《数字信号处理》第三课后习题答案

《《数字信号处理》第三课后习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数字信号处理》第三课后习题答案（87页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数字信号处理第三课后习题答案数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列d(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解： x(n)=d(n+4)+2d(n+2)-d(n+1)+2d(n)+d(n-1)+2d(n-2)+4d(n-3) +0.5d(n-4)+2d(n-6)2n+5,-4n-12. 给定信号：x(n)=6,0n4 0,其它画出x(n)序列的波形，标上各序列的值； 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； 令x1(n)=2x(n-2)，试画出x1(n)波形； 令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形； 令x3(n)=2x(2-n)，试画出x3

2、(n)波形。 解： x(n)的波形如题2解图所示。 x(n)=-3d(n+4)-d(n+3)+d(n+2)+3d(n+1)+6d(n) +6d(n-1)+6d(n-2)+6d(n-3)+6d(n-4)x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图所示。 x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图所示。 1 画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 x(n)=Acos(pn-)，A是常数； 837px(n)=e解： 1j(n-p)8。 32p

3、14=，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 7w312pw=,=16p，这是无理数，因此是非周期序列。 8ww=p,5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)； y(n)=x(n-n0)，n0为整常数； y(n)=x2(n)； y(n)=x(m)。 m=0n解： 令：输入为x(n-n0)，输出为y(n)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2)y(n-n0)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2)=y(n)故该系统是时不变系统。

4、y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2(ax1(n-1)+bx2(n-1)+3(ax1(n-2)+bx2(n-2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n-1)+3ax1(n-2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n-1)+3bx2(n-2) 2 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。 这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 令输入为x(n-n1)，输出为y(n)=x(n-n1-n0)，因为 y(n-n1)=x(n-n1-n0)=y(n) 故延时器是一个时不变系统。又因为 Tax1(n)

5、+bx2(n)=ax1(n-n0)+bx2(n-n0)=aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。 y(n)=2x(n )令：输入为x(n-n0)，输出为y(n)=x2(n-n0)，因为 y(n-n0)=x2(n-n0)=y(n) 故系统是时不变系统。又因为 Tax1(n)+bx2(n)=(ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) 2 =ax12(n)+bx2(n)因此系统是非线性系统。 y(n)=x(m) m=0n令：输入为x(n-n0)，输出为y(n)=x(m-n0)，因为 m=0ny(n-n0)=x(m)y(n) m=0n-n0故该系统是时变系统。又因为 3

6、 nTax1(n)+bx2(n)=(ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n) m=0故系统是线性系统。 6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 1N-1y(n)=x(n-k)； Nk=0y(n)=n+n0k=n-n0x(k)； y(n)=ex(n)。 解： 只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M，则y(n)M，因此系统是稳定系统。 如果x(n)M，y(n)n+n0k=n-n0x(k)2n0+1M，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关. 系统是因果系统，因为系统的输

7、出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)M，则y(n)=ex(n)ex(n)eM，因此系统是稳定的。 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解： 解法:采用图解法 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n-m) m=0 4 图解法的过程如题7解图所示。 解法:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式: x(n)=-d(n+2)+d(n-1)+2d(n-3) 1h(n)=2d(n)+d(n-1)+d(n-2)2因为 x(n)d*(n=)x(n)x(n)*dA(-nk=)Ax(-n)k1y(n)=x(n)*2d

8、(n)+d(n-1)+d(n-2)2所以 1 =2x(n)+x(n-1)+x(n-2)2将x(n)的表达式代入上式，得到 y(n)=-2d(n+2)-d(n+1)-0.5d(n)+2d(n-1)+d(n-2) +4.5d(n-3)+2d(n-4)+d(n-5)8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。 h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)； h(n)=2R4(n),x(n)=d(n)-d(n-2)； h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)。 解： y(n)=x(n)*h(n)=m=-R(m)R(n-m) 45先确定求和域，由

