微积分课件导数的应用南京大学

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1、南京 *大学 高数教研室微积分微积分教学课件教学课件 第五章 导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 内容导航 前前 言言 理论基础：中值定理理论基础：中值定理 一阶导数的应用一阶导数的应用 二阶导数的应用二阶导数的应用 数学建模：最优化模型数学建模：最优化模型 第五章 导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 前前 言言本章我们进一步用导

2、数来研究函数的特性，并由此解决一些实际问题。导数可应用于求各种变化率，如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题。用数学解决实际问题，可统称为数学建模数学建模。最后介绍微分的概念及应用 5-1 理论基础:中值定理精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 abafbfxf)()()(0拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函数由于y=f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，则必定在（a，b）内至少存在一点x0使得如图所示xy0bax0y=f(x)5

3、-1 理论基础:中值定理精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例1 1 试证当x0时，有xxxx)1ln(1令f(t)=ln(1+t)，则f(t)在0，x上满足拉格朗日中值定理，则)0)()0()(0 xxffxf其中xx 00)0(11)01ln()1ln(0 xxx即01)1ln(xxx因为xxxxxx01110所以xxxx)1ln(1 证证 5-1 理论基础:中值定理精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用

4、v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例2 2 试证当,bax有0 y则yf(x)在a，b是增函数。任,21baxx，由于y说明可用中值定理有)()()(12012xxxfxfxf其中201xxx由已知0)(0 xf，012 xx故0)()(12xfxf，)()(12xfxf证得f(x)在a，b递增。证证在a，b存在；应用此中值定理注意（构造）什么函数在什么区间上运用。应用此中值定理注意（构造）什么函数在什么区间上运用。拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁。5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第

5、3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 函数单调性的判定函数单调性的判定设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b连续，（连续，（a,ba,b）可导，那么）可导，那么例例3 3 判别函数 的单调性解 xey）内单调递减。，在（所以因为xxeyxey),(,0内单调递减。在，内单调递增；在，),()(0),()(0baxfybaxfy 5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例

6、4 4 求函数19323xxxy的单调区间。),(9632xxy令09632xxy得11x，32x解解函数的定义域为数轴上讨论，如图 x-13yy+_+在)1,(区间取2x 代入y得0 y 在)3,1(区间取x=0 代入y得 0 y),3(区间取4x代入y 得0y在得 函数在)1,(和),3(上递增；在)3,1(上递减。5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 重要说明重要说明:yy,0，yy,0解题步骤：1.求导y；2.令0y，求驻点xi0y和奇点xi（

7、y不可导的点，见下例）；y 首先求出函数的定义域，因为要把函数的定义域讨论完，y 技巧是只须取一好计算的点x0，这有“投石问路”的方法技巧。确定函数单调区间的依据为：的点）（.数轴上以xi（驻点、奇点可统称为分界点）分区间讨论正负号，得结论。以及定义域外不讨论单调性；关于讨论一个区间上 符号，5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例5 5 确定32xy 函数的定义域为),(的单调区间。解解3313232xxy由于0y则无驻点；y则x=0为奇点当x=0

8、时不存在，（也可以是单调区间分界点）讨论 得函数在)0,(递减，),0(递增。5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值定义定义 设函数yf(x)在（a，b）有意义，),(0bax，若x0附近的函数值都大于（或都小于）f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个（或极小值），点x0叫函数f(x)的极大值点极大值点（或极小值点）。函数的极大值和极小值统称为极值极值。极大值点和极小值点统称为极值点极值点。注意注意:极值

9、是局部局部概念-局部最大或最小；一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值，但可能有多个极大值和极小值。5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 如何求函数的极值？如何求函数的极值？如下图所示：可见，极值与函数的单调性密切联系，极值就是函数单调区间的分界点。因而可以通过求单调区间来求极值。因而可以通过求单调区间来求极值。xy0y=f(x)x1x2x3x4 5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章

10、 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例6 6 求函数3129223xxxy的极值。f(x)的定义域为),(令0)2)(1(6121862xxxxy解解得驻点11x22x讨论如图 x1极大2极小yy+_+得，当x=1时，函数有极大值f(1)=2；当x=2时，函数有极小值f(2)=1。5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 说明说明 求函数极值的方法与步骤求函数极值的方法与步骤：)(xf 令0)(xf分区

