,a的趋向与上面两表相同。 12,a结论：当n时，a趋向于稳定值，与初始状态无12关。 健康、疾病、死亡 1,健康=2，疾病 ，n=0，1，2，.3，死亡Xn0.65 0.8 0.18 0，25 0.02 0.1 1 =aP11+aP21+aP31a1123n）=aP12+aP22+aP32aP13+aP23+aP331233给定初始状态：a=1，a=0，a=0123n a 10 1 1 0.8 0.18 0.2 2 0.7

9、57 0.189 0.054 50 0 0 1 0.1293 0.0326 0.8381 a 0 2a3(n) 0 对于例题中的小问，看出从任意状态出发经过有限次的转移都能达到另外的任意状态，而小问中则不能。 正则链定义：一个有k可状态的马尔可夫链，如果存在正整数N，使从任意的状态i经N次转移都以大于0的概率到达状态j则称为正则链。 Th1.若马尔可夫链的转移矩阵为P，则它是正则链的充要条件是存在正整数N，使P0。 Th2.正则链存在唯一的极限状态概率=，使得当n时，a，N与初始状态概率a(0)无关，满足=例如： i=1i=1 0.8 0.18 0.02=0.65 0.25 0.10 0 13

10、i=1i=1 由上面方程组可求得，= 注：这能够满足我们这样的一种想法：由于随机波动，我们不能期望当系统稳定时状态变量将停留在一个数值上。我们能达到的最好的希望是状态变量的概率分布将趋于一个极限分布。 吸收链：马尔可夫链存在一种状态，系统一旦进入该状态不再会转移到其他状态，并且系统从其他任何状态出发最终都会转移到该状态。 吸收链的定义：转移概率Pij=1的状态i称为吸收状态，如果马尔可夫链至少含一个状态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经过有限次转移到达某个吸收状态，则称这个马尔可夫链为吸收链。 模型二： 一个宠物商店出售容量为15L的水族箱，每个周末商店老板要盘点存货，开出订单。商店

11、的订货策略是如果存货为0，就在这个周末进3个新的15L水族箱。如果，只要商店还保存一个存货，就不在进新的。这个策略是基于商店平均每周销售一个水族箱的事实提出的。这个策略是不是能够保证防止商店缺货时顾客需要水族箱而无货销售的损失？ 分析：商店在每个销售周的开始存货在1个到3个之间，一周销售的个数依赖于供给和需求两方面，需求是每周平均一个，但是是随机波动的。完全在某些周需求大于供给，即使在一周的开始就有3个水族箱的最大库存。我们希望计算需要超过供给的概率。 要解决此问题需给出关于需求的概率特征的假设，假设潜在的购买者在每周以一定的概率随机到达。 因此，在一周内潜在的购买者的数目均值为1的泊松分布。

12、 建模与求解： 符号： Sn=第n周之初水族箱的供给Dn=第n周之内水族箱的需求Xn=Sn状态变量，表明在这个销售周一开始 库存水族箱的数目。假设： 若Dn-1Sn 注：Dn与模型的动态有关，将被用来构成转移状态矩阵P。 2，3设X0=3 已知状态空间Xn1，先确定P： PDn=0=0.368，PDn=1=0.368PDn=2=0.184，PDn=3=0.061 PDn0=0.019所以，若Xn=3，则 PXn+1=1=PDn=2=0.184PXn+1=2=PDn=1=0.368PXn+1=3=1-0.184-0.368=0.448其余的状态转移概率可以类似的计算，的得： 0.368 0 0.

13、632P=0.368 0.368 0.264 0.184 0.368 0.4480.368 0.368 0.368 0.264 0.632 0.184 0.448 0.368 nS=PnD3 =0.019所以 PDn可以看出PDnSn的概率依赖于n，更具体的说，它依赖于Xn，若Xn=3，则 PDnSn=PDn3=0.019 等等，为了得到关于需求多么经常超过供给的更好的想法，我们需要更多关于Xn的信息，现在我们想找到一个唯一的渐进稳定的概率向量，故我们有 =P 3i=1pi=1=得： p= 即当n时，近似有 PXn=1=0.285PXn=2=0.263 PXn=3=0.452所以，根据全概率公式，有： 3PDnSn=P(DnSn|Xn=i)Pi=1 =0.2640.285+0.0800.263+0.0190.452=0.105即在长时间的运行中，需求将有10%的时间超过供给。