9、R4(m)和R5(n-m)确定对于m的非零区间如下： 0m3,n-4mn 根据非零区间，将n分成四种情况求解： n0,y(n)=0 5 n0n3,y(n)=1=n+1 m=04n7,y(n)=7n,y(n)=0 最后结果为 m=n-41=8-n 30, n7y(n)=n+1, 0n3 8-n, 4n7y(n)的波形如题8解图所示。 y(n)=2R4(n)*d(n)-d(n-2)=2R4(n)-2R4(n-2) =2d(n)+d(n-1)-d(n-4)-d(n-5)y(n)的波形如题8解图所示. y(n)=x(n)*h(n) =m=-R5(m)0.5n-mu(n-m)=0.5nm=-R5(m)0

10、.5-mu(n-m)y(n)对于m的非零区间为0m4,mn。 n0,y(n)=0 0n4,y(n)=0.55n,y(n)=0.5n4nm=00.5-mn-m1-0.5-n-1n=0.5=-(1-0.5-n-1)0.5n=2-0.5n -11-0.5m=00.51-0.5-5nn =0.5=310.5-11-0.5最后写成统一表达式： y(n)=(2-0.5n)R5(n)+310.5nu(n-5) 11. 设系统由下面差分方程描述： 6 y(n)=11y(n-1)+x(n)+x(n-1)； 22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 解： 令：x(n)=d(n) h(n)=11h(n-

11、1)+d(n)+d(n-1) 2211h(-1)+d(0)+d(-1)=12211n=1,h(1)=h(0)+d(1)+d(0)=122 11n=2,h(2)=h(1)=2211n=3,h(3)=h(2)=222n=0,h(0)=归纳起来，结果为 1h(n)=n-1u(n-1)+d(n) 212. 有一连续信号xa(t)=cos(2pft+j),式中，f=20Hz,j=求出xa(t)的周期。 p2%a(t)的表用采样间隔T=0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x达式。 %a(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形，画出对应x并求出x(n)的周期。 第二章 教材第二章习题解答 1.

12、 设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的7 傅里叶变换： x(n-n0)； x(-n)； x(n)y(n)； x(2n)。 解： FTx(n-n0)=n=-x(n-n)e0-jwn令n=n-n0,n=n+n0，则 FTx(n-n0)=-jwn*n=-x(n)e-jw(n+n0)=e-jwn0X(ejw) FTx(n)=*n=-x(n)en=-=x(n)ejwn*=X*(e-jw) n=-jwnFTx(-n)=令n=-n，则 x(-n)eFTx(-n)=n=-x(n)ejwn=X(e-jw) FTx(n)*y(n)=X(ejw)Y(ejw) 证明： x(

13、n)*y(n)=m=-x(m)y(n-m) -jwnFTx(n)*y(n)=n=-m=-x(m)y(n-m)e令k=n-m，则 8 FTx(n)*y(n)= =k=-m=-x(m)y(k)e-jwkm=-jwk-jwnek=-y(k)ex(m)e-jwn =X(ejw)Y(ejw)1,ww02. 已知X(e)= 0,wwp0jw求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)=12pw0-w0ejwndw=sinw0n pn3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)=H(ejw)ejq(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=Acos(w0n+j)的稳态响

14、应为 y(n)=AH(ejw)cosw0n+j+q(w0)。 解： 假设输入信号x(n)=ejwn，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为 0y(n)=h(n)*x(n)=m=-h(m)ejw0(n-m)=ejw0nm=-h(m)ejw0n-jw0m=H(ejw0)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 x(n)=Acos(w0n+j)=y(n)=1Aejw0nejj+e-jw0ne-jj21 Aejjejw0nH(ejw0)+e-jje-jw0nH(e-jw0)21 =Aejjejw0nH(ejw0)ejj

