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1、第五章习题解答1、给出数据点0 134y = 1 9 15 6用x ,x ,x构造二次Lagrange插值多项式L (x)，并计算x = 1.5的近似值L (1.5)。 01222用x ,x ,x构造二次Newton插值多项式N (x)，并计算x = 1.5的近似值N (1.5)。 12322(3)用事后误差估计方法估计L (1.5)、N2(1.5)的误差。解:利用 x0 = 0, x1 = 1 x2 = 3, y0 = 1 y1 = 9, y2(x - 1)(x - 3)(0 -1)(0 - 3)=15作Lagrange插值函数(x - 0)(x - 3) x 9 + (x - 0)(x -
2、1) (1-0)(1-3)(3 - 0)(3 -1)x 15-5 x 2 + 29 x + 33xiy.i一阶差商二阶差商19315346-9-4代入可得 L (1.5) = 11.75。2(2)利用 x = 1, x = 3, x = 4, y = 9, y =15, y = 6 构造如下差商表:,-42312于是可得Newton插值多项式：N (x) = 9 + 3(x -1) + (-4)(x -1)(x 3) = -4x 2 +19x 6 2代入可得 N 2 (1.5) = 13.5。(3)用事后误差估计的方法可得误差为R (x) = (L (x)-N (x)=1.5Z2 (11.75
3、 -13.5) 0.65632x0-x3220 - 4R (x) =(L (x)-N (x)=(11.75 -13.5)-1.09382 x -x220 - 42、设Lagrange插值基函数是-x - xl (x)顼jj=0 七 一 xJ丰i试证明:对vx ,有E I (x) = 1ii=0(i = 0,1,2, , n)1(=0)0(k = 1,2, , n)(-1)nx x x (k = n +1)l 0 1 n -其中x0,x1,七为互异的插值节点。证明：0 1由5ge插值多项式的误差表达式R=等器(*一七)知，对于函数/=1进行i=0插值，其误差为。，亦即/*(*) = ，(*)/*
4、精确成立，亦即E/(v) = l。 i ii分别取被插值函数f(x) = Xk敬*)=牛碧匝*-*) = 0,由可知结论成立；对于左=1,2,i=0i=0,当kn时Lagrange插值多项式的误差表达式即 /(X)= XZ(X)/ ,亦即 X； (X)Xk Xk ,对于比=0, i ii ii=0i=0，孩时，特另U地取= 0,则有(O)x = 0 ；而当比= + li=0时知其Lagrange 插值误差为R(X)=H(x -X ) = H(x -X ),于是有(n + 1)!i/(x) = Ez(x)/ +R(x), i i =0l (0)xk+1 = (-l)n+2X X i i0 1i=
5、Qi=Qi=0即 xk+i (x)x+i +FI(x-x ), 特别取 x = 0 可得 i iii=0X ,证毕。ni=0X =(-l)nX Xn0 18、考虑构造一个函数/(x) = ex(xe0,l)的等距节点函数表，要使分段论插值的误差不大于；X1O-4,最大步长五应取多大？ A解：由等距分段Herm沏插值的误差表达式阳叱易器仇4心)| =湛*6从而可得h = 0.289910.已知f(0), f(2), f(2),使用Lagrange型插值基函数法构造二次Hermite插值多项式H2(x),使其满 足插值条件H2(0)= f(0), H2(2)= f(2),日2(2)=(2),并写出
6、输的截断误差。解：设 H2(x)=ho(x)f(O)+ h2(x)f(2)+ h2(x)f (2)为满足插值条件(1) h(0)=l ho(2)=O h任2)=0 且 h(x)为二次多项式设 ho(x)=/ G)(6ZA：+/?)= Gx+Z?):.h (x)= -(x-2)2o 4b=l1由 h(0)=l h-o(2)=O 得 2牌=。T a=,b=l(2) h2(0)=0 h2(2)=l h项2)=0 且 h2(x)二次多项式设 h2(x)= I G)(以+刁)=：cx+d )由h2(2)=l屿二。(3) h2(0)=0虹2)=设 h2(x)= X x-2)x2c+d=l4c+d=0T c
7、=-,d=22虬日且h2(x)二次多项式由 h；(2)=l 得 2入=1 T入=1/211? (x)=方(工-2)工所以综上，H (x)=h G)/(0)+/z (x)/(2)+h (x)/(%)2022f(2)+L (x-2)f(2) 2=4 (x-2)2 f (0)+ - 4 x2关于截断误差R (x)=f (x)-H (x) 构造关于t的辅助函数()2g (t)=f (t)- )、R (x ) 其中 0)= (t-x )(t-x )2=t(t-2)2Mx) 202g (t)存在四重根由罗尔定律，存在使得g 3(&)=f(3)、R (x )=0(x ) 2二 R (x)=，3)(x) (其
8、中 (x)=x(x-2)13、试构造一个Hermie三次多项式H (x)逼近函数f (X)，满足以下条件。3J H 3 (0) = f (0) = 0,H 3 =f (1) = 1i H(0) = f (0) = -3, H-(1)=广(1) = 0i 3一解：取 x =0, x1 =1，由H (x) = h (x) y +L h (x) yi=0ii ii=03Her m插 值 f (x) = Lh (x)y +h (x)y + R(x)i ii ii=0i=0其中x0Yx1 = (2 x+1)( x -1)2，hi i2=x 2 (3 2x)，h (x) = (x 0)0x 1 )2 带J
9、=x( x 1)2，h1(x)=(x1)= x2(x 1)代入可得 H (x) = h (x) 3h (x) = 5x3 + 9x2 3x。14、试判断下面函数是否为三次样条函数：0 f (x) = x3x 3 + (x 1)3x e 1,0)x e 0,1)x e 1,2x e -L 0)x e 0,1解：三次样条函数的定义:整体二阶连续，即S(x)e C，a,b; 在每个小区间L，%上，S(x)是三次多项式(i=0,1,2n-1)； 满足插值条件S(x)=y.(i=1.刀)I分析：f（0-0）=0 f（0-0）=6x| =0L0f”（l-0）=6x| =6f（X+0）=6x+6 G-l） =6.jG）在11,3为二阶连续，易知均成;所以式为三次样条函数分析：广（o-o）=o f（0-0）=12x| =0.f G）在-1,2上为二阶不连续所以式不是三次样条函数
第五章习题解答_数值分析0001