11、间讨论)(xf 将极值点代入f(x)算出极值。求。，求一阶驻点和奇点xi。的正负号，确定单调区间进而确定极值点。5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例7 7 求函数3)1)(1()(xxxf的极值。函数的定义域为),(解解)12()1(23)1)(1()1()(223xxxxxxf令0)(xf得11x212x讨论如图 得 函数的极小值为1627)21(f，驻点1x不是极值点。x-1yy+_+21 5-2 一阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函

12、数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例8 8 求函数32)1()(xxxf的极值。函数的定义域为),(3325)(xxxf解解奇点01x，驻点522x讨论如图 得，函数的极大值为0)0(f，极小值为325453)52(fx0yy+_+52 5-3 二阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 曲线凹凸区间的判定（如图）曲线凹凸区间的判定（如图）直观看曲线“往上弯”为凹凹，每

13、点切线在曲线下方；曲线“往下弯”为凸凸，每点切线在曲线上方。xy0 xy0abbay=f(x)y=f(x)a图b图1212 5-3 二阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 进一步观察曲线凹凸性与切线的关系进一步观察曲线凹凸性与切线的关系a图曲线是凹的,切线的倾斜角 为锐角，且由小变大，tan 是递增的，0)(xf有f(x)递增，则表明0)(xf有tan)(xf 递增，反之亦然，这就得到0)(xf有f(x)凹；(b）图同理有0)(xf，f(x)凸。回忆曲线上凹凸的

14、分界点叫做曲线的拐点拐点。凸。的地方，凹；的地方，)(0)()(0)(xfxfxfxf 5-2 二阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例9 9 求5248923xxxy的凹凸区间和拐点。解解 函数的定义域为),(48183)(2xxxf，令0186)(xxf 31x（为二阶驻点）讨论如图 得 曲线在)3,(凸，在凹，拐点为（3，-146）。x3-+y y),3(5-3 二阶导数的应用 5-3 二阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第

15、3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 求曲线凹凸区间、拐点与求曲线凹凸区间、拐点与单调区间、极值的步骤与要点类似单调区间、极值的步骤与要点类似：)(xf、)(xf （2）求二阶驻点和奇点xi；)(xf 其分界点xi代回函数f(x)，并算出f(xi)，则有拐点。（1）求；（3）由xi分区间讨论符号确定凹凸区间；5-3 二阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例1010 求曲线3xy 的凹凸区间

16、和拐点。解解 函数的定义域为),(3231xy，3292xxy 有二阶奇点x=0，讨论如图 得 曲线在)0,(凸，在),0(可见，二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点可见，二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点 凹，拐点为（0，0）x0-+y y 5-3 二阶导数的应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 曲线形态判别方法小结曲线形态判别方法小结 曲线增减与极值1、yy,0yy,0极值为增减区间分界点2、步骤（1）求)(xf（2）求一阶驻点、奇点xi；（3）以xi分区间讨论y

17、 曲线凹凸与拐点1、yy,0 yy,0 拐点为凹凸区间分界点2、步骤（1）求)(xf、)(xf（2）求二阶驻点、奇点xi（3）以xi分区间讨论y ；符号确定增减区间与极值符号确定凹凸区间与拐点 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 求出某些量的最大值和最小值对于许多实际问题都显得十分重要。例如求时间最短、利润最大、成本最低等等。相应，大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或说必须用优化思想、方法去分析解决。初等数学中用二次函数、三角函数、不等式等

18、等方法可以求函数最值，这里我们将看到，高等数学用导数如何提供一种更有效的方法来解决许多最优化问题。5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例例1313 求1824xxy在-3，3上的最大值和最小值。从以上讨论可知，函数最值只可能在函数极值或区间端点处，于是求函数最值的方法是先求f(x)的极值可能点xi，再求f(xi)和f(a)、f(b)，从中比较出最大的为最大值，最小的为最小值。解解)2)(2(41643xxxxxy，令0)(xf 得驻点21x，0

19、2x，23x计算得f(-2)=f(2)=-15，f(0)=1，f(-3)=f(3)=10。比较比较 得函数在-3，3上的最大值为f(-3)=f(3)=10，最小值为f(-2)=f(2)=-15。5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例14 生产易拉罐饮料，其容积V一定时，希望制易拉罐的材料最省。假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，而顶部的厚度是底、侧面厚度的三倍，试求易拉罐的高和底面的直径。市场上的易拉罐，其高和底面直径之比是否符合你得到的结论。解解