15、(w0)+e-jje-jw0nH(e-jw0)ejq(-w0)2上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数， 9 H(ejw)=H(e-jw),q(w)=-q(-w)1AH(ejw0)ejjejw0nejq(w0)+e-jje-jw0ne-jq(w0) 2 =AH(ejw0)cos(w0n+j+q(w0)y(n)=1,n=0,14. 设x(n)=将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列0,其它%(n)，画出x(n)和x%(n)的波形，求出x%(n)的离散傅里叶级数xX(k)和傅里叶变换。 解： %(n)的波形如题4解图所示。 画出x(n)和x%(k)=DFSx%(n)=x%(n

16、)eXn=03-j2pkn4=en=01-jkn2p=1+e-jk2p =e-jk4p(ejk4p+e-jk4p)=2cos(k)e4p-jk4p, %(k)以4为周期，或者 Xe(e-e)%(k)=e-j2kn=1-eX=ep111-jk-jpkjpk-jpkn=01-e2e4(e4-e4)1p-jpk1-jpk21jpk21-jpk21-jpk41sinpk2, 1sinpk4%(k)以4为周期 X2p%(n)=X(e)=FTx4jw2p%X(k)d(w-k)4k=- =pp%X(k)d(w-k)2k=-2p2k) =pcos(k)e4k=-p-jk4pd(w-5. 设如图所示的序列x(n

17、)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： X(ej0)； pX(ejw)dw； -p 10 pX(ejw)dw -p2解： X(e)=x(n)=6 j0n=-37X(ejw)dw=x(0)2p=4p -ppX(e)dw=2px(n)=28p jw-pn=-3p2726. 试求如下序列的傅里叶变换: x2(n)=d(n+1)+d(n)+d(n-1)； x3(n)=anu(n),0a1 解： 1jw1-jw-jwnx(n)e=e+1+e222n=-1 =1+(ejw+e-jw)=1+cosw2X2(e)=jw1212 X3(e)=jwn=-au(n)en-jwn=ane-

18、jwn=n=01 -jw1-ae7. 设: x(n)是实偶函数， x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)=jwn=-x(n)e-jwn11 x(n)是实、偶函数，X(e)=jwn=-x(n)e-jwn两边取共轭，得到 X(e)=*jwn=-x(n)ejwn=n=-x(n)e-j(-w)n=X(e-jw) 因此X(ejw)=X*(e-jw) 上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。 X(e)=jwn=-x(n)e-jwn=n=-x(n)coswn+jsinwn 由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 n=-x

19、(n)sinwn=0 因此X(e)=jwn=-x(n)coswn 该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。 总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。 x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即 X(ejw)=X*(e-jw) X(e)=jwn=-x(n)e-jwn=n=-x(n)coswn+jsinwn 由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么x(n)coswn=0 n=-因此X(e)=jx(n)sinwn jwn=- 12 这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。 10. 若序列h

20、(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)=1+cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解： 1jw1-jwHR(e)=1+cosw=1+e+e=FThe(n)=he(n)e-jwn22n=-jw12,n=-1he(n)=1,n=01,n=120,n00,其它neH(e)=jwn=-h(n)e-jwn=1+e-jw=2e-jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=d(n)+2d(n-2)，完成下面各题： 求出系统输出序列y(n)； 分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： y(n)=h(n

21、)*x(n)=anu(n)*d(n)+2d(n-2) =au(n)+2ann-2u(n-2) 13 X(e)=H(e)=jwjwjwn=-d(n)+2d(n-2)eau(n)enjw-jwnn=0-jwn=1+2e-j2w1 -jw1-aen=-=ane-jwn=1+2e-j2wY(e)=H(e)X(e)=1-ae-jwjw13. 已知xa(t)=2cos(2pf0t)，式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对%a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面xa(t)进行采样，得到采样信号x各题： 写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(jW)； %a(t)和x(n)的表达式； 写出x%a

22、(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 分别求出x解： Xa(jW)=xa(t)e-jWtdt=2cos(W0t)e-jWtdt- =(e-jW0t+e-jW0t)e-jWtdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数d函数，它的傅里叶变换可以 表示成： Xa(jW)=2pd(W-W0)+d(W+W0) a(t)= xn=-x(t)d(t-nT)=2cos(WnT)d(t-nT) a0n=-x(n)=2cos(W0nT), -n-1-11-2z2ZT-2u(-n-1)= =-nn=-2-nu(-n-1)z-n=n=-1-2-nz-n=-2nznn=1-2z11=,z1-2z1-2

