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1、矩阵在线性方程组AX b求解的应用一、利用克拉默法则1. 克拉默法则 若含有n个变量和n个方程的线性方程组&工+气勺+吃 =如+222 + - + 说株上=b2 %1有+%仍+气上=耳的系数行列式D不为零，则该方程组有且仅有惟一解Xj=D/D,j=1,2,.,n.其中町.是将列奶代替系数矩阵的第列后的对应行列式. 如局限性：(1) Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组；(2) Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法 则失效。(3) 计算量大，要计算n+1个n阶行列式
2、的值。2. 改进:当系数矩阵A行列式不为零时，逆矩阵存在，此时X=A-i.b二、Gauss消元法一般的n元线性方程组富1瓦+a12x2 +为齐=巧1瓦+吃勺+ +% =奶 31 f % +瞄砺f(或写成矩阵形式AX=8)解法是首先将其增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，这样方 程组就等价于一个阶梯形的方程组，然后再把不处于每行中第一个非零系数的变元xj挪到方 程的右边，令它们为任意参数，则方程组就可以解出了.定理.设A与分别是n元线性方程组系数矩阵与增广矩阵.若秩为，则方 程组无解；若秩心)=M0)，则方程组有解.当(囚=广(/)=*时，方程组有惟一解； 当r(A)=心)时，有无穷多个解，且
3、通解一定含n-r个任意常数.在Mathcad中求解，我们首先利用上述定理判断是否有解，有解时调用rref函数， 计算出rref(月)，所得结果最右面的列就是该方程组的解说明：rref(M)返回对矩阵M的行施行初等变换后化简的矩阵问题：题A1.求解线性方程组2.求解下列线性方程组- 2x2 + 3x3 +24 二 11 2切 + 2叼 -3知=3.+ 3x2 -5x4 = 7题B求解线性方程组：-+ 2 物=1$1 _ 2x2 + 其3= TI2xj - 2知-3第二一 5.3工1 + x2 +2x3 =3l 2i + 3% +5 初=8r X + %2 3用3 - 4 - 1Xj + 5x2 9工3 8x4 = 0.L3%f - x2 - 3夕3 + 4工耳=4
解线性方程组用克莱姆法则