20、 假定易拉罐是圆柱形，设其高为h，底面圆半径为r，l，则顶的厚度为l3故所需材料为)2(23222rhrllrlrrhlS再设底、侧面金属板的厚度为再由已知条件消去一个变元，即r、h满足约束条件Vhr2（定值）2rVh代入上式将),0(),2(2)(2rrrVrlrfS 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 计算)4(2)2(222rrVlrrVlS 令0S，解得34Vr 讨论如图 故34Vr 是f(r)唯一的极小值，因而是最小值点此时，易拉罐的

21、直径为3422Vrd 易拉罐的高为drVVVrVh2444)4(33222 即易拉罐的高是底面直径的一倍。市场上不少易拉罐，如可口可乐、椰汁等，与此结果近似。r0-34Vr s 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值则这个极小（大）就是最小（大）值。注意注意：最值与极值的关系：最值与极值的关系 5-4 数学建模：最优化问题精品课程v序 言v第1章 函

22、数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 4.题设中已知什么条件，将其表示出来（约束条件），将约束条件代入目标函数消元、化简；数学建模实用提示数学建模实用提示1.最优化模型通常是由目标函数与约束条件构成；2.全面分析问题，确认优化哪个量，则考虑求其函数（目标函数）；3.求目标函数需要依据（找）某些公式，如面积、体积公式、路程公式、勾股定理、三角公式、牛顿定律、浮力定律等等；5.用导数方法求极值进而求出最值。5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章

23、求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分微分”则主要是导数在代数上代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函数的近似计算如何求一个函数的改变量？微分的概念及思想微分的概念及思想设函数y=f(x)的导数存在，即，由极限的概念令，称它为函数f(x)的微分微分。并记y)(lim0 xfxyxxxfyxfxy)()(，得xxfdy)(xdx dxxfdy)(5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方

24、法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例16 求函数的微分解解需要注意需要注意：(1)微分的意义微分的意义由于，说明可以用微分求函数的改变量，即这里越小近似程度越好。(2)微分的思想微分的思想如下图所示：dxxdxxdxxfdy236)21()(31xyydxxfdy)(dyy x 5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 如右图所示：MT是y=f(x)在M点的切线微分，当较小时，可用直线MT来近似曲线MP（

25、或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。可见，“以直代曲以直代曲”是微分的一个基本思想。是微分的一个基本思想。于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小的一部分”。dyxxfNTyNPxf)(,tan)(ydyx 5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程(3)微分的计算微分的计算由于，因此，“求微分就是求导数求微分就是求导数”（并且在存在的情况下，可微与可导等价）。，可微与可导等价）。于是，由导数公

26、式与法则可直接得到微分的公式与法则，如下表微分基本公式（略）微分基本公式（略）微分四则运算法则微分四则运算法则设u、v是x的可导函数，则dxydy2)()()(vudvvduvududvvduuvddvduvud 5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 复合函数的微分复合函数的微分 不论u是自变量还是中间变量例17 求函数的微分解解例18 填空：（）（）（）（）duufdy)(xey2sindxxedxxedxedyxxx2sin2sin2sin2

27、cos2)2(sin)(dxxexdxexdedxedyxxxx2sin2sin2sin2sin2cos2)2(2cos)2(sin)(dxxd)1ln(2dxxxd)2sin(dxxxxdxxd222212)1(11)1ln(dxxxxxxxd22sin2cos2)2sin(5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例19 在下面的括号中以适当的函数填空：分析例17求微分是通过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来的函数。方法在于熟练掌握导数公式：

28、首先找到类方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似的求导公式，然后猜察反推和多次试算似的求导公式，然后猜察反推和多次试算。解说明说明：由微分的逆运算求原函数是接下来第6章讲的内容，通过求原函数可求定积分。xdxddxeddxxdxdxdxsin)()4()()3()()2()(12）（dyy 求dxydy即dxydyy xdxxddxeeddxxxdxdxxdxxsin)cos()4()21()3()32()2()21(122232）（5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积

29、分应用v第8章 微分方程 微分的近似计算微分的近似计算由得到近似公式：例20 求的近似值解设代入上述近似公式得xxfxfxxfdyy)()()(0，即xxfxfxxf)()()(0000330sin06cos)(,6sin)(,360,6sin)(000 xfxfxxxxf，取.5076.0008727.08662.05.036023213606cos6sin)3606sin(0330sin0 5-5 微分：导数的代数应用精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程 例21 证明近似公式：证明类似地，可以证明当较小时有下面近似公式很小时）（当 xxex1得由公式，取令xxfxfxxfxxxexfx)()()(,0)(0000.1)0()0()0(00 xxeexffxfexxxxxxxxxxn)1ln()4(tan)3(sin)2(1111）（