23、-1z-12ZT2u(n)-u(n-10)=2-nz-n-nn=09 =15 1-2z,0z-1-11-2z-10-1016. 已知: X(z)=32 +1-11-2z-11-z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解： 有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 当收敛域z0.5时， x(n)=X(Z)z2pjc1n-1dz 令F(z)=X(z)zn0，因为n-1，Cn-15-7z-15z-7n-1=z=zn -1-1(1-0.5z)(1-2z)(z-0.5)(z-2)c内无极点，x(n)=0； 内有极点0，但z=0是一个n阶极

24、点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么 x(n)=-ResF(z),0.5-ResF(z),2(5z-7)zn(5z-7)zn =(z-0.5)z=0.5-(z-2)(z-0.5)(z-2)(z-0.5)(z-2)1 =-3n+22nu(-n-1)2z=2当收敛域0.5z2时， (5z-7)zn F(z)=(z-0.5)(z-2)n0，C内有极点0.5； 1x(n)=ResF(z),0.5=3n 2 16 n0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2， x(n)=-ResF(z),2=-22nu(-n-1) 最后得到x(n)

25、=3(12)nu(n)-22nu(-n-1) 当收敛域2z时， (z)=(5z-7)znF(z-0.5)(z-2) n0，C内有极点0.5，2； x(n)=ResF(z),0.5+ResF(z),2=3(12)n+22n n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。 或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到 x(n)=3(12)n+22nu(n) 17. 已知x(n)=anu(n),0aa nan=-ZTnx(n)=-zdaz-1dzX(z)=(1-az-1)2,za 17 -ZTau(-n)=az=a

26、nzn=-n-n-nn=0n=01,za-1 1-az-3z-118. 已知X(z)=，分别求： -1-22-5z+2z收敛域0.5z2对应的原序列x(n)。 解： x(n)=12pjn-1X(z)zdz cF(z)=X(z)zn-1-3z-1-3znn-1 =z=-1-22-5z+2z2(z-0.5)(z-2)当收敛域0.5z2时，n0，c内有极点0.5， x(n)=ResF(z),0.5=0.5n=2-n,n0, c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2, x(n)=-ResF(z),2=2n, 最后得到 x(n)=2-nu(n)+2nu(-n-1)=2-

27、n用卷积法求网络输出y(n)； 用ZT法求网络输出y(n)。 解： 用卷积法求y(n) y(n)=h(n)*x(n)=mu(m)an-mu(n-m)，n0, mb=-nnn1y(n)=an-mm-mbm=an1-a-n-bn+1an+1-bn+1b=am=0a，n0，m=01-a-1b=a-b最后得到 an+1)=-bn+1y(na-bu(n) 用ZT法求y(n) X(z)=11-az-1,H(z)=11-bz-1 Y(z)=X(z)H(z)=1(1-az-1)(1-bz-1)y(n)=1n-12pjcY(z)zdz 令n-1F(z)=Y(z)zn-1zzn+1=(1-az-1)(1-bz-1

28、)=(z-a)(z-b) n0,c内有极点a,b 19 y(n)=0 an+1bn+1an+1-bn+1y(n)=ResF(z),a+ResF(z),b=+= a-bb-aa-b因为系统是因果系统，n0,y(n)=0，最后得到 an+1-bn+1y(n)=u(n) a-b28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： HR(ejw)=1-acosw,a1 21+a-2acosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解： 1-acosw1-0.5a(ejw+e-jw) HR(e)=22jw-jw1+a-2acosw1+a-a(e+e)jw1-0.5a(z+z-1)1-0.5a

