求解广义力的方法

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1、求解广义力的方法一.广义力n个质点组成的力学体系受到k个约束时，它的自由度为s=3n-k。所以可以取s个独立 的坐标q1，q2，作为广义坐标，传统坐标和广义坐标之间的变换方程为：r = r (q , q，q , t)(i - 1,2, , n, s 3n)i i力学体系所受的主动力为F，F，F，所有主动力所作的虚元功为8W = f -8r，12ni ii=1通过变换方程将传统坐标换成广义坐标为8 W = (Zf 典)8 q = (Q 8 q )，其中:i oq aa aa=1 i=1aa=1Qa=(F 导)(a= 1,2,s)i = 1a称为广义力。-二.求解广义力的方法1. 定义式法这是求解

2、广义力的基本方法，由广义力的定义式：Q =Z(F 当)(a= 1,2, s)可 a i oq i = 1a4 知，欲求某一广义坐标qk对应的广义力Qk，先要通过变换方程；(i = 1,2,n, s 3n)求出偏导数Or1-OqkOr布k苛，再与对应主动力Fy F2， kF点乘求和即得:Qk=(F 言)i=1k2. 独立虚功法主动力所作的虚元功为8w=Zf-8 r，当把传统坐标r换为广义坐标qa后，所作的i = 1虚功又可以表示为8 W = (Qa8 qa) = 8Wa。所以要求某一广义力Qk，可以认为除qka=1a=1外，其余广义坐标均不变，即8 qk。0，8 qa = 0 (a = 1,2,

3、s;a。k)，此时有：8 W = 8 7 = Q8 4,则对应于广义坐标qk的广义力Qk为:Q _ 板k o qk其它广义坐标所对应的广义力可依此求出。3. 保守力系法当力学体系是保守力系，此时必存在一个势能函数V ,满足：F = -VV (i = 1,2, n)n 6r、dV由广义力的定义式可以得到Qa = (F , a，) = -(a = 1,2, s)。所以求解保守力系i=1aa的广义力，先给出用广义坐标表示的势能函数V = V(q ,q , ,q )，若求某一广义坐标q对 12sk应的广义力Q，只需用势能函数对广义坐标q求偏导数取负值即得： kkQ =-8Vdqk其余广义坐标对应的广义

4、力可依此求出。三.具体实例质点:质点气:图1下面通过双摆的例子具体来看一下三种计算广义力的方法。图1是一个双摆系统，体系的质点数为2,它的自由度是2,选取0、中为广义坐标，直角坐标系如图建立，变换方程为:r = l sin 0 i +1 cos 0 jr = (l sin Q +1 sin 中)i + (l cos 0 +1 cos 中)j21212质点m所受的主动力f1=m1 gj，质点m所受的主动力f2=mg j。i.定义式法 由变换方程得：arar节=l cos0 i 一 l sin 0 j，浦=l cos0 i 一 l sin 0 j= 0，甘=l cos pi 一 l sin j所以

5、对应于广义坐标0的广义力为:Q =F 屿=F 球 + F 实=-(m + m )gl sin0 0 i a01 a02 a0121i=1对应于广义坐标P的广义力为：Q =E F 兰=F % + F 冬=-m gl sin p p i ap1 ap 2 ap2 2i=12.独立虚功法对L，可认为中不变，而0发生了一个虚角位移的(如U图2),主动力作的虚功为:5W =5W =1LF -5r = F -5r + F -5r =-(m + m )gl sin0500i i 1122121i=1根据前面的讨论矢知，对应于广义坐标0的厂义力为：八awQ =W# = (m + m )gl sin0。同样对Q

6、，可认为0不图2图3变，而P发生了一个虚角位移凶(如图3),主动力作的虚功为:5W =8W =F -5r = F -5r =-m gl sin中8中甲i i 2222i=1aw对应于广义坐标中的广义力为q广云=- m gi2血？。3.保守力系法由于双摆是一个保守力系，所以也可用保守力系法求解。以过O点的水平面为势能零点， 则体系的势能为：V = -(m + m ) gl cos 0 一 m gl cos 中12122八- av所以，对应于广义坐标0的广义力为Q0=-0 = -叫+ m2)gl1 sin0，对应于广义坐标中av的广义力为一和=gl2sin中。四.小结上面简单介绍了三种计算广义力的方法，需要注意的是，对于不同的分析力学问题，三 种计算广义力的方法难易程度是不一样的，要根据具体的问题具体进行分析，以达到选取最 简单的计算方法的目的。参考文献1周衍柏.理论力学教程M.高等教育出版社，2009： 203-206,213,224.