29、(ejw+e-jw) HR(z)=1+a2-a(z+z-1)(1-az-1)(1-az)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。 he(n)=H2pjc1R(z)zn-1dz F(z)=HR(z)zn-1-0.5az2+z-0.5an-1=z -a(z-a)(z-a-1)因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：az0 0.5a-n,n0=an,n0=anu(n) 0,n00,n0H(e)=ane-jwn=jwn=01 -jw1-ae3.2 教材第三章习题解答 1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0nN-1内,序列定义为 x(n)=d(n)； x(n)

30、=Rm(n),0mN； x(n)=cos(2pnm),0mN； Nx(n)=sin(w0n)RN(n)； x(n)=nRN(n)。 解： X(k)=d(n)W=d(n)=1,k=0,1,L,N-1 knNn=0n=0N-1N-1 21 X(k)=Wn=0N-1knN1-W=1-W2pkmNkN=e-jpNk(m-1)sin(pNmk)m)sin(2ppN,k=0,1,L,N-1 1N-1jN(m-k)n1N-1-jN(m+k)n=e+e2n=02n=02p2pj(m-k)N-j(m+k)N11-eN1-eN =+2p2pj(m-k)-j(m+k)2N1-eN1-e1,k=m且k=N-m=N,0

31、kN-10,km或kN-mN-1-jmn-jkn1jNmn2pknNX(k)=cosmnWN=(e+e)eN Nn=0n=02N-12p2p2p解法1 直接计算 x8(n)=sin(w0n)RN(n)=N-1n=01jw0ne-e-jw0nRN(n) 2jknX8(k)=x(n)WN-jkn1N-1jw0n-jw0n=e-eeN 2jn=02p2p2p1N-1jn-jn11-ejw0N1-ejw0N=-e-=e2p2pj(w0-k)j(w0+k)2jn=02jNN1-e1-e解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为 x7(n)=ejw0nRN(n)=cos(w0n)+jsin(w0n)RN(n)

32、 x8(n)=sin(w0n)RN(n)=Imx7(n) 所以 DFTjx8(n)=DFTjImx7(n)=X70(k) 即 22 X8(k)=-jX70(k)=-j1*X7(k)-X7(N-k) 211-ejw0N1-ejw0N11-ejw0N1-ejw0N*=-=-2p2p2p2pj(w0-k)j(w0-(N-k)j(w0-k)j(w0+k)2j2jNNNN1-e1-e1-e1-e结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 解法1 knX(k)=nWNn=0N-1k=0,1,L,N-1 上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)=nRN(n) 所以 x(n)

33、-x(n-1)NRN(n)+Nd(n)=RN(n) 等式两边进行DFT得到 kX(k)-X(k)WN+N=Nd(k) 故 X(k)=Nd(k)-1,k=1,2L,N-1 k1-WN当k=0时，可直接计算得出X N(N-1)X(0)=n*W=n= 2n=0n=00NN-1N-1这样，X可写成如下形式： N(N-1),k=02X(k)= -N,k=1,2L,N-1k1-WN解法2 k=0时， X(k)=n=n=0N-1N(N-1) 2 23 k0时， k2k3k(N-1)kX(k)=0+WN+2WN+3WN+L+(N-1)WNkn2k3k4k(N-1)kWNX(k)=0+WN+2WN+3WN+L+

34、(N-2)WN+(N-1)X(k)-WX(k)=WknNn=1N-1knNkn-(N-1)=WN-1-(N-1)=-Nn=0N-1所以， X(k)=-N,k0 k1-WN即 N(N-1),k=02 X(k)=-N,k=1,2L,N-1k1-WN2. 已知下列X(k)，求x(n)=IDFTX(k); Njq2e,k=mNX(k)=e-jq,k=N-m; 20,其它kNjq-2je,k=mNX(k)=je-jq,k=N-m 20,其它k解： = 24 2p2p1N-1-kn1NjqjNmnN-jqjN(N-m)nx(n)=IDFTX(k)=WN=ee+eeNn=0N22 2p2p-j(mn+q)1

35、j(Nmn+q)2pNe+e=cos(mn+q),n=0,1,LN-12Nx(n)=1NNjq-mnN-jq-(N-m)n -jeWN+eWN222p2p1j(Nmn+q)-j(Nmn+q)2p=e-e=sin(mn+q),n=0,1,LN-1 2jN3. 长度为N=10的两个有限长序列 1,0n41,0n4 x2(n)= x1(n)=0,5n9-1,5n9作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)x2(n)。 解： 、所示。 x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)x2(n)分别如题3解图14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为: x(n)=0,n0,8ny(n)=

36、0,n0,20n对每个序列作20点DFT,即 X(k)=DFTx(n),k=0,1,L,19Y(k)=DFTy(n),k=0,1,L,19如果 F(k)=X(k)Y(k),k=0,1,L,19f(n)=IDFTF(k),k=0,1,L,19试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)，为什么？ 解： 25 如前所示，记f(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n)y(n)。fl(n) 长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为 f(n)=m=-f(n+20m)Rl20(n) 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n)所以 f(n)=fl(n)=

37、x(n)*y(n),7n19 15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： 最小记录时间Tpmin； 最大取样间隔Tmax； 最少采样点数Nmin； 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解： 已知F=50HZ Tpmin=11=0.02s F50Tmax=Nmin=1fminTpT=11=0.5ms 32fmax210=0.02s=40 0.510-3频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍 Nmin=0.04s=80 0.5ms18. 我们希望利用h(n)长度为N

38、=50的FIR滤波器对一段很长的数据26 序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n)中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出y(n)。 求V； 求B； 确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解： 为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点

39、为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。 下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道 ym(n)=r=-ylm(n+128r)R128(n) 因为ylm(n)长度为 N+M-1=50+100-1=149 27 所以从n=20到127区域， ym(n)=ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论 V=49,B=51 选取ym(n)中第4999点作

40、为滤波输出。 5.2 教材第五章习题解答 1. 设系统用下面的差分方程描述： y(n)-311y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1)， 483试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解： y(n)-311y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1) 483将上式进行Z变换 311Y(z)-Y(z)z-1+Y(z)z-2=X(z)+X(z)z-1 48311+z-13H(z)= 3-11-21-z+z48按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图所示。 将H(z)的分母进行因式分解 11+z-13H(z)= 3-11-21-z+z48 28 =11(

41、1-z-1)(1-z-1)2411+z-13按照上式可以有两种级联型结构： 11+z-113(a) H(z)= 1-11-1(1-z)(1-z)24画出级联型结构如题1解图所示 11+z-113(b) H(z)= 1-11-1(1-z)(1-z)24画出级联型结构如题1解图所示 将H(z)进行部分分式展开 H(z)=11+z-1311(1-z-1)(1-z-1)241z+H(z)AB3 =+1111z(z-)(z-)z-z-24241z+1103 A=(z-)=1112z=3(z-)(z-)2241z+173B=(z-)=- 1114z=3(z-)(z-)424107H(z)=3-3 11zz

42、-z-24107107zz-33 H(z)=3-3=+1111z-z-1-z-11-z-1242429 根据上式画出并联型结构如题1解图所示。 2. 设数字滤波器的差分方程为 y(n)=(a+b)y(n-1)-aby(n-2)+x(n-2)+(a+b)x(n-1)+abx(n)， 试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解： 将差分方程进行Z变换，得到 Y(z)=(a+b)Y(z)z-1-abY(z)z-2+X(z)z-2+(a+b)X(z)z-1+abX(z) Y(z)ab+(a+b)z-1+z-2 H(z)=-1-2X(z)1-(a+b)z+abz按照Massion公式直接画出直接型

43、结构如题2解图所示。 将H(z)的分子和分母进行因式分解： (a+z-1)(b+z-1)H(z)=H1(z)H2(z) -1-1(1-az)(1-bz)按照上式可以有两种级联型结构： z-1+a(a) H1(z)= -11-azz-1+bH2(z)= 1-bz-1画出级联型结构如题2解图所示。 z-1+a(b) H1(z)= 1-bz-1z-1+bH2(z)= -11-az画出级联型结构如题2解图所示。 3. 设系统的系统函数为 30 4(1+z-1)(1-1.414z-1+z-2)， H(z)=(1-0.5z-1)(1+0.9z-1+0.18z-2)试画出各种可能的级联型结构。 解： 由于系

44、统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。 H(z)=H1(z)H2(z) H1(z)=4(1+z-1)1-0.5z-1， 1-1.414z-1+z-2H2(z)= 1-0.9z-1+0.81z-2画出级联型结构如题3解图所示。 1-1.414z-1+z-2 H1(z)=, -11-0.5zH2(z)=4(1+z-1)1-0.9z+0.81z-1-2画出级联型结构如题3解图所示。 4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d 解： (d) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)*h4(n)+h5(n) =h1(n)*

45、h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n) H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z) 5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解： 31 rsinqz-1(d) H(z)= 1-rcosqz-1-rcosqz-1+r2sin2qz-2+r2cos2qz-2rsinqz-1 = -12-21-2rcosqz+rzy(n)=2rcosqy(n-1)-r2y(n-2)+rsinqx(n-1)6. 写出图中流图的系统函数。图f 解： 112+z-122+z-142(f) H(z)= =1-13-21-13-21-z+z1-z+z48488已知FI

46、R滤波器的单位脉冲响应为h(n)=d(n)-d(n-1)+d(n-4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。 解： 已知频率采样结构的公式为 H(z)=(1-z-N1N-1H(k) )-k-1Nk=01-WNz式中，N=5 H(k)=DFTh(n)=h(n)Wn=0N-1knNkn =d(n)-d(n-1)+d(n-4)WNn=04 =1-e2-jpk5+e8-jpk5,k=0,1,2,3,4 它的频率采样结构如题8解图所示。 6.2 教材第六章习题解答 1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp=6kHz，通带32

47、最大衰减ap=3dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解： 求阶数N。 N=-0.1algksplglsp10p-1100.3-1ksp=0.0562 0.1as2.510-110-1Ws2p12103lsp=2 3Wp2p610将ksp和lsp值代入N的计算公式得 N=-lg0.0562=4.15 lg2所以取N=5 求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为 Ha(p)=1p5+3.2361p4+5.2361p3+5.2361p2+3.2361p+1或

48、 Ha(p)=1 22(p+0.618p+1)(p+1.618p+1)(p+1)当然，也可以按式计算出极点: pk=e12k+1jp(+)22N,k=0,1,2,3,4 按式写出Ha(p)表达式 33 Ha(p)=1C(p-p)kk=04代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。 去归一化，由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。 由于本题中ap=3dB，即Wc=Wp=2p6103rad/s，因此 Ha(s)=Ha(p)s Wcp=Wc5 =5 4233245s+3.2361Wcs+5.2361Wcs+5.2361Wcs+3.2361Wcs+Wc对分母因式形式，则有 H

49、a(s)=Ha(p)s Wcp=Wc5 =2 (s+0.6180Wcs-W2c)(s2+1.6180Wcs-W2c)(s+Wc)如上结果中，Wc的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最在衰减速ap=0.2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=50dB。求出归一化传输函数Ha(p)和实际的Ha(s)。 解： 确定滤波器技术指标： ap=0.2dB，Wp=2pfp=6p103rad/s 34 as=50dB,Ws=2pfs=24p103rad/s lp=1,ls=Ws=4 Wp求阶数N和e： Arch(k-1) N=Arch(ls)100.1as-1k=1456.65 0.1ap10-1-1N=Arch(1456.65)=3.8659 Arch(4)为了满足指标要求，取N=4。 e=100.1ap-1=0.2171 求归一化系统函数Ha(p) Ha(p)=1N=11.7386C(p-pk)k=14e2N-1C(p-pk)k=1其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下： pk=-ch(x)sin(2k-1)p(2k-1)p)+jch(x)cos,k=1,2,3,4 2N2N